重难突破04 三线合一的综合应用解析版

重难突破04“三线合一”综合应用重难突破一、单选题1．（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】连接AD，AM，由题意易得AD⊥BC，BD=DC=2，AM=MC，则有C△MDC=MD+MC+DC=MD+AM+DC，要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、【详解】解：连接AD，AM，如图所示：∵AB=AC，点D是BC的中点，BC=4，∴AD⊥BC，BD=DC=2，∵△ABC的面积为20，∴S△ABC∴AD=10，∵EF垂直平分AC，∴AM=MC，∴C△MDC要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即MD+AM=AD，∴△CDM的周长为最小值为C△MDC故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理是解题的关键．2．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=12AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∵BD是AC边上的高，∴AD=CD=12AC=3，∠DBC=12∠ABC∵CE=CD，∴CE=12AC=3∴BE=BC+CE=6+3=9．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC3．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为()A．70° B．55° C．65° D．35°【答案】B【分析】由已知条件，利用等腰三角形三线合一的性质进行求解．【详解】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAD=35°．∴∠C=90°-35°=55°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．4．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（

）A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】①根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C；④根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】连接AD，AM，首先由AB＝AC，得到△ABC是等腰三角形，然后根据点D为BC边的中点，得出AD⊥BC，根据垂直平分线的性质得出AM=CM，然后可判断出AD的长度即线段CM+DM的最小值，即可求出△CDM周长的最小值．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，SΔABC解得：AD=5，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA=MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=AD+1故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，轴对称最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质．6．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是∠BAC的平分线，AD=4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（

）A．245 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时的PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长度，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长．【详解】解：过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，如图所示：∵AB=AC=5，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴PC=PB，要使PC+PQ取最小值，则当BQ⊥AC时，PC+PQ=PB+PQ=BQ为最小值，∴S△ABC=1又∵S∴1∴BQ=24故选：A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质以及等面积法，利用点到直线，垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．7．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知∠AOB=60°，点P在OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】B【分析】过P作PD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出MD，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出答案即可．【详解】解：过P作PD⊥OB于D，∵PM=PN,MN=2cm∴MD=ND=1cm∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∵∠POB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=1∵OP=8cm，∴OD=4cm∴OM=OD-MD=3(cm故选B．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．8．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝∵EF是线段AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．9．（2011秋·福建福州·八年级统考期末）如图，中，AB=AC，AD是的平分线，，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：（1）DE=DF；（2）线段AD上任一点到点C、点B的距离相等；（3）BD=CD；（4）其中，正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，∴DE=DF，（1）正确；∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，∴（2），（3）正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF，（4）正确．故选D．10．（2023·福建龙岩·校考一模）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．22﹣2 C．22+2 D．22【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝42，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝42，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝12AB＝22∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝22﹣2，故选：B．【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，则∠EAC的大小为（

）A．10° B．15° C．18° D．20°【答案】B【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得∠CAD=12∠BAC=30°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠DAE=45°，根据∠EAC=∠DAE-∠CAD【详解】解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∵AD是等边三角形ABC的中线∴∠CAD=∵以AD为斜边作等腰直角三角形ADE∴∠DAE=45°∴∠EAC=∠DAE-∠CAD=45°-30°=15°故选：B．【点睛】此题考查了三角形的度数问题，解题的关键是掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质、角的和差关系．12．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，则以下结论不正确的是：（

）A．AC⊥BD B．BD是AC的垂直平分线C．AC平分∠BAD D．OB=OD【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定定理和等腰三角形的性质逐项进行判断即可．【详解】解：∵AB=AD，BC=DC，∴点A、C在线段BD的垂直平分线上，∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故A正确，∵无法证明AB=BC,DC=AD，∴B错误；∵AB=AD，AC⊥BD，∴AO平分∠BAD，OB=OD，故CD正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．13．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是∠BAC的平分线，AD=4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（

