2022年湖北省鄂州市中考数学真题（解析版）

2022年湖北省鄂州市初中毕业生学业水平考试数学真题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.实数9的相反数等于（）

A.-9B.+9C.-D.--

99

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求

解即可.

【详解】解：实数9的相反数是-9,

故选A.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键.

2.下列计算正确的是（）

A.b+b2—b3B.沙・吩=济C.（2b）3—6h3D.3h-2b—b

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘”，合并同类项“把同类项的系

数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数基的除法“底数不变，指数相减”进行

计算即可得.

【详解】解：A、b+b2=b+b2,选项说法错误，不符合题意；

B、r+/?3=》6-3=/?3,选项说法错误，不符合题意；

C、（20）3=8/,选项说法错误，不符合题意；

D、3b-2b=b,选项说法正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幕的除法，解题的关键是掌握这些知识点.

3.孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武

昌，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

比以B武C而。昌

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，进行解答即可得.

【详解】解：A、“以”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

B、“武”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

C、“而”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

D、“昌”是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念.

4.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得.

【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形,

故选A.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图.

5.如图，直线6〃/2,点C、A分别在/卜Z2±,以点C为圆心，C4长为半径画弧，交h于点B,连接

48.若NBC4=150。，则N1的度数为（）

B\C

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】由作图得AABC为等腰三角形，可求出NA8C=15°,由八〃，2得N1=NABC,从而可得结

论.

【详解】解：由作图得，CA^CB,

MBCt为等腰三角形，

ZABC^ZCAB

=150°,

ZABC=-(180°-ZACB)=-(180°-l50°)=15°

22

：.Zi=ZABC=15°

故选B

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出NA8C=15。是解答本题

的关键.

6.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的

情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2"来表示.即：2i=2,22=4,23=8,24=

16,25=32,……,请你推算22。22的个位数字是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案.

【详解】解：；21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

尾数每4个一循环，

•.•2022+4=505........2,

.♦.22022的个位数字应该是：4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键.

7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数(&、b为常数,且火＜0)的图象与

直线都经过点A(3,1),当去时，x的取值范围是()

33

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式依+bV』x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解

3

即可

【详解】解：由函数图象可知不等式匕的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量

的取值范围，

...当fcr+匕<—x时，x的取值范围是％>3,

3

故选A.

【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键.

8.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两

个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球

的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、8、E三点的截面示意图，已知。O的直径就是铁球的直径，

A8是。。的弦，CO切。。于点E,AC±CD.BD±CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径

为（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】C

【解析】

【分析】连接04,OE,设OE与AB交于点尸，根据AC=3O,ACLCD,BOLCD得四边形48DC

是矩形，根据co与。。切于点E,0E为。。的半径得。ELCD,OELAB,即A4=P3，

PE=AC,根据边之间的关系得Q4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在&△Q4P,由勾股定理得,

PA2+OP2=OA2，进行计算可得04=10,即可得这种铁球的直径.

【详解】解：如图所示，连接OA,0E,设0E与48交于点P,

VAC^BD,ACVCD,BDLCD,

•••四边形ABDC是矩形，

•.•CO与。。切于点E,0E为。。的半径，

/.OELCD,OEYAB,

：.PA=PB，PE=AC,

AB=CD=16cm,

PA=8cm（

AC-BD=PE-4cm,

在由勾股定理得，

P^+OP^OA2

82+（QA-4）2=OA2

解得，。4=10,

则这种铁球的直径=204=2x10=20cm,

故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点.

9.如图，已知二次函数>=以2+乐+。（a、b、c为常数，且时0）的图像顶点为尸（1,/）,经过点A（2,

1）；有以下结论：①。<0；②a8c>0；③4a+2b+c=l；④x>l时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数f,

总有序+6区4+6,其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】

【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定。、氏c,的正负即可

解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可.

【详解】解：①由抛物线开口方向向下，则。<0,故①正确；

②：抛物线的顶点为P(1,②

b,

・•------=1，b=-2a

2a

*VO

：.b>0

・・・抛物线与y釉的交点在正半轴

.*.c>0

/.abc<09故②错误；

③;抛物线经过点A(2,1)

1=a?2+2b+c,即4a+2h+c=1,故③正确；

④•・•抛物线的顶点为P(1,机)，且开口方向向下

时，y随工的增大而减小，即④正确；

@Va<0

:・aP+bt-(,a+b)

=。产-2〃f-a+2。

=at2-2at+a

=a(P-2f+l)

=a(r-1)2<O

/.aP+bt^a+h,则⑤正确

综上，正确的共有4个.

