2023-2024学年人教A版必修第2册 8-6-3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定 课件（33张）

第1课时平面与平面垂直的判定预学案共学案预学案一、二面角❶1．定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__________；这两个半平面叫做二面角的________.2．画法：3．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.两个半平面棱面4．二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作____________的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做_____________．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是________．垂直于棱l二面角的平面角[0，π]【即时练习】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．45°解析：根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.二、平面与平面垂直的定义与判定定理❷1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作________．如图，2．判定定理：____________________________________________.符号表示为：_______________．直二面角α⊥β如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直a⊂α，a⊥β⇒α⊥β【即时练习】直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(

)A．平行

B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直答案：C解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.微点拨❶(1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．(2)二面角是一个几何图形，而不是真正意义的角．(3)二面角的大小通过其平面角来度量．(4)二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．微点拨❷(1)判定定理可以简述为“线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．共学案【学习目标】

(1)理解二面角的概念以及二面角平面角的概念，学会找二面角的平面角．(2)掌握面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，初步学会用面面垂直的判定与证明．题型

1二面角【问题探究1】修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，那么两平面形成角的大小如何确定？提示：可用二面角的平面角．例1

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．解析：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，题后师说求二面角大小的步骤

题型

2平面与平面垂直的定义【问题探究2】

观察教室中墙面与地面的位置关系，生活中还有哪些平面与平面垂直的例子？你认为应该怎样定义两个平面垂直？提示：书本竖在桌面上，书本和桌面近似看作平面与平面垂直；长方体的文具盒放在桌面上，文具盒的四个侧面和桌面近似看作平面与平面垂直．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．例2

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.

题后师说用定义证明两个平面垂直的步骤

题型

3平面与平面垂直的判定定理【问题探究3】建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直：如果系有铅锤的细线AB紧贴墙面，工人师傅就认为墙面与地面垂直；否则他就认为墙面与地面不垂直．你能用数学的文字语言和符号语言描述这个操作过程吗？请试着说明理由．提示：铅锤所在直线垂直于地面，那么经过铅锤所在直线的墙面垂直于地面．符号表示为：AB⊂α，AB⊥β⇒α⊥β.例3

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥A1C.求证：平面ABC⊥平面A1ACC1.

学霸笔记：通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．跟踪训练3

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.随堂练习1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是(

)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D解析：根据二面角平面角的定义，二面角平面角的顶点在棱上，两个边分别在两个半平面内，且都垂直于棱，故排除A，B，C.所以必须具备的条件是D.故选D.2．下列不能确定两个平面垂直的是(

)A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b答案：D解析：对于A：两个平面所成二面角是直二面角，两个平面垂直，故正确；对于B：一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，即这条直线垂直于一个平面，所以经过这条直线的平面与另一个平面垂直，故正确；对于C：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，故正确；对于D：如图所示，在正方体ABCD

-A1B1C1D1中，平面A1DCB1内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1DCB1与平面ABCD显然不垂直，故不正确．故选D.3．已知三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(

)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BD