大学物理-ch4-刚体的转动

第四章一、刚体模型①刚体和质点一样是一种理想的力学模型②刚体可以看成是由无数质点构成的质点组③刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论作何运动，刚体内任意两质点之间的距离保持不变刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体§1刚体的定轴转动二、刚体的平动

刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点

各点的运动轨迹相同平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变

刚体的平动的运动规律完全按符合质点运动规律转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动定轴转动:

转轴固定不动的转动转动轴：刚体转动围绕的那条直线三、刚体的转动转轴可以是固定的或变化的进动滚动定轴转动刚体的一般运动=平动+转动转动平面：垂直于转动轴所作的平面（1）描述刚体转动的物理量是：角位移、角速度、角加速度等。转动平面0ω（2）运动学中讲过的角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。四、描述刚体转动的物理量任选刚体上的任意点P点为参考点参考方向转动平面

(1)角坐标

，角位移

刚体沿逆时针方向转动时，

和

为正值；刚体沿顺时针方向转动时，

和

为负值。角坐标

、角位移

有正负之分，规定：刚体对转轴的(瞬时)角速度(2)角速度

转动平面0x参考方向ωPv

刚体定轴转动时，角速度可看成是只有正、负的代数量。其正负可由右手螺旋法则决定。右手螺旋法则：拇指向上，若四指弯曲方向与刚体的转动方向一致（即刚体沿逆时针转动）时，则角速度

为正，反之

为负。ωω刚体转动的角速度是矢量转动平面0x参考方向ωPv

方向：右手螺旋法则，即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致，拇指所指的方向即是。刚体对转轴的(瞬时)角加速度(3)角加速度αα

>0，角加速度方向与角坐标正方向相同，刚体会加快转动；α

<0，角加速度方向与角坐标正方向相反，刚体转动会减慢。刚体定轴转动时，角加速度可看成是只有正、负的代数量。转动平面0x参考方向ωPv

转动平面0x参考方向ωPv

当刚体转动加快时，角加速度方向与角速度方向相同；当刚体转动减慢时，二者方向相反。方向：

α的方向与

相同刚体转动的角加速度是矢量匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度

=常量时，刚体做匀变速转动．四、角量与线量的关系转动平面0x参考方向ωPv

刚体内各个质点的角位移、角速度、角加速度相同，但由于各个质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度(线量)各不相同。

例1

在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：式中．求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．(2)

电动机在6s内转过的圈数为解(1)

将t=6s

代入(3)

电动机转动的角加速度为例2

在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度，经300s

后，其转速达到18000r·min-1

．转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？解令，即，积分得当t=300s

时由得在300s内转子转过的转数解（1）

例一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径

,如果升降机从静止开始以加速度上升,求（1）滑轮角加速度；（2）

时角速度及转过的圈数；（3）时轮缘上一点的加速度.已知：r求（2）

时角速度及转过的圈数；求（3）时轮缘上一点的加速度.r在刚体上取一质元Pi一、刚体的转动动能则质点Pi的动能为：对刚体上所有质点的动能求和：

只由刚体内各质元相对于转轴的分布所决定由于------对z轴的转动惯量§2转动动能

转动惯量力矩转动定律则刚体的转动动能定义：----对z轴的转动惯量质点刚体J是描述刚体在转动中惯性大小量度的物理量二、转动惯量J对刚体：对分立的质点系：线分布，

为线密度面分布，

为面密度体分布，

为体密度质量是连续分布（2）转动惯量J的大小决定于刚体的质量：同形状的刚体，ρ(λ,σ)越大，J就越大质量的分布：质量相同，dm分布在r越大的地方，则J越大刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J

（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小（3）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动惯量的代数和讨论00Lω转动惯量的计算：[例1]

求质量为m，长度为

L

的均质细棒的转动惯量。（转轴oo’通过棒的一端并与棒垂直）解：以转轴为坐标原点，在距转轴x处，任取一质量元dm，其长度为dxxdxdm解：以转轴为坐标原点，在距转轴x处，任取一质量元dm，其长度为dx[例2]

求质量为m，长度为L

的均质细棒的转动惯量。（转轴oo/通过棒的中心并与棒垂直）L00/ωxdm

dx00ω00/ω均质细棒的转动惯量平行轴定理刚体对任一轴的转动惯量J等于对过质心的平行轴的转动惯量Jc与二轴间的垂直距离d的平方和刚体质量m的乘积之和。[例3]

求均质细圆环绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量。ωRm00dl,dm解：在园环上任取一质量元dm，其长度为dl[例4]