故答案为c.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为

解答本题的关键.

10.如图，定直线MN〃PQ,点、B、C分别为MM上的动点，且8C=12,8c在两直线间运动过程中

始终有NBCQ=60。.点A是MN上方一定点，点。是PQ下方一定点，且〃。凡AE=4,OF=8,

AD=24y/3,当线段BC在平移过程中，AB+CQ的最小值为（）

A.24713B.245/15C.12713D.12^/15

【答案】C

【解析】

【分析】如图所示，过点F作FH〃CD交BC于H,连接四，可证明四边形CDF”是平行四边形，得到

CH=DF=8,CD=FH,贝ijBH=4,从而可证四边形A3HE是平行四边形，得至ijA8=HE,即可推出当E、F、

”三点共线时，EH+HF有最小值"即A8+C。有最小值EF,延长AE交尸。于G,过点E作ETJ_PQ于

T,过点A作ALLPQ于L,过点。作。K_LPQ于K,证明四边形8EGC是平行四边形，

ZEGT=ZBCQ=60°,得至I]EG=BC=12,然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的长即可得到答

案.

【详解】解：如图所示，过点F作EH〃CZ）交BC于“，连接EH,

VBC//DF,FH//CD,

：.四边形是平行四边形，

：.CH=DF=S,CD=FH,

：.BH=4,

：.BH=AE=4,

又；AE//BC,

：.四边形ABHE是平行四边形，

：.AB=HE,

EH+FH>EF,

.,.当E、尸、，三点共线时，E//+HF有最小值£尸即AB+C/）有最小值E尸，

延长AE交PQ于G,过点E作ET_LPQ于T,过点A作ALJ_PQ于L,过点。作QKLPQ于K,

•.­MN//PQ,BC//AE,

：.四边形BEGC是平行四边形，ZEGT=ZBCQ=60°,

，EG=BC=12,

GT=GE-cosNEGT=6,ET=GE-sinNEGT=6百，

同理可求得GL=8,AL=8百，KF=4,0K=46，

；•TL=2,

•：ALLPQ,DK±PQ,

；•AL//DK，

：.4AL0s/\DK0,

.AL_A。。

••-----------Zf

DKDO

：.AO=-AD=1673,D0=~AD=S>/3,

33

OL=JAO^-AE=24,OK=y/DO2-DK2=n,

TF=TL+OL+OK+KF=42,

•*-EF=\lET2+TF2=12V13，

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角

形，正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，EH+//F有最小值所即A8+C。有最小值EF是解题的

关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.化简：74-______i

【答案】2

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x,使得x?=a,则x就是a的算

术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.

【详解】•••22=4,•••4=2.

【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.

12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动.6名选手投中篮圈的

个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据的众数是.

【答案】3

【解析】

【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可.

【详解】解：2,3,3,4,3,5这组数据中，3出现了3次，出现的次数最多，

；.2,3,3,4,3,5这组数据的众数为3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键.

13.若实数匕分别满足〃-44+3=0,及-46+3=0,且o/b,则的值为.

ab

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】先根据题意可以把6看做是一元二次方程£一4》+3=0的两个实数根，利用根与系数的关系

得到”+b=4,"=3,再根据，+工=”2进行求解即可.

ahab

【详解】解：:。、b分另ij满足屋-4。+3=0,加-4/3=0,

・・・可以把〃、人看做是一元二次方程f—4x+3=0的两个实数根，

a+h=4tab=3,

11a+b4

-I—=----——,

abab3

4

故答案为：一.

3

【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系

是解题的关键.

14.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智意攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化

节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“白巾”位于点（-1,-2）,需”位

于点（2,-2）,那么“兵”在同一坐标系下的坐标是.

【答案】（-3,1）

【解析】

【分析】根据“削产和“马”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案.

【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系，

“兵”的坐标是（-3,1）,

【点睛】本题主要考查了坐标的实际应用，正确建立坐标系是解题的关键.

15.如图，已知直线y=2x与双曲线,=七（%为大于零的常数，且x>0）交于点A,若。1=6，则/的

X

值为

【解析】

【分析】设点A的坐标为（如2,〃），根据。4的长度，利用勾股定理求出机的值即可得到点A的坐标,

由此即可求出k.

【详解】解：设点A的坐标为（/»,2机），

••OA=\/m2+4m2=V5,

=1或〃?=一1（舍去），

，点A的坐标为（1,2）,

k=1x2=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正确求出点A的坐标是解题的关键.

