第六章得空间课程

第六章欧几里得空间内积的定义与性质向量的模、单位向量向量的夹角正交组、标准正交组正交基、标准正交基施密特正交化方法正交矩阵、正交变换定义1设V是实线性空间（数域为R）。如果对于V内任意两个向量α、β按某一运算法则操作，在R内有唯一确定的实数与之对应，且满足以下条件：一、内积的定义及性质则称实数为向量α与β的标准内积，简称为内积。定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。不同的实线性空间中内积可以有完全不同的内容及形式。同一实线性空间也可定义不同的内积，而构成不同欧氏空间。例1在实Rn中对于任意两个向量定义：显然，上述定义的运算满足内积定义中的四个条件，因此在Rn中按（1）运算是一个内积。Rn关于这个内积是一个欧氏空间。（1）例2.在实Rn中对于任意两个向量定义：（2）容易验证，上述定义的运算也满足内积定义中的四个条件，因此在Rn中按（2）运算是一个内积。Rn关于这个内积构成是一个欧氏空间。以后,如果不特别指出的话，我们谈到的欧氏空间Rn均指的是例（1）中所述的情况。例3.在连续函数空间C[a,b]中，对于任意函数f(x),g(x)C[a,b],定义由定积分的性质可知：设1.2.3.4.当f(x)不是恒等于0时因此，定积分运算是连续函数C[a,b]上的内积。例4.设V是由全体n阶对称矩阵关于通常矩阵的线性运算构成的实线性空间，对于任意的A,B∈V,定义<A,B>=TrAB,其中TrC表示n阶矩阵C的主对角线上各元之和，称为矩阵A的迹）。证明这样定义的<A,B>是V中的一个内积。证明：因为A，B是对称矩阵，所以其各元素满足：

令C=AB,D=BA所以TrAB=TrBA同样可以证明Tr(A+B)F=TrAF+TrBF,Tr(kAB)=kTrAB,当A≠0时，TrAA>0因此这样定义的<A,B>是V中的一个内积。欧氏空间的基本性质：性质1.对于任意的α

V，都有证明：性质2.α为V中某个向量，若对于任意的β

V，都有证明：若α≠0，那么取β＝α与题设矛盾所以有α＝0定义2

对于任意向量α

V，都有实数二、向量的长度及性质定义向量α的长度(或者模)为模为1的向量称为单位向量。只有0向量的模为0例如，在欧氏空间Rn中，向量的模为在欧氏空间R2中，向量(1,0),(0,1),是单位向量。对于任意向量α

Rn,kR，我们有特别是，当是一个单位向量定理1.对于欧氏空间的任意两个向量α，β恒有或者证明：若α,β线性相关，则有α＝0,或者β＝0,或者α＝kβ

在上述情况下，容易证明题设的等号成立。若α,β线性无关，则对于任意kR,都有这是一个关于k的一元二次多项式，因为上述不等式成立的条件是即或者证明：由定理1还有，当α≠0，β≠0时，我们有定义为向量α,β的夹角当向量α,β的夹角等于

/2时，称α,β正交，此时有为了方便，我们规定零向量与任何向量都是正交的。解例.在欧氏空间R2中，向量(1,0)与(0,1)相互正交，向量亦正交例.在欧氏空间中，若向量都正交则的任意线性组合正交证明：已知＝0的任意线性组合正交所以1正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法例如：在欧氏空间Rn中，向量组是正交向量组证明2正交向量组的性质两端求α1的内积又例1

已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一组正交基.3向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一组正交基.则有解５规范正交基（标准正交基）例如标准正交基满足关系式：

同理可知问题：如果已知欧氏空间Vn的一组基（可能不是标准基），是否可以求得Vn的一组标准基？（1）正交化，取，６求规范正交基的方法（2）单位化，取例２

用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解

先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向量组如下例３解再把它们单位化，取例４解把基础解系正交化，即为所求．亦即取定理：设是欧氏空间Vn的一组标准正交基，有向量证明：当α＝β时，可得

该定理显示了在欧氏空间中引入标准正交基的好处。任意的欧氏空间定义的任意内积，如果两个向量用同一标准正交基表示的话，这两个向量的内积等于它们的坐标构成的n维向量在Rn中的内积。证明定义4定理第二节正交矩阵与正交变换

为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于例５

判别下列矩阵是否为正交阵．所以它是正交矩阵．由于例６解定义5.设T是欧氏空间V中的线性变换，如果对于任意的向量α

V，都有，则T称为正交变换。定理1.欧氏空间V中的线性变换T为正交变换的充要条件是，对于任意的α,β

V，都有证明：充分性，如果有令α＝β，T是正交变换必要性，T是线性变换，则定理2.设是n维欧氏空间V的标准正交基，V中的线性变换T是正交变换的充要条件是也是V的标准正交基。证明：必要性，设T是正交变换，由定理1.是V中标准正交组，V是n维线性空间，是V的标准正交基充分性，是V的标准正交基，要证明T是正交变换对于任意α

V，设它在基下的坐标为T是正交变换定理3.设是n维欧氏空间V的标准正交基，V中的线性变换T是正交变换的充要条件是，T在基下的变换矩阵H=(h)是正交矩阵证明：正交矩阵是列向量组由正交的单位向量构成的向量组。矩阵H是线性变换T在标准正交基下的矩阵。T是正交变换是V的标准正交基例7.已知3阶实对称矩阵A的三个特征值为（提示：对于实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量是正交的）解：对于实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量正交例8设向量，都是非零向量，