第01讲 认识二元一次方程组与求解二元一次方程组(10类热点题型讲练)（解析版）

第01讲认识二元一次方程组与求解二元一次方程组(10类热点题型讲练)1.了解二元一次方程、二元（三元）一次方程组及其解等概念，并会判断方程组的解；2.掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤；.3.熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元（三元）一次方程组.4.能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.知识点01二元一次方程(组)的概念1）二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的次数项的次数都是1的方程.2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组.注：=1\*GB3①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；=2\*GB3②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个.3）判断二元一次方程组的方法：=1\*GB3①方程组中是否一共有两个未知数;=2\*GB3②含未知数的项的次数是否都是1;=3\*GB3③是否含有多个方程组成.知识点02二元一次方程(组)解的概念1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解.3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解.注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解.知识点03代入消元法解二元一次方程组1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法.2)代入消元法的步骤：=1\*GB3①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；=2\*GB3②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.=3\*GB3③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解.知识点04代入加减消元法解二元一次方程组1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法.2）加减消元法步骤：=1\*GB3①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；=2\*GB3②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；=3\*GB3③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值.知识点05解三元一次方程组1.三元一次方程组的概念1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组.2.解三元一次方程组的方法和步骤1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元题型01二元一次方程的定义【典例1】下列方程为二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意；B、不是二元一次方程，不符合题意；C、不是二元一次方程，不符合题意；D、不是二元一次方程，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程．【变式1】下列方程中，是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据含有两个未知数，未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程进行判断即可．【详解】解：A.该方程的次数是2，故此项不符合题意；B.该方程中含有三个未知数，故此次项不符合题意；C.该方程的次数是2，故此项不符合题意；D.该方程是二元一次方程，故此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．【变式2】若是关于的二元一次方程，则的值是（

）A．2 B．2或0 C．0 D．任何数【答案】C【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．【详解】解：∵是关于的二元一次方程，∴且，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．题型02判断是否是二元一次方程的解【典例2】下列各组数满足方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入的值，逐一判断即可解答．【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．【变式1】方程的一个解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各项中的x、y的值代入方程检验即可求解．【详解】解：A.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；B.把代入方程得，，是方程的解，故符合题意；C.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；D.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解得概念是解题的关键．【变式2】若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将值代入方程组，使两个方程同时成立的为方程组的解．【详解】解：A.故是方程组解，本选项符合题意；B.，故不是方程组解，本选项不合题意；C.，不是方程组解，本选项不合题意；D.，不是方程组解，本选项不合题意；故选：A【点睛】本题考查方程组解的定义，理解方程组解的定义是解题的关键．题型03已知二元一次方程的解求参数或代数式的值【典例3】已知是方程的解，则a的值为．【答案】1【分析】将方程的解代入方程中求解即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，则，故答案为：1．【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．【变式1】若是方程的解，则．【答案】【分析】把代入方程可得，再解一元一次方程即可．【详解】∵是方程的解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．【变式2】已知是方程的解，则．【答案】【分析】把代入方程计算即可．【详解】解：把代入方程得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，关键是能准确理解题意并能求解．【变式3】若是二元一次方程的一组解，则＝．【答案】【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．题型04判断是否是二元一次方程组【典例4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断．【详解】解：A、C、D均不符合二元一次方程组的定义，B是二元一次方程组，故选B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键．【变式1】下列方程组是二元一次方程组的有（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．【变式2】方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可．【详解】解：符合二元一次方程组的定义；中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组；符合二元一次方程组的定义；中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组；综上，是二元一次方程组的有2个，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组．题型05判断是否是二元一次方程组的解【典例5】已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、D选项，再根据“方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程”即可解答．【详解】解：A.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．B.把代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程．C.把代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意．D.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用代入法进行检验．【变式1】解为的方程组可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意；D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键．【变式2】方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解．【详解】A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意．B.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意．C.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意．D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键．题型06代入消元法解二元一次方程组【典例6】解方程组：【答案】【分析】先将②代入①求出的值，将的值代入②，即可求解．【详解】解：将②代入①得，

解得，

将代入②得，

原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解法是解题的关键．【变式1】解方程组．【答案】．【分析】先把方程化成最简形式，再利用代入消元法求解即可．【详解】解：去分母，整理得：由①得：③，把③代入②，得：解得：，把代入③，得：，所以这个方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．【变式2】解方程组：.【答案】【分析】用代入消元法将②转变成代入①中，可求得的值，再将的值代入②中求得的值即可．【详解】，由②得：③，把③代入①得：，解得，扡代入②得：，方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解答本题的关键．题型07加减消元法解二元一次方程组【典例7】解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；（2）原方程组整理得，，然后根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．【详解】（1）解：得，解得：将代入②得，∴方程组的解为：（2）解：原方程组整理得，得，解得：将代入①得，解得：∴【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．【变式1】解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）两个方程相加，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可；（2）①②，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可．【详解】（1）解：，①②，得，解得，把代入①，得，故原方程组的解为；（2）解：，①②，得，解得，把代入①，得，故原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．【变式2】解下列二元一次方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用加减消元法求解即可；（2）先化简，然后用加减消元法求解即可．【详解】（1），，得，∴，把代入①，得，∴，∴；（2）化简，得，得，∴，把代入②，得，∴，∴．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．题型08二元一次方程组的错解复原问题【典例8】下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：第一步：由①得，③；第二步：将③代入②，得第三步：解得第四步：将代入③，解得；第五步：所以原方程组的解为任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．任务三：请写出方程组正确的解答过程．【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；正确的解答过程：由①得③将③代入②得解得，代入③，解得∴原方程组的解为：【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．【变式1】下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步将代入①，得．