16.如图，在边长为6的等边△ABC中，。、E分别为边8C、AC上的点，4。与BE相交于点尸，若

BD=CE=2,贝必ABP的周长为.

【解析】

【分析】如图所示，过点E作所_LA8于尸，先解直角三角形求出AF,EF,从而求出8F,利用勾股定理

求出BE的长，证明△ABOg/XBCE得到AD=BE,再证明△得到

2BPPD

—,即可求出BP,PD,从而求出AP,由此即可得到答案.

277o2

【详解】解：如图所示，过点E作于F,

,*'△A8C是等边三角形，

：.AB=BC,ZABD=ZBAC=ZBCE=60°,

•：CE=BD=2,AB=AC=6f

：.AE=49

；•AF=AE-cosNEAF=2,EF=AE-sinNEAF=2G，

：.BF=4,

BE=y/BF2+EF2=2A/7,

又,：BD=CE,

：.△ABD^/^BCE(SAS),

：.NBAD=NCBE,AD=BE,

又：NBDh/ADB,

:.△BDPsAADB,

.BDBP_DP

2BPPD

‘研=T=三’

...人"PD=”,

77

­=苧

.•.△482的周长=48+82+4尸=6+^^，

7

故答案为：6+•

7

A

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等

三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17先化简，再求值：工-」一，其中。=3.

a+1a+1

【答案】a-1,2

【解析】

【分析】先根据同分母分式的减法计算法则化简，然后代值计算即可.

【详解】解：—------

a+1a+1

a2-l

a+1

_S+1）（〃T）

a+1

=a-1,

当a=3时，原式=3—1=2.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知同分母分式的减法计算法则是解题的关键.

18..为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我''知识竞赛活动.李

老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分,均为整数），按成绩划分为A、B、C、。四个等级，并

制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

等级成绩X/分人数

A9020015

B80sx<90a

C70<r<8018

Dx<707

当

(1)表中〃=______,C等级对应的圆心角度数为_______；

(2)若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共

有多少人？

(3)若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为乃，乃，从其中随机抽取2人参加市级

决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到心的概率.

【答案】(1)60；108°；

(2)150(3)树状图见解析，-

3

【解析】

【分析】(1)先根据A等级的人数和人数占比求出此次抽取的学生人数，即可求出。的值；用360度乘以

C等级的人数占比即可求出C等级对应的圆心角度数；

(2)用600乘以样本中A等级的人数占比即可得到答案；

(3)先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求

解即可.

【小问1详解】

解：15+二90°一=60人，

360°

.•.此次抽取的学生人数为60人，

a=60-15-18-7=20,

1Q

：.c等级对应的圆心角度数为360。X—=108°,

60

故答案为：60；108°；

【小问2详解】

解：600x—=150人，

60

•••估计该校成绩为A等级的学生共有150人，

答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人;

【小问3详解】

解：画树状图如下：

开始

由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中抽到小，乃的结果数有2种，

21

，恰好抽到Ti,八的概率为一=一.

63

【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读

懂统计图、统计表是解题关键.

19.如图，在矩形中，对角线AC、8。相交于点O,且/COF=/8DC、NDCF=NACD.

（1）求证：DF=CF；

（2）若尸=60。，DF=6,求矩形ABC。的面积.

【答案】（1）见解析（2）366

【解析】

【分析】（1）先证明△£>（：尸会△DCO得到。尸=。。，CF=CO,再由矩形的性质证明OC=O。，即可证明

DF=CF=OC=OD；

（2）由全等三角形的性质得到/C£>O=/C£»F=60。，OD=DF=6,即可证明△OC£>是等边三角形，得到

CD=OD=C>,然后解直角三角形BCO求出8C的长即可得到答案.

【小问1详解】

解：在△£>(?/和AQC。中，

NDCF=NDCO

<CD=CD,

ZCDF=ZCDO

:.△DCFmDCO(ASA),

:.DF=DO,CF=CO,

••,四边形ABC。是矩形，

OC=OD=-AC=-BD,

22

:.DF=CF=OC=OD；

【小问2详解】

解：■:/\DCF安△DCO,

：.ZCDO=ZCDF=60°,0D=DF=6,

又：oo=oc,

oco是等边三角形，

CD=0D=6,

:四边形A3CO是矩形，

/88=90。，

BC=CD-tan/BDC=6g，

S矩形=BC-CD=36>/3.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判

定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

20.亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，

很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45。，同时另一市民乙在斜

坡CF上的。处看见飞机A的仰角为30。，若斜坡CF的坡比=1：3,铅垂高度。G=30米(点E、G、C、B

在同一水平线上).求：

A

EGCB

（1）两位市民甲、乙之间的距离CO；

（2）此时飞机的高度AB,（结果保留根号）

【答案】（1）30屈米

（2）（606+90）米

【解析】

【分析】（1）先根据斜坡b的坡比=1：3,求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；

（2）如图所示，过点。作于”，则四边形B/7OG是矩形，B”=OG=30米，DH=BG,证明

AB=BC,设米，则A"=AS—3”=（九一30）米，=5G=CG+BC=（尤+90）米，解直

角三角形得到二二型=且据此求解即可.

