2023届大兴安岭市重点高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（幻=胆（彳€穴），若关于X的方程/（©-加+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数机的取值范

围为（）

A.（丰1）B.（0,1）C.+D.（1,孚+1）

2e2ee2e

2.下列结论中正确的个数是（）

①已知函数/（x）是一次函数，若数列{为}通项公式为4=/（〃），则该数列是等差数列;

②若直线/上有两个不同的点到平面a的距离相等，贝”//a：

③在ZVLBC中，"cosA>cos8"是"B>A"的必要不充分条件；

④若a〉0,b>0,2a+b=4,贝!k洒的最大值为2.

A.1B.2C.3D.0

3.448。中，如果/gcos.4=/gsinC-/gsm5=-/g2,贝！I/48C的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

4.已知R为实数集，A={X|X2-1<0},B=p|^>l>,贝!14n他B）=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<0^U=l}

5.已知复数z=?,则I的虚部是（）

A.iB・-iC.-1D.1

6.设集合U=R(R为实数集)，A={X\X>0}9B={X\X>1}9则4口「,3=()

A.{x|0<x<l}B.1%|0<x<l}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

7.把函数/（©=sin2x的图象向右平移二个单位，得到函数g（x）的图象.给出下列四个命题

①g（x）的值域为（。川

TT

②g(x)的一个对称轴是X=—

12

③g。)的一个对称中心是(d)

④g(x)存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

22

8.已知椭圆3+斗=1(4>8>0)的左、右焦点分别为A、F2,过点耳的直线与椭圆交于P、。两点.若APF2。的

内切圆与线段「心在其中点处相切，与PQ相切于点月，则椭圆的离心率为()

AA.及nB.百rC.>/2D、、.6

2233

9.已知双曲线C：二-与=1(。>0力>0)的一条渐近线的倾斜角为。，且cos6=好，则该双曲线的离心率为()

a-b-5

A.J5B.亚C.2D.4

2

10.已知A={x|N<l},B=k〔2*<l},则AU8=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,-Ko)D.(F,1)

11.已知全集。=区，函数y=ln(l—x)的定义域为"，集合N={4「—x<0},则下列结论正确的是

A.MCN=NB.“n®N)=0

C.M\JN=UD.M屋(电N)

12.sin80cos50+cos140sin10°=()

A上nGn।

A.---B.--C.--D.—

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.实数%,)‘满足约束条件<x+2y—2W0,则z=x-2y的最大值为.

)+220

14.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

”1

15.实数x,丁满足，”2x-l,如果目标函数z=x—＞的最小值为-2,则上的最小值为.

X

x+y＜m

16.过抛物线C：y?=2px(p＞0)的焦点厂且倾斜角为锐角的直线/与C交于A,B两点,过线段A8的中点N

且垂直于/的直线与C的准线交于点M,若,贝!)/的斜率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x-cos0

17.(12分)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为c.八(。为参数)，以坐标原点。为极点,

y=2sin夕

x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos6+。sin。-3=0.

(1)求直线/的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线/距离的最小值和最大值.

18.(12分)已知椭圆。：［+4=1(。＞。＞0)的离心率为也，且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的

a2b22

圆与直线x+y-2=o相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知动直线/过右焦点尸，且与椭圆C交于A、8两点，已知。点坐标为(»,0),求。鼠。豆的值.

4

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面A6C。平面A4O,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=30>

2

ABAD=9G，E是PD的中点.

（1）证明：PD上PB;

（2）设A£>=2,点M在线段PC上且异面直线3M与CE所成角的余弦值为半，求二面角M—43—P的余弦值.

20.（12分）已知。，b,c分别是AABC三个内角A,B,C的对边，«cosC+V3csinA=/?+c.

（1）求A：

（2）若a=G，b+c=3t求。，c.

22

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：「+%=1（a>b>0）的左、右焦点分别为片、F,,且点耳、

a'b~

用与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形.