）A．245 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时的PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长度，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长．【详解】解：过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，如图所示：∵AB=AC=5，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴PC=PB，要使PC+PQ取最小值，则当BQ⊥AC时，PC+PQ=PB+PQ=BQ为最小值，∴S△ABC=1又∵S∴1∴BQ=24故选：A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质以及等面积法，利用点到直线，垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．14．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．15．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG＝50°，则∠A的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ACG=∠BCG=50°，再由直角三角形两锐角互余的性质即可求得∠A．【详解】解：∵AC=BC，CF⊥AB，∴∠ACG=∠BCG=50°，∴∠A=90°-∠ACG=40°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．解：作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=5，∴OM=OH−MH=4，故选B.17．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）对于等腰三角形形“三线合一”性质定理的推理过程，下列正确的是（

）A．∵△ABC是等腰三角形，∴AD平分∠BACB．∵△ABC是等腰三角形，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，BD=CDC．∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CDD．∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴BD=CD【答案】C【分析】根据等腰三角形三线合一的性质来判断各选项．【详解】解：“三线合一”性质定理的推理过程为：∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，或∵△ABC是等腰三角形，BD=CD，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，或∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=CD，故选：C．【点睛】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．18．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，如果D是BC的中点，DE⊥AB，垂足是E，那么AE:BE的值等于（

）A．13 B．33 C．14【答案】A【分析】根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°，连接AD，可求得∠ADE=∠B=30°，再由直角三角形性质即可求解．【详解】解：如图，连接AD，∵AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠B=∠C=30°，∠ADB=90°．∵DE⊥AB，∴∠BED=∠ADB=90°．∴∠B+∠BDE=∠ADE+∠BDE=90°．∴∠ADE=∠B=30°，设AE=x，则AD=2x，AB=2AD=4x，∴EB=AB-AE=3x，∴AE:BE=x:3x=1:3=1故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形的性质，掌握等腰三角形与含30°角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键．19．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（

