2023年高考数学大招 2 参数方程中 t 的几何意义

大招2参数方程中t的几何意义

大招总结

1.过定点Po（%o，y。），倾斜角为a的直线参数方程的标准式为《:黑篙:（t为参

数）.

\t\的几何意义是直线上的点p到点P0（x0,y0）的距离.若t>0,则O的方向向上;

若t<0,则O的方向向下；若t=o,则点Mo与点M重合.

由此，易得参数t具有如下的性质：若直线I上两点力、B所对应的参数分别为tAltB,则

性质1:4B两点之间的距离为\AB\=\tA-tB\,A^B两点到Mo的距离分别为

|以|,|片|.

性质2:4、B两点的中点所对应的参数为空，若Mo是线段AB的中点，则以+必=

0,反之亦然.

2.对于形如匕：（t为参数），当a?+及力1时应先化为标准形式后才能利用t

的几何意义解题.

3.解决直线与圆、圆雉曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互

化公式，主要是通过互化解决与圆、圆雉曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.

做题步骤三步曲：（1）直线参数方程;（2）曲线普通方程;（3）代入韦达即可.

典型例题

例1.（2018-全国卷II）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为仁然;（6为参

数），直线I的参数方程为｛J：（t为参数）.

（1）求C和，的直角坐标方程;

⑵若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为(1,2),求I的斜率.

解⑴曲线c的参数方程为渭(e为参数)，转换为直角坐标方程为'+9=

1.直线I的参数方程为二:*::言:(t为参数).转换为直角坐标方程为sinax-

cosay+2cosa-sina=0.

(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到哈警!+"等1=1

lo4

整理得(4cos2a+sin2a)t2+(8cosa+4sina)t-8=0,贝IJti+J=-鲁康表黑;由

于(L2)为中点坐标，

⑴当直线的斜率不存时，x=l.

⑵当直线的斜率存在时，空=0,贝1J8cosa+4sina=0,解得tana=-2,即直线I的

斜率为-2.

例2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛；二；「2_9(t为参数)，倾斜

角等于y的直线I经过P,在以原点。为极点，%轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P

的极坐标为(1，3，

(1)求点P的直角坐标；

⑵设I与曲线C交于4、B两点，求\PA\­\PB\的值.

解⑴点，P的极坐标为(1彳)，直角坐标为(0,1).

(1

X=--tA

(2)倾斜角等于v的直线1经过P，参数方程为晨，

3y=1+—t

V2

曲线c的参数方程为仁二抬2_夕普通方程为y=4M-9,代入可得

10=0„

•••点P的坐标为(0,1),.-.\PA\■\PB\=10.

例3.)已知曲线G:仁常『(t为参数),｛浮常(8为参数),

(1)化C1(C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

过曲线。的左顶点且倾斜角为的直线1交曲线于、两点，求\AB\.

(2)24Q4B

解⑴.•<：｛；二*黑st(t为参数),C2：g：^f(e为参数),

v2-.2

•••消去参数得G：(x+2)2+(y-I)2=1,的：1+5=1，

ioy

曲线C］为圆心是(—2,1),半径是1的圆.

曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8,短轴长是6的椭圆.

(_.V2

Ix——4A+〈s

2

⑵曲线c2的左顶点为(-4,0),则直线I的参数方程为(s为参数)，

(y=-s

2

将其代入曲线Cl整理可得s-3V2s+4=0,设A,B对应参数分别为S1,s2,

则Si+S2=3&,S】S2=4,所以\AB\=|S1-S2I=J(S1+s?/-4sls2=V2.

例4.在直角坐标系xOy中，以原点为。极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方

程为p=4>/2sin传-0).

(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵过点P(0,2)作斜率为V3的直线1与圆。交于4、B两点，试求|高-焉|的值.

解⑴由p=4V2sin(亨—可得P=4cos0+4sind,p2=4pcos0+4psin0,

・,・%2+y2=4%+4y,即(%-2)2+(y-2)2=8.

(x=-t

(2)过点P(0,2)作斜率为V3的直线l的参数方程为\2(t为参数)，

『=2+丁

代入(x-2)2+(y-2)2=8,得t2-2t—4=0,

设点人B对应的参数分别为tist2,则ti+t2=2,tx-t2=-4.