值,并说明理由.

22.(10分)已知函数/(x)=e*-x,g(x)=(x+攵)ln(x+攵)-x.

(D若左=1,/'a)=g'(r),求实数/的值.

(2)若a,bcR+,/(a)+g(A)N/(O)+g(O)+成,求正实数k的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

讨论x>0,x=0,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

于冈=与,故于口）=*1

当x>0时,,函数在上单调递增，在上单调递减，且f

2

当x=0时,/⑼=0；

/]_2x

当x<0时，/（幻=二±,=后<0,函数单调递减;

如图所示画出函数图像，则0〈加一1〈/,故加e(1,+1).

2e

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2.B

【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；

【详解】

解：①已知函数f(x)是一次函数，若数列｛4｝的通项公式为

可得4用-a,,=%(我为一次项系数)，则该数列是等差数列，故①正确；

②若直线/上有两个不同的点到平面a的距离相等，贝I"与a可以相交或平行，故②错误；

③在AABC中，氏Aw(O,4),而余弦函数在区间(0,〃)上单调递减，故“cos4>cosB”可得“6>A”，由“6>A”

可得“cosA>cos3",故"cosA>cosB"是"B>A”的充要条件，故③错误；

④若。>0力>0,2a+〃=4,则4=2a+0N2岳",所以"W2,当且仅当2a=匕=2时取等号，故④正确；

综上可得正确的有①④共2个；

故选：B

【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运

算能力和推理能力，属于中档题.

3.B

【解析】

,,』,0、

sinC__sinC*1〜7i2TI…1t

化简得，gcosA=/g^—=-lg29即cos4=~—=-，结合0<4<九，可求得8+C=二代入s加C=-s加5,从而

sinBsinB2332

可求C,B9进而可判断.

【详解】

sinC.sinC1

由/gcos4=/gsinC-IgsinB=-/g2,可得IgcosA—lg~.—=Tg2,•'•cos力—~—=—>

sinBsinB2

・・.7127t..c1.1.(2兀\JJ].八#八兀兀

・0<力<兀,8+C=—9♦♦sinC*---sinZ?=-sinI-C1^—cosC1+—sinC，••勿，zC=—,，(7—,B==一.

3322\3)44362

故选：B

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题.

4.C

【解析】

求出集合A，B,MB,由此能求出An（35）.

【详解】

为实数集，A={x|f-掇0}={x|Tx?l},B={x|-®}={x|O<x1},

X

.•©8={幻％,0或x>l},

.-.An（^B）={x|-l^!k0}.

故选：c.

【点睛】

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.C

【解析】

化简复数，分子分母同时乘以1+"进而求得复数z,再求出I，由此得到虚部.

【详解】

z=--；=i,z=—i>所以z的虚部为—L

1-z

故选:C

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共朝复数的虚部，属于基础题.

6.A

【解析】

根据集合交集与补集运算，即可求得AnCL,B.

【详解】

集合［/=R,4={x|x>0},3={x|x»l}

所以Cu3={x|x<l}

所以AoClJB=^x\x）01n|x|x<1|=|%|0<x<l!

故选:A

【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.

7.C

【解析】

"\1

由图象变换的原则可得g(x)=-；COS+曲

--可求得值域；利用代入检验法判断②③;

672

对g(X)求导，并得到导函数的值域,即可判断④.

【详解】

由题,/(x)=sin2X=1-2”

则向右平移专个单位可得

'g(x)

vcos2x-^g(x)的值域为［0,1］，①错误；

TT7TTT

当x时,2%-看=0,所以尸今是函数g(x)的一条对称轴，②正确;

当x=工时,2x—刍=生，所以g(x)的一个对称中心是|I，③正确；

362V327

,

g'(x)=sin2%一9W则%，x,GR,g'(%)=-1,g'(%)=1，使得g'(xj•g(x2)=-l，则g(x)在龙=玉和

Io；

x=A-2处的切线互相垂直，④正确.

