全等三角形模型压轴题综合训练（二）（解析版）（人教版）

全等三角形模型压轴题综合训练（二）一、单选题1．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;②利用三角形的外角性质即可证明;④作于，于,再证明即可证明平分.【详解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，①正确；∴，由三角形的外角性质得：∴°，②正确；作于，于，如图所示则°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正确；正确的个数有3个；故选B．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.2．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D,过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G,则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH;其中正确的是(

)A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②③先根据直角的关系求出，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得然后利用平角的关系求出，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF>AP，从而得出本小题错误．【详解】①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，∴在△ABP中,，故本小题正确；②③∵∴∴∠AHP=∠FDP，∵PF⊥AD，∴在△AHP与△FDP中，∴△AHP≌△FDP(AAS)，∴DF=AH，∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，∴又∵∴∠PAE=∠PFD，∵∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP与△FBP中，∴△ABP≌△FBP(AAS)，∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD−AH=AB，故③小题正确；④∵PF⊥AD,∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∴∴DG=AG，∵AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF>AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选A.【点睛】考查直角三角形的性质,角平分线的定义,垂线,全等三角形的判定与性质，难度较大.掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.3．如图，中，，，是中线，，垂足为，的延长线交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作CH⊥AC，交AE延长线于H，先证明△ABD≌△CAH，得到∠ADB=∠H，再证明△CDE≌△CHE，得到∠CDE=∠H=∠ADB，再根据求出答案.【详解】作CH⊥AC，交AE延长线于H，∵，，∴∠ABD+∠BAF=∠CAH+∠BAF=90，∠ACH=,∴∠ABD=∠CAH，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAH，∴∠ADB=∠H,∠ACH=,AD=CH,∵，AB=AC，∴∠ACB=45，∴∠ECH=∠ACB=∠ABC=45，∵BD是中线，∴CD=AD=CH,∵CE=CE,∴△CDE≌△CHE,∴∠CDE=∠H=∠ADB,∵,∴∠ABD=45-α，∴∠CDE=∠ADB=90∠ABD=,故选：D.【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，题中的辅助线是难点，由中线考虑辅助线的添加方法.4．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（

）A．105° B．110° C．100° D．120°【答案】C【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE＝∠AB′E，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′＝∠AB′E，∴∠ABE＝∠AHC′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′＝∠ACD，∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，∴∠C′AH＝120°，∴∠C′＋∠AHC′＝60°，∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．5．如图，正方形ABCD的面积为16cm2，△AEF为等腰直角三角形，∠E=90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，则△CGH的周长（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】延长CB至M，使BM=DH，连接AM；易证△ABM≌△ADH与△AMG≌△AHG，得到△CGH的周长=GH+CG+CH=GM+CG+CH=BM+BG+CG+CH=DH+BG+CG+CH=BC+CD=8．【详解】延长CB至M，使BM=DH，连接AM；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB=BC=CD=4cm，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABM=90°，在△ABM和△ADH中，AB=AD,∠ABM=∠D=90°，BM=DH，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AM=AH，∠BAM=∠DAH，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠HAG=45°，∴∠BAG+∠DAH=45°，∴∠MAG=45°，在△AMG和△AHG中，AM=AH,∠MAG=∠HAG,AG=AG∴△AMG≌△AHG（SAS），∴GM=GH，∴△CGH的周长=GH+CG+CH=GM+CG+CH=BM+BG+CG+CH=DH+BG+CG+CH=BC+CD=8．故选C．【点睛】本题考查正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形性质与证明，综合程度较高，本题关键在于需要将两对全等三角形找出，利用边相等替换计算二、填空题6．如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为．【答案】【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解．【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，，又，，，，当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，设，，，，，，，，即取得最小值时，CM的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于．【答案】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=BE•DG，S△BED=AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC==2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.8．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为.【答案】1.5【分析】延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE的长，再根据，求出BE的长即可求得BD.【详解】延长BD交AC于点E，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC-CE=8-5=3，∵,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考查等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.9．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为．【答案】70°【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，进而得出∠MAN的度数．【详解】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，∵∠BAD=125°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．∴∠MAN=180°﹣110°=70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．10．如图，摆放矩形与矩形，使在一条直线上，在边上，连接，若为的中点，连接，那么与之间的数量关系是．【答案】【分析】只要证明△FHE≌△AHM，推出HM=HE，在直角△MDE中利用斜边中线的性质，则DH=MH=HE，即可得到结论成立．【详解】解：如图，延长EH交AD于点M，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFH=∠HAM，∵点H是AF的中点，∴AH=FH，∵∠AHM=∠FHE，∴△FHE≌△AHM，∴HM=HE，∴点H是ME的中点，∵△MDE是直角三角形，∴DH=MH=HE；故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为．【答案】【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，∵又∵，∴∵，FA=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵，∴∵∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．三、解答题12．在中，，，，，分别交直线、于点、．（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，线段、、之间有何数量关系，证明你的结论；（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、、有何数量关系？证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，然后利用ASA证出，从而证出结论；（2）过作，，连接AO，证出，AO平分∠BAC，，从而得出OE=OF，BE=OE，将△ONF逆时针旋转，使OF和OE重合，点N落在点G处，利用SAS即可证出△MOG≌△MON，得出MN=GM，再结合正方形的性质和等量代换即可得出结论；（3）在上截取，连接，先利用SAS证出，从而得出，，再利用SAS证出，最后利用等量代换即可得出结论．【详解】证明：（1）∵，，，∴，，∵，∴∠AOM＋∠AON=90°，∠CON＋∠AON=90°∴在△AOM和△CON中∴，∴