由t的几何意义可得_2_|_IlJHt川_心+tzl_1

扁一局二lihikzllkill^zlkitzl2

例5.在直角坐标系中，以原点为极点，%轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

C:psin20=2acos0(a

2V2

X=-+T

2

>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为

V2为参数)，直线，与曲

y=4+T

_2

线C分别交于M、N

两点.

⑴写出曲线C的平面直角坐标方程和直线I的普通方程；

⑵若PM,MN,PN成等比数列，求实数a的值.

3

(x——2+2

肖

、

解(1)由psiM。=2acos0,得p2sin2。=2apeos。，即y2=2ax,由<3、/

(y=-4+2

掉t,得y=x-2,所以曲线C和直线I的普通方程分别为：y2=2ax,y=x-

⑵把直线I的参数方程代入y2=2ax,得t2-272(4+a)t+8(4+a)=0,

设点M,N分别对应参数tvt2,则有ti+t2=272(4+a),=8(4+a),

222

因为\MN\=\PM\\PN\,所以(tx-t2)=(ti+t2)-4tit2=tit2.

即8(4+a)?-4x8(4+a)=8(4+a),解得a=1.

自我检测

1.在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

-2+V-2

2

c的极坐标方程为psin20=4cos。，直线I的参数方程为j(t为参数),

V-2

=—4+2

两曲线相交于M、N两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程;

(2)若P(-2,-4),求\PM\+\PN\的值.

1.(1)根据x=pcos。、y=psind,求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x,用代人

法消去参数求得直线I的普通方程x-y-2=0.

(x=-2+^-t

(2)直线I的参数方程为"(t为参数)，

(y=-4+ft

22

代人y=4x,得到t-1275t+48=0,设M,N对应的参数分别为t1(t2,

则tx+t2=12V2,ti-t2=48,AIPMI+\PN\=|ti+t2|=12V2.

(x="/

2.已知圆C的极坐标方程为p=2cos&直线/的参数方程为｛22(t为参

数)，点4的极坐标为(当吟)，设直线I与圆C交于点P、Q两点.

⑴写出圆C的直角坐标方程；

⑵求\AP\■\AQ\的值.

2.(1)圆C的极坐标方程为p=2cos0,即p2=2pcos0,即(x-I)2+y2=1,

表示以C(l,0)为圆心、半径等于1的圆.

1+凡

(2);•点A的直角坐标为(玄,/),...点A在宜线122Q为参数)上.把直线的参数方程代入曲

卜士会

线C的方程可得t2+^t-i=0.

由韦达定理可得0・t2=-,<0,根据参数的几何意义可得\AP\-\AQ\=|tx-12\=

3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，%轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线

I的极坐标方程为V3pcos6+psin0-V3=0,C的极坐标方程为p=4sin(0-

(1)求直线I和C的普通方程；

⑵直线，与C有两个公共点4B,定点P(2,-V3),求\\PA\-\PB\\的值.

3.(1)直线I的极坐标方程为V3pcose+psin6-V3=0,所以直线I的普通方

程为V3x+y-V3=0.因为圆C的极坐标方程为p=4sin(。一9，所以圆C

的普通方程为x2+y2+2x-2y/3y=0.

__(x—2—t

(2)直线/：Wx+y-W=0的参数方程为:r=(t为参数)，

(y=-V3+yt

222

代人圆C2的普通方程x+y+2x-2V3y=0,消去x、y整理得t-9t+17=

2

0,tr+t2=9,tTt2=17,贝1J||P/1|-\PB\\=7（ti+t2）-4tit2=V81-4x17=V13.

4.在直角坐标系xOy中，直线I过点P。-2),倾斜角为*以坐标原点。为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4cos。，直线I与曲线C

交于4、B两点.

(1)求直线/的参数方程(设参数为t)和曲线C的普通方程;

⑵求高+油i的直

4.(1)v直线l过点P(l,—2),倾斜角为I直线1以t为参数的参数方程为

x=1+会

2(t为参数)，

卜=-2+小

•••曲线c的极坐标方程为P=4cos0..・.曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4.

(X=1+会

⑵将直线I的参数方程2(t为参数)代人曲线C的普通方程(X-

3=-2+yt

2)2+y2=4,得t2-3V2t+1=0,设A,B两点对应的参数为点P在曲线C

的左下方，|P4|-ti，\PB\-t2,•1•7^-T+高==+高=与詈=3&.

\PA\I产出C1c2clc2

5.已知直线l过点P(l<0),且倾斜角为a,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立坐标系，圆C的极坐标方程为p=4cos0.