求质量为m，半径为R

的均质圆盘绕通过中心并与其圆面垂直的轴的转动惯量。ωdrrRm解：在圆盘上任取一半径为r、宽度为dr的圆环，则这一质量元dm为常见刚体的转动惯量

使物体转动，必须给定一个作用力，另外考虑转动与力的作用点以及作用力的方向有关，因此在研究物体转动中引入力矩这一物理量。三、力矩力臂：rsin

=d

表示转轴到力作用线的垂直距离。力F对转轴的力矩:力的大小F与力臂d的乘积（1）若刚体所受力在转动平面内在定轴转动中，只有起作用对转轴的力矩（2）若刚体所受力不在转动平面内平行于转轴分量不能使刚体发生转动；对于刚体的定轴转动，力矩Mz也可看成是代数量。即：从z轴正端向负端看，若力F使物体沿逆时针方向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负。方向：满足右手螺旋法则力矩刚体同时受几个外力作用时的合力矩：

对于定轴转动，力矩的方向沿转轴方向，但只有两种可能，则可用正负表示单位：牛顿·米(N·m)即：力矩与坐标轴同向时为正，反向时为负结论：合力矩的值等于这几个力各自的力矩的代数和ω00四、刚体定轴转动定律对Pi：两边同乘以ri切向：对整个刚体求和和的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零----刚体的定轴转动定律可以证明：内力中的每一对作用与反作用力的力矩相加为零，即内力矩之和为零合外力矩刚体的转动惯量ω00刚体定轴转动定律结论：刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。讨论：（2）刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式力矩是使刚体转动产生角加速度的原因。（3）刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的（1）公式中的M是作用在刚体的合外力矩；五、刚体定轴转动定律的应用（1）转动定律是力矩对定轴转动刚体的瞬时作用定律，要注意其瞬时性；（5）注意利用线量与角量的关系。（3）如题目中有转动的物体、有平动的物体，则把转动的物体当刚体处理，把平动的物体当质点处理；（4）除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；（2）转动定律中的合外力矩M、转动惯量J和角加速度α三个物理量都是对同一转轴而言的；C[例1]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m、半径为R的定滑轮C（可视为均质圆盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的张力FT1和FT2。的力矩：受力分析力矩分析的力矩：解：建立如图坐标系对质点A和B列牛顿第二定律方程对A物体：对B物体：对刚体C列转动定律方程均质圆盘C解得

[例2]

在图示的装置中求：T1，T2，a

，α（滑轮可视作均质圆盘）。mmm12rTT121TT2+αmgm1T11mm2T22gm1TT2αJrr=Tgmm22=2a=1T11mmga=J22mr1a=rαgmm21TT1122gmmaaa2mmmmmg1212=++())()mmmmg22211=++α(()mrTmg21122=22+()mm1mm++mg122=2T)(m1mm+++mm222m稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例3

一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ

解

细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得m,lOmgθ由角加速度的定义m,lOmgθ解得：有ENDAMBF=Mg（A）αA＝αB;（B）αA>αB;（C）αA<αB;

（D）无法确定.

例

如图所示,A、B为两个相同的定滑轮,A滑轮挂一质量为M的物体,B滑轮受力F=Mg,设A、B两滑轮的角加速度分别为αA和αB,不计滑轮的摩擦,这两个滑轮的角加速度的大小关系为:AB作业P1447，10，11，13o

一、质点的角动量（动量矩）设t时刻质点的位矢质点的动量运动质点对参考点O的角动量定义为：角动量大小：角动量的方向：位矢和动量的矢积方向动量矩质点绕圆心作圆周运动时§5质点的角动量和角动量守恒定律三、质点的角动量定理（动量矩定理）按角动量的定义：两边对时间求导：又角动量定理：质点所受的合力矩就等于角动量对时间的变化率。四、角动量守恒定律条件：角动量守恒定律：如果对于某一定点O，质点所受的合力矩为零，则此质点对该定点的角动量保持不变。角动量定理：例．质量为m的质点以速率v沿一直线运动，则对直线上任一点的角动量为

。0例．质量为m的质点以一速率v沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d的一点的角动量大小是

。§3

刚体的角动量与角动量守恒一、刚体绕定轴转动的角动量在刚体上任取第i个质点Pi，它相对于O的角动量因每个质点的角动量方向相同，所以刚体的角动量为每个质点角动量的代数和

的方向在转轴z上即刚体的角动量：刚体绕某一定轴的转动惯量J与刚体的角速度

的乘积，也称动量矩。单位：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)量纲：ML2T-1角动量（动量矩）是描述刚体绕定轴转动状态的一个物理量与质点动量

相比可看出，角动量与之对应动量与角动量是两个单位不同的物理量，不可混用此式不仅适用于绕定轴转动刚体的转动惯量J为恒量过程，也适用于在刚体转动过程，J发生变化的过程，而M=Jα仅适用于转动惯量不变的过程。二、刚体定轴转动的角动量定理

由刚体定轴转动的转动定律----刚体定轴转动的角动量定理作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的导数。它是转动定律的另一表达方式。