x+903

【小问1详解】

解：•••斜坡CF的坡比=1：3,铅垂高度。G=30米，

.DG1

••___一，

CG3

CG=90米，

,CD=y/DG2+CG2=30V10米；

【小问2详解】

解：如图所示，过点。作OHLAB于“，则四边形BM9G是矩形，

.•.BH=Z）G=30米，DH=BG,

'：ZABC=90°,ZACB=45°,

」.△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC,

设米，则AH=AB—3//=(x—30)米，D/7=5G=CG+BC=(x+90)米,

在放△AOH中，tanZADH=—=—,

DH3

.x-30V3

••'-f

x+903

解得X=60G+90，

.•.43=(60百+90)米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅

助线是解题的关键.

21.在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了

一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系

如图所示：

(2)当15人45时，请直接写出y关于x的函数表达式;

(3)当小明离家2km时，求他离开家所用的时间.

【答案】(1)2.5;1

6

2.5(15<x<30)

(2)y=<1

--x+4.5(30<x<45)

(3)当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min

【解析】

【分析】(I)根据函数图象结合路程=时间*速度进行求解即可；

(2)分当15WxW30时和当30<xK45时两种情况讨论求解即可：

(3)分当小明处在去体育馆途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求

解即可.

【小问1详解】

解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km,

251

小明家离体育馆的距离为2.5km,小明跑步的平均速度为一=—km/min,

156

故答案为：2.5；—；

6

【小问2详解】

解：由函数图象可知当15WXW30时，y=2.5,

当30<xW45时，此时y是关于x一次函数，设y=

,’30女+人=2.5

,,145左+。=1.5’

k=--

解得《15,

8=4.5

，此时y=-j^x+4.5,

-2.5（15<x<30）

综上所述，y-<

--x+4.5（30<x<45）

【小问3详解】

解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时,

x=y=12

1；

6

当小明从体育馆去商店途中离家2km时，

---x+4.5=2,

15

解得x=37.5；

综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min.

【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键.

22.如图，△ABC内接于P是。0的直径AB延长线上一点，ZPCB=ZOAC,过点。作BC的平行线

交PC的延长线于点D

(1)试判断PC与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=4,tanA=g,求△OCO的面积.

【答案】(1)PC与。。相切，理由见解析

(2)9

【解析】

【分析】(1)先证明NAC8=90。，然后推出NPC8=NOC4,即可证明NPCO=90。即可；

13

(2)先证明——=—,再证明△PBCsZV>CA,从而求出以=4,PB=1,AB=3,OC=OB=—,

AC22

0P=，,最后证明△PBCSApo。，求出PO=10,则C£>=6,由此求解即可.

2

【小问1详解】

解：PC与00相切，理由如下：

•.•AB是圆。的直径，

ZACB=90°,

：.Z0CB+Z0CA=9Q°,

'：OA=OC,

ZOCA^ZOAC,

,：ZPCB=ZOAC,

：.ZPCB=ZOCA,

：.ZPCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90°,即/PCO=90°,

...PC与。0相切；

【小问2详解】

解：ZACB=90°,tanA=-,

2

.BC1

••---=一,

AC2

,：ZPCB=ZOAC,NP=NP,

.PCPBBC

''~PA~~PC~~CA~2'

PA-S,PB=2,

,".AB=6,

OC=OB—3,

0P=5,

BC//OD,

△PBCsxPOD,

PBPC24

----»即nn——,

OPPD5PD

二PZ)=10,

CD=6,

Sncn=—OCCD=9.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似

三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键.

23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究>=元(〃>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点M到定点F(0,—)的距离始终等于它到定直线/：y=-1-上的距离MN

4a4a

(该结论不需要证明)，他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，y=--L叫做抛物线的

4。

准线方程.其中原点。为FH的中点，FH=2OF=—,例如，抛物线其焦点坐标为F(0,

2a」

7).准线方程为/：、=-3•其中FH=2OH=\.