）A．垂线段最短 B．等腰三角形的“三线合一”C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理【答案】B【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案．【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的，因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键．20．（2022秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【详解】试题分析：∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，根据等腰三角形底边上的“三线合一”可知，AD垂直平分BC，①正确；由①的结论，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF（AAS）故有AE=AF，DE=DF，②正确；AD是△ABC的平分线，根据角平分线性质可知，AD上的点到B、C两点距离相等，③正确；根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．正确的结论共有4个.故选A.考点：全等三角形的判定与性质．二、填空题21．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，点E，F是AD上的两点，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC的垂直平分线，从而可得EB=EC，FB=FC，然后利用SSS证明△EBF≌△ECF，从而可得图中阴影部分的面积【详解】解：∵AB=AC，∴AD是BC的垂直平分线，∴EB=EC，在△EBF和△ECF中，EB=ECFB=FC∴△EBF≌△ECFSSS∴△EBF的面积=△ECF的面积，∵△ABC的面积为6，BD=CD，∴△ABD的面积=12△ABC∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．22．（2022春·福建厦门·八年级期末）P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为．【答案】142°【分析】在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数．【详解】在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，在△APB和△APF中，AB=∴△APB≌△APF（SAS），∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°∴∠AEP=∠FEP=90°，∴∠PBF=∠PFB=60°∵∠PBC＝30°∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF∴BC垂直平分PF∴PC=PF∴∠CPF＝∠CFP＝8°∴∠DPC＝38°∴∠APC＝142°；故答案为：142°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．23．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，CD是△ABC的高，∠A=2∠B,∠ACB的平分线CG交AB于点G，则BC-BGDG的值为【答案】2【分析】在AD上取点H，使DH=DG，连接CH，证明BC=BH，计算即可．【详解】解：在AD上取点H，使DH=DG，连接CH，∵CD⊥AB，∴CH=CG，∴∠CHD=∠CGD，∠DCH=∠DCG，由三角形内角和定理得，∠ACB=180°-∠A-∠B，∵∠A=2∠B，∴∠ACB=180°-3∠B，∵CG是∠ACB的平分线，∴∠BCG=1∠CGD=∠BCG+∠B=90°-1在Rt△CDG中，∠CGD=90°-∠DCG∴∠DCG=1∴∠HCG=∠B，∠CGD=∠BCG+∠B，∠BCH=∠BCG+∠HCG，∴∠CGD=∠BCH，∵∠CHD=∠CGD，∴∠CHD=∠BCH，∴BC=BH，∴BC-BG=BH-BG=GH=2DG，即BC-BGDG故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线，垂直平分线的性质，三线合一，等腰三角形的判定和性质，掌握相应定理，熟练转化角和边的关系是解题的关键．24．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，∠AOB=30∘，点M，N在射线OA上（都不与点O重合），且MN=3，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为【答案】6或3【分析】分三种情况①如图1，当∠MNP=90°，PN=MN=3，②如图2，当∠NPM=90°，PM=PN时，过P作PH⊥MN于H，③如图3，当∠NMP=90°，PM=MN=3，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：若ΔMPN①如图1，当∠MNP=90°，PN=MN=3，∵∠AOB=30°，∴OP=2PN=6；②如图2，当∠NPM=90°，PM=PN时，过P作PH⊥MN于H，则PH=1∵∠AOB=30°，∴OP=2PH=3，③如图3，当∠NMP=90°，PM=MN=3，∵∠AOB=30°，∴OP=2PM=6；综上所述，PO的长为6或3，故答案为：6或3．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含30°直角三角形的性质，分类思想的运用是解题的关键．25．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，BE是中线，∠BCA的平分线CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论：①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④【答案】①②③【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，再由三角形外角性质即可判断；③根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的性质即可判断．【详解】解：∵BE是中线，∴AE=CE，∴S△ABE=S△BCE，故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，∴∠AFG=∠AGF，故②正确；∵AD是高，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵CF是角平分线，∴∠ACB=2∠ACF，∴∠BAD=2∠ACF，即∠FAG=2∠ACF，故③正确；∵CF平分∠ACB，∴只有当AC=BC时，AF=FB，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形的角平分线，中线和高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线，中线，高的定义是解题的关键，属于基础题．26．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为．【答案】3【分析】作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DN，EM，DE，OD，OE，根据轴对称的性质可得EM=PM，DN=PN，OD=OP=OE=3，从而可得△PMN周长PM+MN+PN=EM+MN+DN，再根据两点之间线段最短可得当点【详解】解：如图，作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DN，则OA垂直平分PE，OB垂直平分PD，∴EM=PM,DN=PN,OD=OP=OE=3，∴△PMN周长为PM+MN+PN=EM+MN+DN，由两点之间线段最短可知，当点E,M,N,D四点共线时，EM+MN+DN的值最小，最小值为DE的长，∵OE=OP，∴∠AOE=∠AOP（等腰三角形的三线合一），同理可得：∠BOD=∠BOP，∵∠AOB=30°，∴∠BOP+∠AOP=30°，∴∠DOE=∠BOD+∠BOP+∠AOP+∠AOE=2∠BOP+∠AOP又∵OD=OE=3，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OD=3，∴EM+MN+DN的最小值是3，∴△PMN周长的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得△PMN的周长最小时，点M，27．（2022秋·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD=5，BE=6，P是AD上的一个动点，连接PE，【答案】6【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥【详解】解：如图，连接PB，∵AB=AC，AD是∴AD⊥∴PB=∴PC+∵PE+∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为∴PC+PE的最小值是故选：B．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．（2022秋·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为．【答案】14【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=4∵点E为AC的中点，∴DE=CE=12AC=5∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故答案为∶14【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．29．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且∠ADB=60°，若AD=5，CD=4，则BC的长是．【答案】13【分析】过A点作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：过A点作AE⊥BC于E，∵∠ADB=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=5，∴DE=1∴CE=DE+CD=2.5+4=6.5，在等腰△ABC中，AB=AC，∴BC=2CE=13．故答案为：13．【点睛】此题考查了含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．30．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．【答案】10【分析】连接AD，由于ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD【详解】解：如图，连接AD，∵ΔABC是等腰三角形，点D是∴AD⊥BC，∴SΔ解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴ΔCDM周长的最小值故答案为：10．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．31．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则∠ABC＝．【答案】60°/60度【分析】根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而求出∠AED=∠BED=50°，得到∠BEC，再根据AE=BC，得到BE=BC，从而根据等边对等角求出∠C．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，∴∠BEC=180°-2×50°=80°，∵AE=BC，∴BE=BC，∴∠C=∠BEC=80°，∴∠ABC=180°-80°-40°=60°故答案为：60°．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质，得到相等的边和角．