----定轴转动角动量定理的积分形式冲量矩元冲量矩定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量

J可变化的质点系或非刚体，定轴转动时有角动量守恒定律：刚体所受的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变1.转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀角速转动.2.转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变，当J变大时，角速度变小；当J变小时，角速度变大。三、刚体定轴转动角动量守恒角动量守恒的两种情况：转椅角动量仪直升飞机分析人和转盘组成的系统2mmω当双臂由r1变为r2后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。花样滑冰运动员通过改变身体姿态

---改变转动惯量来改变转速ω跳舞演员身体旋转，开始旋转时，两臂伸开，然后迅速收回两臂，这时旋转的速度比开始更快，这是由于转动惯量变小。例3

质量很小长度为l

的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处，并背离点O

向细杆的端点A

爬行．设小虫与细杆的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒由角动量定理考虑到得此即小虫需具有的爬行速率．[例1]一质量为m长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0和杆子发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起

试求：①碰撞后系统的角速度

；②碰撞后细杆能上摆的最大角度θ。解：(1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒碰撞前橡皮泥绕转轴的角动量为碰撞后系统绕转轴的角动量为(2)上摆过程机械能守恒，取细杆下端水平面为重力势能零点，得：例1．花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为ω0，然后他将两臂收回，使转动惯量减少为这时他的转动的角速度为：解：（C）例2．质点系的内力可以改变

A．系统的总质量

B．系统的总动量

C．系统的总动能

D．系统的总角动量（C）例3．一个物体正在绕固定光滑轴自由转动A．它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变；B．它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小；C．它受热或遇冷时，角速度均变大；

D．它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。（D）例4．如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆和小球这一系统：

A．只有机械能守恒

B．只有动量守恒

C．只有对转轴O的角动量守恒

D．机械能、动量和角动量均守恒（C）（C））θmO[例2]如图所示，在水平光滑桌面上，质量为m1、速度为u的小球与静止的、质量为m2、长为2l的均质细棒在顶端发生完全弹性碰撞，碰撞时小球速度u的方向与棒垂直，碰后细棒可绕平面内通过其质心的竖直轴转动。试求碰撞后小球的反弹速度和细棒的角速度。解：设碰撞后小球反弹速度为v，方向与u相反；设碰撞后细棒的角速度为

小球与细棒组成的系统合外力矩为零，则系统角动量守恒碰撞是完全弹性碰撞，则系统机械能守恒碰撞时系统角动量守恒碰撞后小球的反弹速度的大小为碰撞后细棒的角速度为一、力矩的功

刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩对刚体作了功。§4力矩的功

动能定理元功：力矩对质点(或刚体)所作的元功等于力矩和角位移的乘积其中外力在定轴上对刚体的合外力矩当力矩与角速度同号(或同方向)时，力矩的功为正值；当力矩与角速度异号(或反方向)时，力矩的功为负值。功的正负：力矩的功率力矩的功二、刚体定轴转动的动能定理转动定律设在合外力矩M的作用下作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩的元功等于该刚体转动动能的微分。------刚体定轴转动的动能定理的微分形式当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从t1时刻ω1改变为t2时刻的ω2时，合外力矩对刚体所作的功为刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。动能定理[例1]

一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。）θLL22mg求：摆到如图位置时的ω解：=M=MθLmgcos[例1]

一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。）θLL22mg求：摆到如图位置时的ω解：=M=W=Lmgθ12sinθLmgcos[例２]

质量为m1、半径为r的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动，饶过盘的边缘挂有质量为m2

的物体（如图所示），一切摩擦忽略不计，将m2静止释放，下降h米用了时间t秒。１、在Ｊ已知的情况下，求m2下降h时的速度２、求m1的转动惯量。m１m2r解：１、受力如图所示。２、三、含有刚体的力学系统的机械能刚体的机械能

（1）质点的平动动能，质点的重力势能，弹性势能；力学系统的机械能刚体的重力势能刚体的转动动能（2）刚体的转动动能，刚体的重力势能。

对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力做功，而外力和非保守内力都不做功，或做功的代数和为零，则此系统的的机械能守恒。

----系统的机械能守恒当A外+A非保

=0

时，有[例3]如图，一钟摆由长度为L，质量为m的均质细杆和固定在其一端的质量为m0的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕一水平轴旋转，开始时把它放到水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。问放手后钟摆摆到

角位置时的角速度

有多大？解：取细杆水平时位置为重力势能零点系统机械能守恒初态末态细杆L2L2）θm0gmg摆球则，由系统机械能守恒定律有L2L2）θm0gmg细杆的转动惯量为例把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为m.开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度，令它自静止状态下摆，于垂直位置和直杆作弹性碰撞.求碰后直杆下端达到的高度h.c