c-bezer曲面的几何模型及拼接条件研究

c-bezer曲面的几何模型及拼接条件研究

自由曲线的分离和连接技术是工业建模的难点。在过去，b样条和bezier曲线被广泛应用于工业，但这两种方法不能正确描述设计中的第二个间隙。NURBS方法虽然能够以统一形式表示二次曲面和自由曲面,但NURBS方法在造型过程中会遇到有理方法、计算复杂等问题,使得NURBS在目前工程曲线曲面中的应用优势难以得到充分地发挥。C曲线曲面方法～作为一种新的曲线曲面造型理论,提出了一种既能表示工程曲面,又能和B样条、Bezier曲面统一表示,在工程曲线曲面造型中具有强大的应用前景。笔者在分析C-Bezier曲面的几何模型的基础上,对工程曲面和C-Bezier曲面任意分割算法及曲面与曲面之间G1连续的拼接条件进行了深入分析和研究,并把它推广到工程曲面。1工程曲线条件C-Bezier曲线采用[sintcostt1]基代替Bezier的[t3t2t11]基,在基中引入了sint和cost,从而使C-Bezier具有准确表示圆弧等工程曲线中常见的二次曲线的能力。C-Bezier曲线用矩阵定义可表示为其中T=(sintcostt1)Q=[q0q1q2q3]T其中S=sinα,C=cosα,q0,q1,q2,q3为C-Bezier曲线的4个控制顶点。将上式的C-Bezier曲线用多项式形式来表示,定义如下以上Z0(t),Z1(t),Z2(t),Z3(t)称为C-Bezier曲线的基函数。根据以上C-Bezier曲线的定义,可以通过在u和w方向上采用张量积方法来得到C-Bezier曲面其中0≤u,w≤1;0≤α,β0,β1,β2,β3≤π2c-bezeer曲面的几何模型在用C-Bezier方法进行工程曲面造型时,常需应用曲面分割技术。C-Bezier曲面的分割是曲线分割的推广。由于C-Bezier曲面片具有方向性,因而C-Bezier曲面的分割可分为w向分割和u向分割两种情况。根据C-Bezier曲面的几何模型,可进一步得到C-Bezier曲面的跨界切矢为可见,在u方向的跨界切矢只与u向的控制参数α,该边界及相邻一排的控制顶点和控制参数有关;在w方向的跨界切矢只与w向的控制参数β0,β1,β2,β3。u向的控制参数α和该边界及相邻一排的控制顶点有关。w向分割和u向分割w向分割是指在C-Bezier曲面的几何模型中,运动曲线不变而对四根w线bi(i=0,1,2,3);若不作另外说明,本文以下的i,j皆为(0,1,2,3)进行任意分割,即在w=w*处将bi分割成b1i和b2i。运动曲线以b1i为控制顶点形成一片曲面片Q1(u,w),以b2i为控制顶点形成另一片曲面片Q2(u,w)。即式中b1i和b2i的控制参数和控制顶点分别为同理可得C-Bezier曲面的u向分割。3曲面片间拼接在工程中,往往难以用单片曲面片描述其形状,这就需要进行两片或多片C-Bezier曲面片间拼接,见图1。按照工程中的要求曲面片间要达到G1连续,即两曲面在拼接边界上有公共的切平面。设两片C-Bezier曲面片Q1(u,w,α1,β1i)和Q2(u,w,α2,β2i),由于C-Bezier曲面片存在着方向性,因而曲面片间的拼接存在着以下3种形式。(1)位置连续条件G1连续首先要求两曲面片有公共边界,Q1(u,1,α1,β1i)=Q2(u,0,α2,β2i),即式(6)的几何意义为两曲面片在拼接处有相同的4个控制顶点和控制参数。位置连续条件的几何意义在3种形式的拼接中是相同的。G1连续的另一要求是拼接边界有公共的切平面,即两曲面片在边界上的法矢方向是连续的。数学上应满足在工程上往往将式(7)简化为式(8)几何意义为两曲面拼接时跨界切矢的方向是连续的。将两曲面片的跨界切矢代入,得若β1i=β2i,则式(9)可进一步简化为这一条件同Bezier曲面片拼接时G1连续的条件完全相同。