第四步所以，原方程组的解为

第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】(1)加减消元法，第四步(2)见解析【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．（2）按照解方程组的步骤求解即可【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，故答案为：加减消元法，第四步．（2）方程组：解：①×2，得……③

，②－③，得，解得．

将代入①，得3．解得x=．所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．【变式2】解方程组：．小海同学的解题过程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程组的解为……（5）判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．【详解】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：，把代入③得：，∴此方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．题型09已知二元一次方程组的解求参数【典例9】已知关于、的方程组的解是，则．【答案】3【分析】将方程组的解代入方程组得：，两式相加即可得出答案．【详解】解：将方程组的解代入方程组得：，两式相加得：，．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，考查整体思想，两式相加直接求出的值是解题的关键．【变式1】已知是二元一次方程组的解，则的值为．【答案】2【分析】两个方程相减可得，即可求解．【详解】解：得，，；故答案：．【点睛】本题考查了利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握解法是解题的关键．【变式2】若是方程组的解，则．【答案】/【分析】把代入求出m和n的值，即可求解．【详解】解：把代入得：，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了方程组的解，解题的关键是掌握使方程组每个方程都成立的未知数的值是方程组的解．题型10已知二元一次方程组解的情况求参数【典例10】若关于的二元一次方程组的解互为相反数，则．【答案】【分析】由可得，再由互为相反数，可得，即可求解．【详解】解：，由得：，即，∵互为相反数，∴，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键．【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则．【答案】【分析】根据得出，根据，得出，求出n的值即可．【详解】解：，得：，即，∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解方程组，解题的关键是根据题意得出．【变式2】已知方程组与有相同的解，则．【答案】4【分析】根据题意，重新构造新的方程组，解出x，y的值，再代入，得出m，n的值．【详解】解：∵方程组与有相同的解，∴联立方程组，解得，将代入，，解得，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键．一、单选题1．下列方程中，是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二元一次方程的定义进行作答即可．【详解】解：A、的次数是2，故不是二元一次方程；B、不是整式方程，故不是二元一次方程；C、的次数是2，故不是二元一次方程；D、是二元一次方程；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义；含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有2个未知数的两个一次方程组成的方程组，进行判断即可．【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意；B、含有三个未知数，不符合题意；C、是二元二次方程，不符合题意；D、是二元一次方程组，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．3．是关于x，y的二元一次方程，则（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，∴，解得：，故选B．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．4．已知是方程的解，则m的值为（

）A． B．7 C．3 D．9【答案】D【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．【详解】解：∵是方程的解，∴，解得：．故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，理解二元一次方程解的定义是解题的关键．5．已知+=0，则为（）A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023【答案】A【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可；【详解】解：∵+=0，∴联立方程组得：解得：代入得：故选A；【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键6．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（

）A．11 B．－11 C．1 D．－1【答案】B【分析】求解二元一次方程组，得，由x与y互为相反数知，得关于参数m的方程，求解得m值．【详解】解：，解得∴．解得，．故选：B【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，相反数的定义，一元一次方程的应用；掌握二元一次方程组的求解是解题的关键．二、填空题7．已知方程，改写成用含的式子表示的形式．【答案】【分析】将看做已知数求出即可．【详解】解：，，；故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．8．若方程是二元一次方程，则，．【答案】【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．【详解】解：∵方程是二元一次方程，∴，，解得，．故答案为：；．【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键．9．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【答案】，【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可．【详解】解：∵是二元一次方程，∴，解得．故答案为：，．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组是解题的关键．10．已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是．【答案】【分析】将代入方程组，得到关于的二元一次方程组求出的值，代数求值即可得到答案．【详解】解：将代入方程组，得，，得到，故，故方程的解为，将代入，原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及代数求值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．11．若是方程的一个解，则．【答案】【分析】把代入得，将代入进行计算即可．【详解】解：把代入得：，即，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出．12．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么：（1）m的值为；（2）请再写出该二元一次方程的一个解．【答案】3（答案不唯一）【分析】将代入方程，求出的值，再写出一个二元一次方程的解即可．【详解】解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，∴，解得：；故答案为：3；（2）由（1）可知：方程为：，∴当时，，∴，是该方程的一个解；故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．三、解答题13．解下列方程组：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）用代入消元法求解方程组即可；（2）用加减消元法求解方程组即可．【详解】（1）解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，故方程组的解为：；（2）解：，由得，把代入②的，解得：，故方程组的解为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组；根据方程系数特点选择适当的方法求解方程是解题的关键．14．解下列方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：将①代入②得，解得，将代入①得：∴方