32．（2022·福建宁德·八年级校联考期中）如图，等边△ABC中，AD是中线，DE⊥AC于点E，DE=3，则点D到AB的距离为：．【答案】3【分析】作DF⊥AB，根据等腰三角形性质可得AD是∠BAC的角平分线；根据角平分线性质可得DF=DE=3．【详解】解：作DF⊥AB因为，三角形ABC是等边三角形，AD是中线所以，∠BAD=∠CAD=30〬,即：AD是∠BAC的角平分线．因为，DE⊥AC所以，DF=DE=3所以，D到AB的距离为3．故答案为3．【点睛】本题考核知识点：等腰三角形性质，角平分线性质.解题关键点：熟记等腰三角形“三线合一”性质．33．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为65和33，则△EDF的面积为．【答案】16【详解】解：过D作DN⊥AC于N，在AC上找一点M，令AM=AE，∵AE=AM，∠EAD=∠MAD，AD=AD，∴△AED≅△AMD,△ADG和△AED的面积分别为65和33，∴S△MDG∵DE=DG，∴DM=DG，∴△DMG是等腰三角形，∵DF=DN，DE=DM，∴△EFD≅△NMD，∴S34．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知：在ΔABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=.【答案】75°或35°【分析】分两种情况：当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，通过等量代换得出CD=AB=AD，从而利用三角形外角的性质求出∠C，最后利用三角形内角和即可求解；当∠ABC为钝角时，直接利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．【详解】当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，如图1∵AB=AD∴∠ADB=∠ABH=70°,BH=DH∵AB+BH=CH,CH=CD+DH∴CD=AB=AD∴∠C=1∴∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75°当∠ABC为钝角时，如图2∵AB+BH=CH,∴AB=BC∴∠BAC=∠ACB=故答案为：75°或35°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分情况讨论是解题的关键．35．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，AD是等腰直角三角形ABC的底边上的中线，以AD为边向右作等边三角形ADE，则∠EAC的度数为．【答案】15°/15度【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=45°，再由等边三角形的性质可得∠DAE=60°，即可求解．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD是△ABC的底边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴∠CAD=45°，∵以AD为边向右作等边三角形ADE，∴∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=15°．故答案为：15°【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题36．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图为5×5的网格，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点称为格点，A，B，C都是格点．（1）H为一格点，连接CH，使CH是△ABC的高，画出CH；（2）D为一格点，且BA平分∠DBC，画出线段BD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）CH是△ABC过点C的高，故过点C作CH⊥直线AB即可找到点H；（2）作∠CBA=∠DBA，找到射线BD，射线BD经过的格点即为点D．【详解】解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）如图，线段BD即为所求．【点睛】本题考查了等角的作图，三角形高的画法，属于基础题．37．（2022·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：AE＝DE；（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝∠ADE；（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可【详解】证明：（1）∵DE∥BC，∴∠C＝∠ADE，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE；（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵AB＝BC，D为AC中点，∴∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝25°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.38．（2022秋·福建莆田·八年级福建省莆田市中山中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=4，点O为AC中点，点E为边AB上一点，∠EOF=90°，OF交BC于点F【答案】8【分析】连接BO，先证明△COF≌△BOE，即可推得S四边形【详解】解：连接BO∵AB=BC，点O为AC的中点，∠ABC=90°∴BO⊥AC,∠OBC=∠ABO=∠C=45°，∴OB=OC∵∠EOF=90°∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，∠OBE=∠C∴△COF≌△BOE(ASA)∴故答案为：8．【点睛】本题考查全等三角形的性质，通过等腰直角三角形三线合一的性质证明全等是解题的关键．39．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝23，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．（1）补全图形；（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．【答案】（1）补全图见解析；（2）AP+FP的值最小值为3【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小，求出EF的值即可．【详解】解：（1）补全图形如下：（2）连接EF交BC于点P，∵AB＝AC，BC＝23，AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，∴BD=DC=3,∠BAD=∠CAD∵DE=AD，AD⊥BC，∴BC为AE的垂直平分线，∴CA=CE，AP=EP，∴AP+FP=EP+PF，最小为EF，△ACE为等边三角形，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC，∴EF=CD=3，AP+FP的值最小值为3【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，三线合一，线段垂直平分线的性质和判定等，解题的关键是在（1）中能根据题意正确画出图形是解题关键；（2）中能结合线段垂直平分线的性质得出最小值为EF和理解等边三角形三高相等．40．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图所示，已知AB=AC，AD是高，BE=CF．求证：△BDE≌△CDF．【答案】见解析【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD=DC、∠B=∠C，然后结合条件运用SAS即可证明．【详解】证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AD是高∴BD=DC在△BDE和△CDF中,BE=CF∴△BDE≌△CDF(SAS)．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，掌握等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的角平分线重合是解答本题的关键．41．（2022秋·福建莆田·八年级校联考期中）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写出已知，求证，然后证明）．已知：求证：证明：【答案】见解析【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，然后证明：连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE＝DF，得证．【详解】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF．证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质），又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边相等）．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质的应用，解题关键是掌握等腰三角形的两腰相等且底边上的两个角相等，及角平分线上的点到角两边的距离相等．42．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：点M是BE的中点．【答案】证明见解析．【分析】连接BD，根据等边三角形的性质可得∠DBC=30°，再利用三角形的外角性质推出∠E=30°，从而得到△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．【详解】证明：如图，连接BD．∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，∴∠DBC=12∠ABC=∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，∴△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴点M是BE的中点．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．43．（2022秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．(1)请你利用无刻度直尺和圆规完成如下操作：作边AB的垂直平分线与AD相交于点P．(2)连接PB，PC．写出线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)PA＝PB＝PC，理由见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法解答；（2）由已知得到PB＝PC，根据EF垂直平分AB，得到PA＝PB，由此证得PA＝PB＝PC．【详解】（1）解：如图，直线EF即为所求；（2）解：PA＝PB＝PC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，即AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵EF垂直平分AB，∴PA＝PB，∴PA＝PB＝PC．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．44．（2022秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校联考期中）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB=AC，．求证：．证明：．