由此可得,式(6)和式(9)为u向与u向曲面拼接G1连续的一般条件,若满足β1i=β2i,则G1连续的条件为式(6)和式(10)。(2)面为向与w向的曲面拼接设Q1(u,1,α1,β1i)的u向与=Q2(u,0,α2,β2i)的w向拼接。则有公共边界条件为而有公共切平面的条件为如果β21=β20,则式(13)可进一步简化为并由α1=β20,得由此可得,式(11)和式(12)为u向与w向曲面拼接G1连续的一般条件,若满足β21=β20,则G1连续的条件为式(11)和式(13)。同理可得w向与w向的C-Bezier拼接。由以上对C-Bezier曲面片间G1连续的条件分析可得,C-Bezier曲面能够比较容易地实现曲面片间的G1拼接,特别是当控制参数选择适当时,C-Bezier曲面和Bezier曲面的G1连续的拼接条件十分相近。4自由型的方法C-Bezier曲面具有任意分割和G1拼接的重要特性,从而增强了这一造型方法表示复杂形状的能力。同时,C-Bezier既能够表示自由曲线曲面,还能够精确表示二次曲线曲面。可以结合其分割和拼接技术,用C-Bezier构造工程中常见的平移曲面、直纹曲面、旋转曲面、椭球曲面和扫掠曲面等。(1)混合偏导策略平移曲面是指控制网格的所有网格子四边形都是平行四边形,曲面片处处混合偏导矢为零矢量的曲面。当平移曲面用C-Bezier方法表示时,可以认为bi线形状相同,位移差分别为q10q00,q20q00,q30q00,分别代入式(3)即可得到C-Bezier平移曲面。(2)0,w根据直纹面的定义,设b0(w,β0)和b3(w,β3)为两条C-Bezier曲线,C-Bezier直纹面应满足:①Q(0,w)=b0(w,β0),Q(1,w)=b3(w,β3);②曲面上任一条u=常数的曲线都为直线。若b1(w,β1)=b0(w,β0),b2(w,β1)=b3(w,β0),即β1=β0,q1j=q0j;β2=β3,q2j=q3j,j=0,1,2,3时,曲面即满足上述C-Bezier直纹面的两个条件,此时曲面方程为(3)旋转角度大小的c-bezeer旋转面C-Bezier旋转曲面是以母线为运动曲线a(u,α),绕旋转轴旋转而得的曲面。若母线为多段C-Bezier曲线按G1连续拼接而成,那么所得的旋转面为G1连续。若旋转角大于π/2,可对运动曲线的控制顶点轨迹bi(w,β)圆弧进行分段表示。当运动曲线为圆弧时,所得C-Bezier旋转面为球面。整球面可用2片C-Bezier旋转面来表示(母线和控制点轨迹的圆心角为π)。为达到较好的凸包性,可用8片C-Bezier旋转面来表示。圆环面(torus)是另一种特殊的旋转面。它由一个整圆绕不与该圆相交的一任一轴旋转得到。在旋转不到一周情况下,母线上的各控制顶点都相应旋转了相同角度不同半径的圆弧,所有定义这些圆弧的控制顶点就构成了定义部分旋转面的全面控制顶点。(4)椭圆运动的曲线二次曲面椭球面无法用NURBS精确表示,而C-Bezier方法却能够方便地表示它。根据C-Bezier曲面的几何意义,设运动曲线为椭圆弧,两个端点固定上在z轴上的点(0,0,c)和点(0,0,c),椭圆弧的起始角β=π/2,终止角γ=3π/2。整个椭圆弧运动的过程中,短轴固定等于c,而长轴按另一椭圆(长轴为a,短轴为b)上椭圆中心到椭圆上的点的距离变化。运动曲线运动一周就得到整个椭球曲面。同理,部分椭圆弧旋转部分角度就得到部分的椭球曲面。(5)扫掠曲面的分类根据C-Bezier方法表示扫掠曲面,按边界线数或脊线数可分为:①一条边界曲线;②二条边界曲线;③一条脊线。按给定的二维截面曲线数量可分为:①一条截面线数;②二条截面线数;③多条截面线数。当然也可将多条截面线形成的扫掠曲面理解为由多片二截线扫掠曲面片拼接成的曲面。扫掠曲面虽然可根据以上分类方法分为多种类型,但其基本方法同用B样条扫掠曲面的情况相类似,见图2。在实际设计过程中,需根据实际情况作进一步的具体分析。5面几何模型的建立笔者得到的C-Bezier曲面