2023年人教版高考数学总复习规范答题系列-函数与导数综合问题

规范答题提分课

规范答题系列一一函数与导数综合问题

[典例](12分)(2021•新高考I卷)已知函数f(x)=x(l-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a,b为两个不相等的正数，且bIna-aInb=a-b,证明：2VL+；〈已

ab

♦导引助思-析考题

(1)看到f(x)的解析式，想到函数的定义域，看到单调性，想到利用导函数符号进行判断；

⑵看到bIna-aInb=a—b,想到变形可同构，转化为极值点偏移的问题，构造对称差

函数分别证明左右两侧的不等式即可.

【标准答案】(1)函数的定义域为(0,+8).①……1分

由已知可得f'(x)=1—Inx—1=—Inx,②...2分

所以xG(0,1),f'(x)>0,f(x)单调递增,

xG(1,4-co),f(x)<0,f(x)单调递减，

则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.③……4分

⑵由bIna—aInb=a—b,

11,1111

得ZFq一一In-+~In~=--，

aabbba

即:(1-lna)4G-lnb)，④……§分

由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,十8)上单调递减，所以f(x)、=f(i)=i,且此向

=0,

令Xi=，,X2=：,则x”X2为f(x)=k的两根，其中

ab

ke(0,1).⑤...6分

不妨令x«(0,1),X2G(1,e),则2—X|>1,

先证2<xi+x2,即证X2>2—X”

即证f(x2)=f(Xi)<f(2—Xi),

令h(x)=f(x)—f(2—x),

则h'(x)=f'(x)+f'(2—x)=—Inx—In(2—x)=—In[x(2—x)]>0,

故函数h(x)单调递增,所以h(x)〈h(D=o.

所以f(x,)<f(2—X,),

所以2<%+X2,得证.⑥……9分

同理，要证Xi+x2〈e,即证f(X2)=f(xj〈f(e—X),

令小(x)=f(x)—f(e—x),xG(0,1),

则(x)=-In[x(e—x)],令6'(x())=0,

xG(0,x0),6'(x)>0,6(x)单调递增，

xW(x(),1),“'(x)<0,6(x)单调递减，

又x>0,f(x)>0,且f(e)=O,故x~*0,巾(0)>0,

6(l)=f(l)-f(e-l)>0,

所以<b(x)>0恒成立，Xi+x2〈e得证.⑦...11分

则2<-+；<e.⑧....12分

ab

♦满分点拨•悟考题

命题考查知识：主要利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题.

探源核心素养：数学运算、逻辑推理

①写出函数的定义域，得1分.若不写，单调区间写对，不扣分.

②求对导函数，得1分.

③写对单调区间，得2分.若忽视函数定义域，不得分.

阅卷④同构转化已知，得1分.

现场⑤转化为函数f(x)根的情况，得1分.

⑥证得不等式第一部分，得3分

⑦证明不等式第二部分，得2分.

⑧写出所证不等式，得1分.不写不得分.

1求.函数单调区间的关键

首先要求出函数的定义域，灵活判断导函数符号的变化是准确求解的关键.

满分2.不等式证明的技巧

策略(1)构造函数：利用导数法证明不等式f(x)>

g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),直接转化为证明

f(x)*2g(x)皿

(2)灵活转化：若f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)=f(x)—g(x)适当变形后

进行转化.

，跟踪训练

(2022•珠海模拟)已知函数f(x)=e*—匕詈一a(e为自然对数的底数)有两个零点.

(1)若a=l,求f(x)在x=l处的切线方程；

e2

(2)若f(x)的两个零点分别为x”X2,证明：x,x>——.

20X1+X2

InV1—1nv

【解析】(1)当a=l时，f(x)=ex-——-1,f'(x)=ex-----=一.

XX

又f(l)=e—l,所以切点坐标为(1,e-1),切线的斜率为k=f'(l)=e—1,

所以切线的方程为y-(e-1)=(e-D(x-l),即y=(e-l)x.

(2)由已知得f(x)=xe'_a(5x+x)=。有两个不等的正实根，

X

所以方程xe、-a(lnx+x)=0有两个不等的正实根，

即xe、一aIn(xe、)=0有两个不等的正实根,aIn(xex)=xex0.

2

X2

要证x*2〉，只需证Gie"),(x2e)>e\

e12

X|X2

即证In(x,e)+ln(x2e)>2,

X2

令ti=xie*,t2=x2e>

所以只需证Int,+lnt2>2.

由①得aInti=t”aInt2=t2>

所以a(lnt2—Intj=t2—ti，a(lnt2+lnti)=t2+ti,

^+1lln—

to-t

消去a得］.nt2+lnh=~-~~(Int2—Int,)=

t2tj奥一1

1t?

lnb

只需证>2.

t2

-1

tl

设0<匕。2，令t="，则t>l,

tl

t—1

所以只需证Int>2Ry-

A/\t-1

令h(t)=lnt—2f+[，t>l,

14(t—1)2

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则h(t)=--(