即②③④正确，共3个.

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.

8.D

【解析】

可设APQQ的内切圆的圆心为/，设|尸耳|=机，归玛|=〃，可得加+〃=2。，由切线的性质：切线长相等推得〃2=3〃，

解得〃八«,并设|。耳|=乙求得，的值，推得，尸2。为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所

求值.

【详解】

可设外。的内切圆的圆心为/,A/为切点，且为夕与中点，制=归根=|叫

设|P6|="，|p周=〃，贝!=且有〃2+〃=2Q,解得〃2=g,n=~^9

设|Q6|=r，|QE|=2a-r,设圆/切。死于点N,则|烟=|叫=年，|QN|=|西=/,

由2a-f=|Q印=|QN|+|NK|=r+^,解得/=彳，.•.|尸口=而+/=¥，

.•.归周=|。周=与，所以乙。为等边三角形,

所以，2c=叵酶,解得£=也.

23a3

因此，该椭圆的离心率为且.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属

于中档题.

9.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为C,由题意8e[0,乃）

又cos"巨贝Usin9=述，tan6=2,-=2,所以离心率e=£=J1+⑶=逐，

55

aa\[aJ

故选:A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

10.D

【解析】

分别解出集合A、B然后求并集.

【详解】

解：A={XM<1}={X|-4<X<1},B={X,<1}={X|X<0}

A|J8=(—°°J)

故选：D

【点睛】

考查集合的并集运算，基础题.

11.A

【解析】

求函数定义域得集合M,N后，再判断.

【详解】

由题意M={x|x<l},N={x|O<x<l},M(^\NN.

故选A.

【点睛】

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，

还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定.

12.D

【解析】

利用10°=90°—80°,140,=90°+50°,根据诱导公式进行化简，可得sin80°cos50°-cos80°sin50°，然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

由80°=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10°=sin(90°-80°)=cos10"

cos140°=cos(90+50")=-sin50,

所以原式=sin80"cos50-cos80"sin50=sin(80-50)

所以原式=$皿30=—

2

故sin80,cos500+cos140°sin10°=—

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.

【详解】

解：作出可行域如下：

y

当y=_Lx—_lz经过点8时，截距最小，Z最大

22

解得6（6,-2）

z=x-2y的最大值为10

故答案为：10

【点睛】

考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.

【解析】

根据流程图，运行程序即得.

【详解】

第一次运行S=15,k=l;

第二次运行S=15,k=2;

第三次运行S="，k=3；

2

第四次运行S=3<3；所以输出的s的值是

22

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查算法流程图，是基础题.

I

15.-

7

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-y的最小值为_2,确定出加的值，进而确定出c点坐标，结合

目标函数2几何意义，从而求得结果.

X

【详解】

先做《二，的区域如图可知在三角形ABC区域内，

[y<2x-l

y=2r+l

由2=%-)，得丁=%一2可知，直线的截距最大时，Z取得最小值，

此时直线为y=x-(-2)=x+2,

作出直线y=x+2,交y=2x—1于A点，

由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点,

(y=2x-lfx=3

由「日，得〈>代入=得m=3+5=8,

,y=x+21y=5

所以点C的坐标为(7,1).

工等价于点(X,y)与原点连线的斜率，

X

所以当点为点c时，2取得最小值，最小值为,，

x7

故答案为：—.

【点睛】

该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结

合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.

16.G

【解析】

分别过4,3,N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A',B',N',根据抛物线定义和=却求得NMMV',

从而求得直线/的倾斜角.

【详解】

分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A,B',N',由抛物线的定义知|A/|=|AA|,忸q=忸叫，

|NN[=^(\AA'\+\BB'\)=^\AB\,因为=y|AB|,所以|MV'|=曰，所以4MNN=30°,即直线MV

的倾斜角为150°,又直线MN与直线/垂直且直线/的倾斜角为锐角，所以直线/的倾斜角为60°,心8=6.