【答案】CD⊥AB于D；∠BCD=1【分析】根据题意写出已知和求证；再根据等腰三角形的三线合一性得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC【详解】已知：在△ABC中，∠A为锐角，CD⊥AB于D，求证：∠BCD=证明：过点A作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，∴∠BAE=∠CAE=1∵AE⊥BC，∴∠BAE+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠BAE=12【点睛】本题考查了命题的证明，等腰三角形的三线合一性，同角的余角相等，掌握等腰三角形的三线合一性是解题的关键．45．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）如图，在△ABC中，CD=CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE=∠DBF．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的三线合一求出∠ACE=∠DCE，再证明CE∥BF，根据平行线的性质得到结论.【详解】∵CD=CA，CE⊥AD，∴∠ACE=∠DCE，∵BF⊥AD，∴CE∥BF，∴∠DBF=∠DCE,∴∠ACE=∠DBF.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，平行线的判定及性质.46．（2022秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠ABC=90°，点P是斜边AC上一点，作射线BP，过点A作AD⊥BP于点D，过点C作CE⊥BP于点E．(1)依题意补全图形（不用尺规作图），并求证AD=BE；(2)若AP=BC，△BPC的面积为9，求CE的长．【答案】(1)图见解析，证明见解析(2)CE=3【分析】（1）先根据射线和垂线的作法补全图形，再根据直角三角形的性质可得∠BAD=∠CBE，然后根据三角形全等的判定定理证出△ABD≅△BCE，最后根据全等三角形的性质即可得证；（2）先根据等腰三角形的三线合一可得BD=PD，再根据全等三角形的性质可得BD=CE，设BD=CE=PD=a(a>0)，从而可得BP=2a，然后利用三角形的面积公式可得a的值，由此即可得．【详解】（1）证明：补全图形如下：∵AD⊥BP,∠ABC=90°，∴∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，在△ABD和△BCE中，∠ADB=∠E=90°∠BAD=∠CBE∴△ABD≅△BCE(AAS)，∴AD=BE；（2）解：∵AB=BC=AP,AD⊥BP，∴BD=PD（等腰三角形的三线合一），由（1）已证：△ABD≅△BCE，∴BD=CE=PD，设BD=CE=PD=a(a>0)，则BP=BD+PD=2a，∵△BPC的面积为9，∴12CE⋅BP=9解得a=3或a=-3<0（不符题意，舍去），则CE=3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．47．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0和点C0,c分别在x轴和y轴的正半轴上，并且a-4+2-c2=0．

