高考数学一轮复习 第十章 概率 课时分层作业 五十九 10.3 几何概型 文试题

课时分层作业五十九几何概型一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有280粒落到阴影部分,估计阴影部分的面积为 ()A. B. C. D.【解析】选D.根据几何概型的概率公式可得P====,所以阴影部分的面积为.2.(2018·醴陵模拟)如图四个游戏盘,现在投镖,投中阴影部分概率最小的是 ()【解析】选C.A游戏盘的投中阴影部分概率为,B游戏盘的投中阴影部分概率为,设正方形的边长为2r,C游戏盘的投中阴影部分概率为=,设圆的半径为r,D游戏盘的投中阴影部分概率为=,所以C游戏盘的投中阴影部分概率最小.3.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,A. B. C. D.【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的威力范围的半径R不大于正方体的内切球的半径r=.所以该事件的概率P==.4.在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32A. B. C. D.【解析】选C.设AC=xcm(0<x<12),则CB=12-x(cm),则矩形面积S=x(12-x)=12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12,在数轴上表示为由几何概型概率公式,得概率为=.5.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为A. B. C. D.【解析】选A.由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.【变式备选】已知函数f(x)=2x,若在[1,8]上任取一个实数x0,则不等式1≤f(x0)≤8成立的概率是 ()A. B. C. D.【解析】选C.因为f(x)=2x,1≤f(x0)≤8,所以1≤≤8,所以0≤x0≤3,所以=.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上,在球O内任取一点M,则点M在正方体ABCD-A1B1C1D1A. B.C. D.【解析】选D.设正方体的棱长为a,则外接球的半径为a,所以在球O内任取一点M,则点M在正方体ABCD-A1B1C1D1内的概率是7.(2018·保定模拟)在区间内随机取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为 ()A. B. C. D.【解析】选D.由题意可知a∈,区间长度为6,因为1∈{x|2x2+ax-a2>0},所以2+a-a2>0,则-1<a<2,区间长度为3,因此,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为P==.8.(2018·南昌模拟)已知f(x)=+cosx,在区间(0,π)内任取一点x,使得f′(x)>0的概率为 ()A. B. C. D.【解析】选C.因为f(x)=+cosx,所以f′(x)=-sinx,令-sinx>0,sinx<,当x∈(0,π)时,0<x<或<x<π,故所求概率为=.二、填空题(每小题5分,共15分)9.欧阳修的《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦,置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计【解析】依题意,所求概率为P==.答案:10.(2018·枣庄模拟)已知向量a=(x,1),b=(2,-1),在区间[-1,1]上随机地取一个数x,则事件“a·b≥0”发生的概率为________【解析】由已知得到事件“a·b≥0”发生的x的不等式为2x-1≥0,即x≥,所以在区间[-1,1]上随机地取一个数x,则事件“a·b≥0”答案:11.(2018·渭南模拟)若不等式组表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为________.

【解析】不等式组表示的平面区域为M,即为图中的三角形OAB,A,B(4,4),设y=2x-4与x轴的交点为C,则点C坐标为(2,0).S△AOB=S△OAC+S△OBC=×2×+×2×4=.随机向区域M内抛一粒豆子,豆子落在区域N的部分为图中的阴影部分,面积为,由几何概率的计算公式可得P==.答案:【变式备选】在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率为________.

【解析】画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积S1=×3×4=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率P=1-=1-.答案:1-1.(5分)(2015·陕西高考)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为 ()A.+ B.-C.- D.+【解析】选B.由|z|≤1可得(x-1)2+y2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为1的圆及其内部,满足y≥x的部分为如图阴影所示,由几何概型概率公式可得所求概率为:P===-.2.(5分)(2018·南阳模拟)在区间[-1,3]上随机取一个数x,若x满足|x|<m的概率为0.75,则m= ()A.0 B.1 C.2 【解题指南】根据概率求出满足|x|<m的区间长度,进而确定(-m,m)与[-1,3]的交集,求出m.【解析】选C.因为区间[-1,3]的区间长度为3-(-1)=4,所以随机地取一个数x,若x满足|x|<m的概率为0.75,则满足条件的区间长度为4×0.75=3.因为m>0,得|x|<m的解集为{x|-m<x<m}=(-m,m),所以(-m,m)与[-1,3]的交集的区间长度为3,因此x所在的区间为[-1,2),可得m=2.3.(5分)(2018·昆明模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点M,则满足∠AMB>90°的概率为A. B. C. D.【解析】选A.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点M,满足∠AMB>90°的区域为半径为1的球体的,体积为··π·13=,所以所求概率为【变式备选】(2018·长沙模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与点B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为点F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,则该点取自于几何体A1ABFE-D1【解题指南】解题关键是用间接法表示几何体A1ABFE-D1DCGH的体积.【解析】在等腰直角三角形B1EF中,因为斜边EF=a,所以B1E=B1FP===1-=1-=1-=1-·a·a=1-=.答案:4.(12分)(2018·济南模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,y). (1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率.(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.【解析】(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.则P(A)==,即向量a∥b的概率为.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件为所表示的区域,B=,则由图可知,P(B)==,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.【变式备选】已知集合A=[-3,3],B=[-2,2],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率.(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.【解析】(1)A=[-3,3],B=[-2,2],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},表示的区域的面积为6×4=24.圆x2+y2=4的面积为4π,所以以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率为P1==.(2)由题意,到直线x+y=0的距离不大于的点夹在两条平行直线x+y-2=0与x+y+2=0之间,如图所示,故所求事件的概率为P2==.5.(13分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合A={-1,1,2,3,4,5}和B={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合A,B中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.(2)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.【解析】要使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a>0且-≤1,即a>0且2b≤a.(1)所有(a,b)的取法总