故答案为：V3

【点睛】

此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x+y-3=0(2)最大值36+M息।法3A/2—J10

最小值二--------

22

【解析】

(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；

(2)利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.

【详解】

解：(1)因为x=pcos(9,y=psine,代入Qcos(9+/7sin8-3=0,可得直线/的直角坐标方程为x+y—3=0.

|cos6+2sin0-3|

(2)曲线C上的点(cos0,2sin。)到直线/的距离d=

|氐in(e+e)-3|21

=J-----丁___I,其中COS0=存，sine=存.

故曲线C上的点到直线/距离的最大值"=)与?=3及+而,

,回近2

曲线C上的点到直线/的距离的最小值d.=]&13]=3行一而.

m,nV22

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考

查数学运算的核心素养.

J.27

18.(1)—+/=1；(2)——.

216

【解析】

(1)根据椭圆的离心率为也，得到c=Y2。，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到

22

a=丘,从而求得匕=1,进而求得椭圆的方程；

(2)分直线的斜率存在是否为。与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的

数量积，结合已知条件求得结果.

【详解】

(1)由离心率为也,可得e=£=«Z,

2a2

.-.c=—a，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为/+y2=/,

2

2

因与直线x+y-2=()相切，则有正=a即a=y/2,，C—\.\b=\,

故而椭圆方程为]+V=1.

(2)①当直线/的斜率不存在时,

3®7

由于

45TT6

②当直线/的斜率为0时，A(V2,0),fi(-V2,0),

则"一；,())「逝一：0)=_/

③当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为x="+l,A(X,y),

2

由尤=Zy+1及—+y2=\,

得(/+2))；+2)-1=0,有/>0，y+%X%=-p^，

•/xi=tyl+l,x2=(y2+1,

•••[_*)(尤2-*2)=('-£),-£|+其%十+1)=弘％一5(凹+%)+5

/,x112t1-2t2-2+r17

-I2+h2+2+4r\2+2+16-2(/2+2)+16--16,

------7

综上所述：QAQB=--.

16

【点睛】

该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程

中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.

19.(1)见解析；(2)空

7

【解析】

(1)由平面A6CO_L平面A4D的性质定理得平面RS,.•./归_1,尸£).在此4£)中，由勾股定理得

PDLAP,：.PD上平面PAB,即可得

(2)以P为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线BM与CE所成角的余弦值为巫，得点M的

5

坐标，从而求出二面角P的余弦值.

【详解】

(1)•.•平面ABC£)_L平面PAD,平面ABC。0平面尸AD=AD，ZBAD=90>所以.由面面垂直的

性质定理得A6L平面Q4O,.•.ABd.PZ),在AR4D中，vAP=^AD,NAOP=30°，=由正弦定理可得：

sinZADP=-sinZAPD,

2

.•.ZAPO=90°,即PD_LAP,..PD_L平面..PDrPB.

(2)以尸为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则8(0,1,1),C*1』，

(点)(G1、_(ji1

E——,0,0,设A/——a,—a,a(0<a<l),则月面=——a,—a-\,a-\

♦J12ZJIz/

35

CE=^0,-1,-l^,.'-cosW,C*BMCE_2_4“_V10

,瓯同「"%+2q5

得"”屈=悍--1-1,而通=(0,0,1),设平面MM的法向量为。=(x,y,z),由可得:

yj3X—ly—Z=0.

〈7,令x=2,则乃=(2,瓜0),取平面Q43的法向量比=(1,0,0),则

z=0

__inn22币故二面角M-AB-P的余弦值为班.

cosm,n—,—l--，

|mH||n|布77

P

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用,

属于中档题.

JT

20.(1)—；(2)b—\yc=2或h=2,c=l.

