2022年高考数学真题分类汇编11：立体几何及答案

2022年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何

一、单选题

1.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是

)

c2216

A.227rB.87rC.至兀Dn.寸

2.(2022•浙江)如图，已知正三棱柱AC=AA1,E,F分别是棱BC,占如上的

点.记EF与441所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为£,二面角F-BC-4的平

面角为y,则（)

A.a<p<yB.p<a<yC./?<y<aD.a<y</?

3.（2022・新高考回卷）正三棱台高为1,上下底边长分别为3旧和4V3,所有顶点在同一球面上,

则球的表面积是（)

A.IOOTIB.1287tC.144TID.19271

4.（2022•全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该

多面体的体积为（

A.8B.12C.16D.20

5.（2022•全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为27r，侧面积分别

S甲V甲

为s尹和s乙,体积分别为v尹和"z.若=2,则声)

A.V5B.2V2C.V10D.亚

4

6.（2022•全国甲卷）在长方体ABCD—ABJDi中，已知B]D与平面ABCD和平面AAiBiB所

成的角均为30。，则（）

A.AB=2AD

B.AB与平面AB"所成的角为30。

C.AC=CBr

D.Bi。与平面BBGC所成的角为45°

7.（2022•全国乙卷）在正方体ABCD-ABGD]中，E,F分别为AB,BC的中点，则（）

A.平面BXEF1平面BDD1B.平面BXEF1平面A-iBD

C.平面B]EF||平面A^ACD.平面B^F||平面AXCXD

8.（2022•全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.B.「73D&

TT

9.（2022•北京）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集

合，设集合T={Q€S|PQ<5}，则T表示的区域的面积为（）

A.当B.71C.27rD.37r

10.（2022•新高考国卷）已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36

兀，且3WIW3V3,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,第B.冬第c・俘，韵D.[18,27]

11.（2022•新高考回卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水

库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0fcm2；水位为海拔157.5m时，相应

水面的面积为180.0W.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（）（夕，2.65）

9393

A.1.0x10mB.1.2x10mC.1.4x109m3D.1.6x109rH3

12.（2022•浙江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是()

A.棱柱B.圆柱C.圆台D.球

13.(2022•浙江学考)如图，正方体ABCD-中，N是棱DD1的中点，则直线CN与平

面DBBR所成角的正弦值等于（）

AB逗「45n2回

-\—-S-

14.（2022・上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻

两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次

A.0B.2C.4D.12

二、多选题

15.（2022・新高考回卷）如图，四边形ABCD为正方形，ED1平面ABCD，FB||ED,AB=

ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为6,V2,V3，则

)

A.匕=2匕B.匕=2VlC.C=Vi+1D.2V3=3匕

16.（2022•新高考团卷）已知正方体ABCD-则（）

A.直线BCi与DA1所成的角为90°

B.直线BC］与C4所成的角为90°

C.直线BCi与平面BBRD所成的角为45°

D.直线BQ与平面ABCD所成的角为45°

三、填空题

17.(2022•浙江学考)如图，E,F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB,VC上的动点，且满足EF=

2xAV+yBC(x>0,y>0)贝Ux2+y2的最小值为.

四、解答题

18.(2022•浙江)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB||DC,DC||EF,AB=

5,DC=3,EF=1,ABAD=ACDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设

M,N分别为AE,BC的中点.

(I)证明：FN1AD；

(ID求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

19.(2022•新高考回卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABJ.力C,E是PB的

中点.

(1)求证：OE||平面PHC；

(2)若Z.ABO=Z.CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE—B的正弦值.

20.(2022•全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD1CD,AD=CD,乙ADB=^BDC,E为AC

的中点.

(D证明：平面BED1平面ACD；

(2)设AB=BD=2,乙4cB=60。，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥

F-ABC的体积.

21.(2022•全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD1底面ABCD,CD||AB,AD=DC=CB=

1,AB=2,DP=遍.

(1)证明：BD1PA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

22.(2022•全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底

面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB,4FBC,△GCD,&HDA均为正三角形,

且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

(1)证明：EF||平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

23.（2022•全国乙卷）如图，四面体ABCD中，AD1CD,AD=CD,AADB=^BDC,E为4C

的中点.

（1）证明：平面BED1平面ACD；

（2）设=BD=2,乙4cB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平

面ABD所成的角的正弦值.

24.（2022•北京）如图，在三棱柱ABC-中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B11平

面力,AB=BC=2,M,N分别为①为，AC的中点.

（I）求证：MN//平面BCGB1；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线AB与平面BMN所成角的正弦值。

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

25.（2022•新高考团卷）如图，直三棱柱ABC-A^B^的体积为4,△4BC'的面积为2位.