(1)求圆C的直角坐标系方程及直线/的参数方程；

(2)若直线，与圆C交于4B两点，求与+e的最大值和最小值.

【答案】

(1)由p=4COS0,得p2=4pcos0,即x2+y2=4x,所以圆C的直角坐标方程为

(x-2)2+y2=4,直线I过点P(1，O),且倾斜角为a,所以直线I的参数方程为

x=1+tcosa

y—tsina(t为参数).

(2)将代人(％-2)2+y2=4,得t2-2tcosa-3=0,A=

2

(2tcosa)+12>0,设A、B两点对应的参数分别为方、t2,贝IJ亳+焉=

\AB\_|t-t|__2Vcos2a+3

12•:cosaG[—1，11,・••7^—+-^―的最大值为

川一~L

IP|PB|-\t±t2\-3」'\PA\\PB\

*最小值为苧.

6.以直角坐标系的原点0为极点，以%轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的

长度单位，已知直线I的参数方程为n+为参数，04a<7r),曲线C

的极坐标方程为pcos20=4sin0.

(1)若a=£求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

O

(2)设直线1与曲线C相交于人B两点，当a变化时，求\AB\的最小值.

【答案】

(1)当a=—”寸，由直线/的参数方程消去t得丫=簧+2,即

直线I的普通方程为x-V3y+2>/3=0.v曲线过极点，由pcos20=4sin0,得

(pcos0)2=4psin0,曲线C的直角坐标方程为x2=4y.

(2)将直线I的参数方程代人x2=4y,得t2cos2a-4tsina-8=0,由题意知a6

0,U,7r5A

[2)(2)设'B两点对应的参数分别为tixt2,则口+以=黑,GO=

―裔，・•.NBI=Iti-t2l=人1+切2-4t也=尼好二二W=

』熹+募=4J(含+£)二.•••aCMU(M,cos2ae(0-1])^》1,

当cos2a=1,即a-0时，|4B|取得最小值为4在.

7.在极坐标系中，已知圆C的圆心C(VI，9,半径r=V3.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若ae[0,9,直线I的参数方程为{yZl+t^na(「为参数)，直线[交圆。

于人两点，求弦长\AB\的取值范围.

【答案】

⑴•・•。(或，9的直角坐标为(”),•••圆c的直角坐标方程为(x—1)2+。-1)2=

3.化为极坐标方程是p2-2P(cos。+sin0)-1=0.

(2)将代人圆C的直角坐标方程(x-l)2+(y-l)2=3,得

一乙十toiiici

222

(1+tcosa)+(1+tsina)=3,即t+2t(cosa+sina)-1=0.Atr+t2=

=

—2(cosa+sina),-t2=-1.；・|AB|=|^-t2l{(h+今十-4tl1=

2,2+sin2a.•:a6,2a6[o用，，2&<\AB\<2V3.即弦长|4B|的取值范

围是[2A/^2A/5.

x=-t

2(t为参数)，在以坐标

y=-l+yt

原点0为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系I中，曲线c的方程为2asin0-

pcos20=0(a>0).

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线，与曲线C分别交于点M、N,且|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a

的值尸0.

【答案】

(1)曲线C的方程为2asin。一pcos?。=0(a>0),二2apsin。一p2cos2。=0,即

x2=2ay(a>0).

(x=-t

⑵将<2p；代人x2=2ay,得t2-4V3at+8a=0,得

卜=-1+》

△=(-4A/3Q)-4x8Q>0

ti+垃=4百ati

、12=8a

■-a>0,.-.解得a>|j；|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，.・.|MN『=\PM\-\PN\,

2

即IG-12产=("+t2)2—攵也=「也，即(4V5a)-40a=0,解得a=0

或a=*

6

、25

•・•a>-,•­a=

36

3

x=a-2

刍

y=1+2

为参数，aeR),以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐I标系，曲线C

2

的极坐标方程为pcos2。4-2cos。-p=0.

(1)写出曲线q的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

⑵已知曲线C1和曲线c2交于4、B两点(P在4、B之间)，且\PA\=2\PB\,

求实数a的值.

【答案】

(x=a

(1)•••曲线C］过点P(a，l),其参数方程为2J为参数，ae/?),消参

(y=l+务

得曲线C］的普通方程为x+y-a-l=o,v曲线C2的极坐标方程为pcos?。+

2cos0—p=0.两边同乘p得p2c