偏导数概念描述

定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:8.2.1、偏导数的概念第1页，共19页。同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,第2页，共19页。例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)说明：由偏导数的定义可知，求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量看成常数.用一元函数的求导法则即可求得。第3页，共19页。例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.第4页，共19页。例2.

设证:求证例3.

设求解:第5页，共19页。例3.求的偏导数.解:第6页，共19页。偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,第7页，共19页。函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!第8页，共19页。偏导数的经济意义与一元经济函数的导数类似，二元经济函数偏导数也例某产品的需求量Q=Q(P,y)，其中P为该产品的价格，y为消费者的收入。有其经济意义。这是一个二元函数，需求量是价格和消费者收入的函数.1、当考虑消费者收入y不变时，价格由P变到P+ΔP时，需求量Q的平均变化率第9页，共19页。偏导数这是在(P,Q)时，Q对P的变化率。这是在(P,Q)时,Q对P的偏弹性。2、当考虑产品价格P不变时，消费者收入y变到y+Δy时，需求量Q的平均变化率偏导数这是在(P,Q)时，Q对y的变化率。这是在(P,Q)时,Q对y的偏弹性。第10页，共19页。8.2.2、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:第11页，共19页。类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为第12页，共19页。例4.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数.第13页，共19页。则定理.本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.(证明略)解

:例4.

求函数的各二阶偏导数。说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等第14页，共19页。内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)第15页，共19页。思考与练习1.函数D提示:令y=kx,则在点(0,0)处()(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.第16页，共19页。2.设则提示:13.

f(x,y

)在点处偏导数存在是f(x,y)在该点连续的().(A)充分条件但非必要;(B)必要条件但非充分;(C)充要条件;