（2）、、之间的数量关系是：过作，，连接AO

∴四边形为矩形∵，，∴，AO平分∠BAC，∴OE=OF，BE=OE∴四边形为正方形，∵将△ONF逆时针旋转，使OF和OE重合，点N落在点G处∴∠MOG=∠EOM＋∠NOF=90°－∠MON=45°=，OG=ON，GE=FN在△MOG和△MON中∴△MOG≌△MON∴MN=GM=EM＋GE=∴而∴（3）在上截取，连接

∵，，，∴，，在△BOM和△AOE中∴，∴，∵，∴即，在△MON和△EON中∴∴【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．13．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；（2）求证：BM＝DM+DC；（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，见解析【分析】（1）由三角形内角和定理得出，，又∠ABE＝∠ACF，则进行计算即可得解；（2）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论；（3）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论．【详解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD与Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．【点睛】本题主要考查了角的和差倍分及三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键.14．如图，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为________；（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．【答案】（1）AC=CN；（2）成立，证明见解析；（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°或240°．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠NEM=∠ADM，由中点的定义可得DM=EM，利用ASA可证明△ADM≌△NEM，可得AD=NE，根据全等三角形的性质可得AD=BC，AB=CE，根据等量代换的NE=BC，由∠BEC=30°，可得∠NEC=∠ABC=120°，利用SAS可证明△ABC≌△NEC，即可证明AC=NC，可得答案；（2）设旋转角为α，同（1）可证明△MEN≌△MDA，可得NE=BC，可利用α表示出∠ABC、∠DBE，根据平行线的性质可用α表示出∠CEN，即可得出∠ABC=∠CEN，利用SAS可证明△ABC≌△CEN，即可证明（1）中结论依然成立；（3）由△CAN为等腰直角三角形，AC=CN可得∠CAN=90°，设旋转角为，可知旋转过程中∠ABC=120°+，可得∠ABC=180°时，∠CAN=90°，进而求出的度数即可．【详解】（1）AC与CN数量关系为：AC=CN．理由如下：∵△BAD≌△BCE，∴BC=AD，EC=AB，∵EN∥AD，∠DAB=90°，∴∠MEN=∠MDA．∠BEN=90°，∵∠BEC=30°，∠BCE=90°，∴∠CEN=120°，∠ABC=120°，∴∠CEN=∠ABC，∵M为DE的中点，∴MD=ME，在△MEN与△MDA中，，∴△MEN≌△MDA（ASA），∴EN=AD，∴EN=BC．在△ABC与△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN．（2）结论仍然成立．理由如下：与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．设旋转角为α，∴∠ABC=120°+α，∵∠ABD=30°，∴∠DBE=150°-α，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=（180°-∠DBE）=15°+α，∵EN∥AD，∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+α）=75°+α，∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+α）+（75°+α）=120°+α，∴∠ABC=∠CEN，在△ABC与△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN．（3）如图，设旋转角为，∵图1中∠ABC=120°，∴旋转过程中，∠ABC=120°+，∵△CAN为等腰直角三角形，AC=CN，∴∠CAN=90°，∴当∠ABC=180°时，∠CAN=90°，即点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．∴=180°-120°=60°∴△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°或240°．【点睛】本题考查了图形的旋转变换，由旋转性质得出旋转过程中不变的量，再利用全等三角形证明题设中的结论是解题关键．15．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接，，为的中点，连接．（1）如图①，当时，求证：；（2）当时，（1）的结论是否成立；请结合图②说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析．【分析】（1）因为CF是直角三角形ACD的中线，所以AD=2CF，然后通过△BCE≌△ACD即可求得．（2）延长延长至，使，连接，证出△BCE≌△ACM，从而证得AM=BE，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得AM=2FC，即可求得．【详解】解：证明：（1）∵，为的中点∴∵，，∴在和中，∴∴∴（2）当时，（1）的结论仍成立．理由如下：如图，延长至，使，连接∵∴又∴在和中，∴∴∵，，∴∴为的中心∵为的中心是的中位线∴∴【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键17．如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到.（1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明．（2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题：（Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.（Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直