(1)点A的坐标为______，点C的坐标为______，点F的纵坐标为______；(2)如图2，点E是线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CE交于点H，在点E运动过程中，探究∠OHC、∠ACE、∠OEC之间的数量关系，并证明．【答案】(1)4，0，0，(2)∠OHC=2∠OEC-∠ACE【分析】（1）根据a-4+2-c2=0，利用非负数的性质求解出a，b的值，过点F分别作FG⊥y轴，交y轴于点G，再根据等腰三角形的性质得到G点是OC的中点，进而得到GF是△AOC的中位线，即（2）由（1）知F是AC的中点，∠AOC=90°，得到OF=AF，∠AOF=∠OAC，再根据三角形外角定理计算即可．【详解】（1）解：∵a-4+∴a-4=0，2-c=0，解得：a=4，c=2，∴A4，0如图1，过点F分别作FG⊥y轴，交y轴于点G，

∵∠FOC=∠FCO，∴FC=FO，∴△FOC为等腰三角形，∴G点是OC的中点，∵FG⊥y轴，∴∠AOC=∠FGC=90°，∴GF∥OA，GF是∴F是AC的中点，∴F2故答案为：4，0，0，（2）解：∠OHC=2∠OEC-∠ACE，由（1）知F是AC的中点，∠AOC=90°，∴OF=AF，∠AOF=∠OAC，∵∠OHC=∠ACE+∠OFC，∠OFC=∠OAC+∠AOF∴∠OHC=∠ACE+∠OAC+∠AOF=∠ACE+2∠OAC，∵∠OEC=∠ACE+∠OAC，即∠OAC=∠OEC-∠ACE∴∠OHC=∠ACE+2∠OEC-∠ACE∴∠OHC=2∠OEC-∠ACE．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角定理，熟练运用三角形外角定理是解题的关键．48．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE=EC.（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB=2BD；（2）如图2，若AB=12，AE=2，求【答案】（1）见解析；（2）14．【分析】（1）结合“三线合一”的性质，推出BD=BE，从而在Rt△BCE中证明即可；（2）作EF⊥DC于F点，结合等边三角形的性质求解即可．【详解】（1）当E为AB中点时，在等边三角形ABC中，由“三线合一”知：∠BCE=30°，∠BEC=90°，又∵DE=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，∴∠DEB=60°-∠D=30°，∴∠D=∠DEB，BD=BE，∵在Rt△BCE中：CB=2BE，∴CB=2BD；（2）如图，作EF⊥DC于F点，∵AB=12，AE=2，在Rt△BEF中，∵∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，BF=1又∵AB=BC=12，∴CF=BC-BF=12-5=7，∵ED=EC，∴△DEC为等腰三角形，由“三线合一”知：CD=2CF=2×7=14，∴CD=14．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，及含30°角的直角三角形相关性质，熟练掌握基本性质，灵活构造辅助线是解题关键．49．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，△ABC中，点D在边BC上，连接DE，AB=AE(1)如图1，求证：∠BAD(2)如图1，求证：12(3)如图2，在（2）的条件下，连接EC，AF⊥BC交于点F，若∠EDC=2∠EAC，且BC=8，CF【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)6．【分析】（1）由题意可得△ABD≌△AED，再根据全等三角形的性质可以得解；（2）连接BE，延长AD交BE于点H，则可证得AH是等腰△ABE底边上的高，再根据三角形外角定理和已知条件可以得到求证结论；（3）延长BC到G,使FG=FB,连接AG,由已知和（1）（2）结论可以得到CG=6，△EAC≌△GAC，从而可以得到EC的长度．【详解】（1）∵