（1）求A到平面AXBC的距离；

（2）设D为41c的中点，AAi=AB,平面&BC_L平面488遇「求二面角4一BD-C

的正弦值.

26.（2022•上海）如图，在圆柱001中，底面半径为1,AAt为圆柱母线.

（1）若A&=4,M为44］中点，求直线MO1与底面的夹角大小；

（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

1L【答案】C

12.【答案】C

13.【答案】B

14.【答案】B

15.【答案】C,D

16.【答案】A,B,D

17.【答案】|

18.【答案】解：（I）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点交于点

,四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

乙BAD=乙CDE=60°,由平面几何知识易知，DG=AH=2,乙EFC=乙DCF=乙DCB=4ABC=

90°,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，.,.在Rt4EGD和RtxDHA,EG=DH=

2V3,

'-'DC1CF,DC1CB,且CFCCB=C,

：.DC1平面BCF,Z.BCF是二面角F-DC-B的平面角，则NBCF=60。，

/.△BCF是正三角形，由OCu平面ABCD,得平面ABCD±平面BCF,

•：N是BC的中点，FN1BC，又0cl平面BCF,FNc平面BCF,可得FN1CD,

而BCCCD=C,：.FN1平面ABCD，而4。u平面ABCD：.FNLAD.

(11)由于FN1平面ABCD,如图建系.

于是B(0,V3,0),A(5,V3,0),F(0,0,3),E(l,0,3),D(3,一百，0),则M(3,享，

!)•

V33

丽二(3,一2，*万5=(2,2怎0),屁=(—2,近,3).

平面ADE的法向量n=（遮，-1,V3）.

设BM与平面ADE所成角为0,

\BM-n\=5"

则sin。BM\\n\=

19•【答案】（1）证明：连接BO并延长交AC于点D,连接04、PD,

因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO1平面ABC,AO,BOc平面ABC,

所以P。_L2。、PO1BO,

又PA=PB,所以△POASAPOB,BPOA=OB,所以匕OAB=Z.OBA,

又ABJ.AC,即Z.BAC=90°,所以乙OAB+乙OAD=90°,乙OBA+/.ODA=90°,

所以乙ODA=AOAD

所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以0为BD的中点，又E为PB的中点，所以

OE//PD,

又OE<t平面PAC,PDu平面PAC,

所以OE〃平面PAC

（2）解：过点A作AF\\OP,以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.

因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,

义NABO=NCB。=30°,所以，AB=4A/3，所以P(28，2,3),8(48，0,0),

/(0,0,0),E(38，1,|),设力C=a,贝!1C(0,a,0),

AB•可=0

平面AEB的法向量设为可=(x,y,z),AB=(4V3,0,0),AE=(3V3,1,

M荏・九1=0

4V3x=0

所以।.3，所以%=0，设z=-2，贝Iy=3,所以—(0，3，-2)：

3V3%4-y4-2^=n0

平面AEC的法向量设为五=(x,y,z),而=(0,a,0),AE=(3V3,1,3-n2=0(所

z

kAE-n2=0

ay=0

以3岳+y+|z=0，所以设久=6，则z=—6,吠以雨=g0,-6）：

6叫、ll一、_布•药_1212_4/3

所‘cosSi,n2)-1MH电।-7T3Xy39一五后一~13

二面角C-AE-B的平面角为6,则sin0=Vl-cos20=，所以二面角C-AE-B的正

弦值为.。

20.【答案】(1)证明：由于40=CD,E是AC的中点，所以AC1DE.

'AD=CD

由于BD=BD,所以&ADB三4CDB,

Z.ADB=乙CDB

所以AB=CB,故AC_LBD,

由于DECBD=D,DE,BDu平面BED,

所以AC1平面BED,

由于ACu平面ACD,所以平面BED1平面ACD.

(2)解：依题意AB=BD=BC=2,^ACB=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,4E=CE=1,BE=曲,

由于AD=CD,ADICD,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2，所以DE1BE,

由于ACdBE=E,AC,BEu平面ABC,所以DE1平面ABC.