【解析】

(1)利用正弦定理，转化原式为sinAcosC+GsinCsinA=sin3+sinC，结合3=可得

sin(A-力=g,即得解；

(2)由余弦定理a2=〃+c2—3ccosA，结合题中数据，可得解

【详解】

(1)由QCOSC+GcsinA=b+c及正弦定理得

sinAcosC+^3sinCsinA=sinB+sinC.

因为8=乃一A-C,所以sin3=sinAcosC+cosAsin。，代入上式并化简得

V3sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCxO,所以sin[4—、■)=；.

JT

又0cAe乃，故人=一.

3

(2)因为a=h+c=3>A=—,

3

由余弦定理得/-b2+c?-2Z?ccosA即3=S+c)2-2bc-bc=9-3bc,

所以bc=2.

而h+c=3,

所以方，c为一元二次方程*2—3x+2=o的两根.

所以人=1,c=2或8=2,c=l.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

221

21.(1)土x+±v=1(2)为定值；.

43|加国2

【解析】

(1)根据题意，得出4c,从而得出椭圆C的标准方程.

(2)根据题意设直线方程/：y=辰+机，因为直线与椭圆相切,这有一个交点，联立直线与椭圆方程得

(4左2+3)f+8输+4(m2—3)=0,贝！]△=£),解得4人2+3—加？=()①

把x=T和x=-l代入y=Ax+m,得M(-4,-4攵+〃?)和+

iii।|N川i

w制,|M用的表达式，比即可得出扁=5为定值.

【详解】

解：（1）依题意,2c=a=2,「.c=l,/?=G・

92

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

⑵品|N为用定值1于

①因为直线/分别与直线x=-4和直线x=-l相交,

所以，直线/一定存在斜率.

②设直线/:y=kx+m,

y=kx+m,

得（4炉+3*+8k我+4陵-3）=0,

3X2+4/=12,

由△=-4x（4二+3）x4（加2-3）=0,

得4/+3-4=0.①

把x=-4代入丫=履+机,得M（-4,-4左+”），

把％=_］代入y=辰+加，得N（_l,一左+加）,

又因为耳（一1,0）,月（1,0）

所以|N£|=|—左+时，

\MF\=J（-4+lp+（-4攵+加y=19+（—4/+加了，②

由①式，得3="一4斤2您

把③式代入②式，得眼周="（In）。=2\-k+m\,

.—同一1W用1

••丽一以二同一5,即丽为定值5。

【点睛】

本题考查椭圆的定义、方程、和性质，主要考查椭圆方程的运用，考查椭圆的定值问题，考查计算能力和转化思想，是中档

题.

22.(1)1(2)k31

【解析】

⑴求得了'(X)和g'(x),由1=1,r(f)=g'⑺，得d-ln(f+l)-l=O,令夕⑺=e'_ln(r+l)_l,令导数求

得函数0。)的单调性，利用e(。《0(0)=0,即可求解.

(2)解法一:令〃(x)=,f(x)—fex+g(。)一/(O)—g(O),利用导数求得网力的单调性,转化为〃(x)N〃(ln仅+1)),

令f(x)=(x+Z)ln(x+%)—(x+l)ln(x+l)—曲次(尤>0),利用导数得到f(x)的单调性，分类讨论，即可求解.

解法二：可利用导数，先证明不等式，-120,x-l>lnx»x-xlnx-l<0,

令〃(x)=g(x)—5+/(a)—/(O)-g(0)(x〉0),利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】

(1)由题意，得r(x)=e*-l,g'(x)=In(x+&),

由攵=1,r(7)=g'«)...①，得e'_ln(/+l)_l=0,

令=e'-ln(r+1)—1,则“(，)=/-----,

因为。"")="+1导>。，所以d(f)在(一1,笆)单调递增，

又“(0)=0,所以当—1<X<()时，"(。>0,9。)单调递增；

当x>0时，”(。<0,夕(。单