请分别直接写出抛物线y=2/的焦点坐标和准线/的方程：,.

(2)【技能训练】

如图2所示，已知抛物线丫=1/上一点p到准线/的距离为6,求点P的坐标;

O

(3)【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线>=靖(«>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线/于点A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求”的值；

(4)【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比''问题：点C将一条线段AB分

为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：一匕=芸=

ABAC

避二1.后人把1二1这个数称为“黄金分害I]”把点C称为线段A8的黄金分割点.

22

如图4所示，抛物线y=—炉的焦点F(0,1),准线/与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的黄金分

4

割点，点"为y轴左侧的抛物线上一点.当竺丝=正时，请直接写出AHME的面积值.

MF

【答案】(1)(0,—),y=—,

88

(2)4叵，4)或(-4四,4)

⑶a=-

4

(4)逐一1或3-右

【解析】

【分析】(1)根据交点和准线方程的定义求解即可；

(2)先求出点P的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

(3)如图所示，过点8作轴于O,过点A作AELy轴于E,证明△FDBS^FHC,推出

FD=—,则。。=。/—。F=—,点B的纵坐标为一!一，从而求出且，证明

6a12a12。6。

△AEFs&BDF,即可求出点A的坐标为（-26,2+—）,再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解

4a

即可；

（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNLI于N,则MN=MF,

先证明是等腰直角三角形，得到NH=MN,设点M的坐标为（〃［，-m2）,则

4

1.L

MN=-m2+\=-m=HN,求出加=一2,然后根据黄金分割点的定义求出”E=6-1,贝U

4

SAHME'HE.NHM-I；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时4"ME的面积•

【小问1详解】

解：由题意得抛物线y="的焦点坐标和准线/的方程分别为（0,-）,y=-1，

88

故答案为：（0,—）,y=――,

8.8

【小问2详解】

解：由题意得抛物线丫=!/的准线方程为>=--!-=一2,

84a

•.•点尸到准线/的距离为6,

...点P的纵坐标为4,

1,

.•.当y=4时，一炉=4,

8

解得x=+4\/2,

点尸坐标为（40，4）或（—4加，4）；

【小问3详解】

解：如图所示，过点8作B£）J_y轴于£>,过点A作AEJLy轴于E,

由题意得点尸的坐标为尸（0,—）直线/的解析式为：），=-1-,

4a4a

BD//AE//CH,FH=—,

2a

:・&FDBs»FHC,

.BDFDFB

••丽―丽一正‘

,:BC=2BF,

:・CF=3BF,

.BDFD_FB

••丽一丽-7E一针

FD=~,

：.OD=OF-DF=—,

12a

...点B的纵坐标为一L,

12。

.1_2

••-----=CIX,

12。

解得x=Y3（负值舍去）,

6a

；•BD=—,

6a

・・•AE//BD,

：.BDF,

.AE_BD_H

••=-----=75,

EFDF

•••AE=y/3EF，

AE2+EF2=AF2，

4EF2=AF2=16,

：.EF=2,

AE=2y[3,

••.点A的坐标为（—2，2+--）,

48a2-8。-1=0，

/.（12a+1）（4«-1）=0,

解得。=_1（负值舍去）；

【小问4详解】

O

H

图3

解：如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M作于N,则MN=MF,

..*u-,.rMNMF>/2

•・•在心A△MN”中，smZMHN=--=-----=」一，

MHMH2

・•・/MHN=45。,

・・・4MNH是等腰直角三角形，

:・NH=MN,

-17

设点M的坐标为（m,—m）,

1

・・.MN=—9m2+1=-根="N,

:・HN=2,

•・•点E是靠近点尸的黄金分割点,

•••HE=^^-HF=y/5-\>

2

•••SAHME=；HE-NH=布一1；

同理当E时靠近H的黄金分割点点，EF=避」HF=亚一1，

2

•••HE=2—亚+1=3-非，

•••S&HME=；HE-NH=3-非,

综上所述，SMME=2M2或S.ME=3-也

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.

24.如图］,在平面直角坐标系中，Rf/iOAB的直角边0A在y轴的正半轴上，且0A=6,斜边。8=10,点

P为线段AB上一动点.

(1)请直接写出点8的坐标；

(2)若动点P满足/POB=45。，求此时点尸的坐标；

(3)如图2,若点E为线段0B的中点，连接PE,以尸E为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点

为A,当以工。8时，求此时点尸的坐标；

(4)如图3,若尸为线段A