由于△ADBSACDB,所以Z.FBA=乙FBC,

,BF=BF

由于\^FBA=2-FBC,所以XFBA三AFBC,

.AB=CB

所以AF=CF,所以EFLAC,

由于所以当最短时，三角形的面积最小值

SAAFC=AC-EF,EFAFC♦

过E作EFJ.BO,垂足为F,

在Rt△BED中，BE-DE=BD-EF,解得EF=号,

所以DF=JI2—(^)2=>BF=2—DF='

所以需4

过F作尸HlBE,垂足为H,则FH//DE,所以FH1平面ABC，且黑=需='，

所以FH=,

所以VF-ABC-I•S6.ABC-/7W=|x|x2xV3x1=^-

21.【答案】（1）证明：在四边形ABCD中，作DEJ.4B于E,CFJ.AB于F,

因为CD"AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AE=BF=,

故。E=亨，BD=\/DE2+BE2=曲,

所以AD2BD2=AB2,

所以AD1BD,

因为PD1平面ABCD,BDc平面ABCD,

所以PD1BD,

又P。Cl40=。，

所以BD1平面PAD,

又因PAu平面PAD,

所以BD1PA

(2)解：由(1)知，PD,AD,BD两两垂直，BD=\/AB2-AD2=V3，建立空间直角坐标系如

图所示,

则D(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,遍)，

.,.PD=(0,0,-V3),PA=(1,0,一遍)，AB=(-1,V3,0),

设平面PAB的法向量为n={x,y,z),则

(PX-n=0,gpfx-V3z=0

^AB-n=0'%+V3y=0

不妨设y=z=1,则k=(V3,1,1).

设PD与平面PAB的所成角为e,则

一_\PD-n\|-V3|75

sin。=|cos(PD,n)|=,------

|P0同门又区一飞'

.••PD与平面PAB的所成的角的正弦值为第.

22.【答案】(1)证明：分别取AB,BC的中点M,N,连接MN,

因为△EAB,△FBC为全等的正三角形，所以EM1AB,FN1BC.EM=FN,又平面

EAB1平面ABCD,平面EAB(1平面ABCD=AB,EMu平面EAB,所以EM1平面

ABCD,同理可得FN1平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，而EM=

FN,所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF//MN，又EFC平面ABCD,MNc平面

ABCD,所以EF//平面ABCD.

⑵解：分别取AD,DC中点K,L,

由(1)知，EF//MN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM，HG//KL,HG=KL,

GF//LN,GF=LN,由平面知识可知，BDLMN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,所

以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4或，EM=8sin60°=4g,点B到平面MNFE的距离即为点

B到直线MN的距离d,d=2V2,所以该几何体的体积V=(4V2)2x4V3+4x|x4V2x

4V3x2V2=128V3+竽禽=竿遍.

23.【答案】(1)证明：因为AD=CD,E为AC的中点，所以ACIDE；

在XABD和△CBD中，因为AD=CD,AADB=乙CDB,DB=DB,

所以△ABD=△CBD,所以ZB=CB,又因为E为AC的中点，所以AC_LBE；

又因为DE,BEc平面BED,OEClBE=E,所以AC1平面BED,

因为ACu平面ACD,所以平面BED1平面ACD.

(2)解：连接EF,

由(1)知，AC1平面BED,因为EFc平面BED,

所以AC±EF,所以SLAFC=^AC-EF,

当EF1BD时，EF最小，即^AFC的面积最小.

因为AABD三△CBD,所以CB=4B=2,

又因为乙4cB=60。，所以XABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以4E=EC=1,BE=W,

因为AD1CD,所以DE=^AC=1,

在ADEB中，DE2+BE2=BD2,所以BE1DE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则4(1,0,0),B(0,V3,0),D(0,0,1),所以AD=(-1,0,1),荏=(一1,V3,0),

设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),

（n-AD=—x+z=0仃,「...一「

则nilbiSB=-x+Ky=0，取丫=6’则兀=（3,通,3）‘

又因为C（一L0,0）,F（0,乎,3,所以而=（1,辛，1）

n-CF6473

所以cos伍，CF)=

|n||CF|历「7

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为0(0<0<5)，

所以sin。=|cos(n,CF)\=，

所以CP与平面ABD所成的角的正弦值为早.

24.【答案】(I)设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为4ABe中位线

PN//BC

又M为AB中点，PM是正方形AA^B的中位线

所以PM//BBI

(BBJ/PM

'：\R^RCN-R=面BCGB1//面MPN

IDD\IIDC—D

'PMCPN=P

又MNU面MPN

：.MN//平面BCC1B1

(ID选择条件①，：面BCC1B11面ABB^

面BBiQCCI面ABC=BC,面AXBXBACl面ABC=AB

BC1AB

又NP//BC

：.NPA.AB,又由①：MN1AB

-NPLAB

：.MN1AB=®MNP_LAB

.NPCMN=N

,：PMc面MNP

：.PM1AB

故AB,BC,BBi两两垂直

以B为原点，近为x轴正方向，瓦？为y轴正方向，西为z轴正方向建立坐标系

B：(0,0,0),M：(0,1,2),N：(1,1,0),A：(0,2,0),

BM=(0,1,2),BN=(1,1,0),AB=(0,-2,0)

则BMN的法向量］=(2,-2,1)

AB与面BMN所成角的正弦等于荏与有所半