2023届安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校高三第一次诊断数学试题

2023届安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校高三第一次诊断数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）,则该几何体的表面积为（）

A.15几cmB.217rcm

C.24兀cmD.33ncm

2.已知函数/（幻=：0?+彳2（。＞0）.若存在实数％e（—1,0）,且与力一；，使得/（为）=/（-g）,则实数。的取

值范围为（）

21Q

A.(1,5)B.(一,3)。(3,5)C.(—,6)D.(y,4)u(4,6)

37

3.设全集U=R,集合A={x|V-3x—4>()},则(

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4Sr<l}

4.已知集合A={x|1<XW24},iy=/2则。（

\j-x~+6x—5

A.{x|x>5}B.{x15<x<24}

C.{X|尤或x25}D.{x|5<x<24)

5.函数/(%)=xsinx（一且xwO）的图象是（

22

6.已知抛物线y2=20x的焦点与双曲线鼻一方=l(a>0,b>0)的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的

9

线段长为一，那么该双曲线的离心率为()

2

555厂

A.—B.—C.—D.、/5

432

一心sin(Z/r+a)cos(^+cir)、“一―4一^人口,、

7,已知■=•—~------+—--------必z团,则A的值构成的集合是()

sinacosa

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2)

8.sin80°cos50"+cos140°sin10°=()

9.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的

用水量(单位：m。的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()

10.已知抛物线C：f=4y的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限，若弦

的长为25三则1A鬲FI=()

A.2或LB.3或，C.4或LD.5或，

2345

11.在ABC中，。为BC边上的中点，且|AB|=1,AC|=2,NBAC=120。，则|AD|=()

3V7

V3B.•

.~T244

2

12.复数匚7(i为虚数单位)的共甄复数是

D.-1-i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式O+2)'"(x+l)"=%+。”+〃2工2++4〃+〃x""〃满足％=4，4=16,则帆+〃=:

%+4+%++%+〃=.

14.若工，y满足|幻〈1一丁，且心T,则3x+y的最大值____

15.若函数/(x)=sin5+Geos(XCR,0>0)满足/(a)=0,〃夕)=2,且|£一团的最小值等于则

(O的值为.

x>0,

16.已知x,)‘满足约束条件<x+yNl,则2=%一y的最大值为.

2x+y<2,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设A6C的内角A,&C的对边分别为已知28cos6=acosC+ccosA.

(1)求B；

(2)若ABC为锐角三角形，求二的取值范围.

a

18.(12分)已知数列｛4｝的各项均为正数，且满足“：-(〃+1)4-2〃2一"=0.

⑴求q,%及｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛平｝的前〃项和S”.

19.(12分)已知/(x)=xlnx与)'="有两个不同的交点AB,其横坐标分别为玉，々(玉<X2).

(1)求实数。的取值范围；

(2)求证：ae+1<乙一为<"+—.

20.(12分)已知奇函数/(x)的定义域为R,且当xe(0,+8)时，/(x)=x2-x+l.

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)记函数g(x)=/(x)-如+1,若函数g(x)有3个零点，求实数机的取值范围.

21.(12分)已知函数/(x)="tr2(lnx+gj.

(I)若m=1,求曲线y=/W在(1J⑴)处的切线方程；

(U)当相£1时，要使/(X)>xlnx恒成立，求实数机的取值范围.

22.(10分)已知中心在原点0的椭圆C的左焦点为耳(一1,0),。与丁轴正半轴交点为A,且乙460=2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点A作斜率为人、匕(4幺。0)的两条直线分别交C于异于点A的两点"、N.证明：当％2=2时，直

一1

线MN过定点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。或，底面直径是6。加，据此可计算出答案.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是56,底面直径是6。加，

该几何体的表面积S=7x3?+1x3x5=24万.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.

2、D

【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结

果.

【详解】

+2x,令=得芭=0,x=——.

2a

其单调性及极值情况如下：

1T_2

X0(0,+(»)

a\a)

/'（X）+0-0+

极小

/（X）A极大值

值

若存在£（-1,一5卜使得/（Xo）=/

312

或---V----V----(如图2).

a2a

（图2）

于是可得.6（3,4卜（4,6）,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,

画出图象数形结合，属于较难题目.

3、C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得a/

【详解】

由x2-3x-4=(x-4)(x+l)>0,解得x<-l或x〉4.

因为A={x|x<—1或x>4},所以aA={x|-14x44}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

4,D

【解析】

首先求出集合B,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

M：V-x2+6x-5>0,解得1cx<5

8={x[l<x<5},/.dAB={x15<x<241.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

5、B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知/(X)定义域为[一跖0)D(0㈤，

f(-x)=-x--sin(-x)=|x-—sinx=/(x),

・•・/（x）是偶函数，关于y轴对称,

，排除C,D.

・•.“X）在（0,4）必有零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.

6、A

【解析】

22

由抛物线V=20x的焦点（5,0）得双曲线「一』=1（。＞00＞0）的焦点（±5,0）,求出c=5,由抛物线准线方程

a~b~

2b°

%=-5被曲线截得的线段长为一9，由焦半径公式丝==9,联立求解.

2a2

【详解】

解：由抛物线./=20x,可得2P=20,则p=10,故其准线方程为x=-5,

22

抛物线y2=20x的准线过双曲线三一齐=1（。＞0力＞0）的左焦点，

/.c=5・

9

抛物线y2=20x的准线被双曲线截得的线段长为万，

V=F又占25田巴

a=4,b=3,

c5

则双曲线的离心率为e=—=—.

a4

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

7、C

【解析】

对女分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.

【详解】

攵为偶数时，4=----H-------2；攵为奇数时，A---；-----------=一2,则A的值构成的集合为{2,-2}.

sinacosasinacosa

【点睛】

本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

8、D

【解析】

利用10'=90°-80°,140=90°+50",根据诱导公式进行化简，RT^sin800cos50°-cos800sin500,然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

由80°=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10°=sin（90°-80）=cos10

cos140"=cos（90+50）=-sin50,

所以原式=sin80"cos50°-cos80°sin50'=sin（80-50）

所以原式=$皿30=-

2

故sin80°cos50"+cos140°sin10=—

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

9、C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为（0.05+（）.01）x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为卡x200=60,故选C

10、C

【解析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出M目,忸尸|.

【详解】

设直线的倾斜角为贝!卜飞;=二；=至，

'1cos20cos204

所以"，tan28=—1—1=—,即tan。=±3,

25cos2^164

33

所以直线/的方程为y=±-x+l.当直线/的方程为y=-x+l,

44

%2=4y

所以\AF导\

联立解得X]=-1和X?=4,=4；

y^-x+\|舄|

4

3|AF|1l/lFl1

同理，当直线/的方程为丁=一二%+1.丹=了，综上，丹=4或一.选C.

4\BF\4|BF|4

【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物

线的定义.

11、A

【解析】

由。为边上的中点，表示出AO=g（AB+AC）,然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为8C边上的中点,

AD^-(AB+AC

2、

(AB+AC)2

=曲AB?+AC2+2AB-AC

+22+2xlx2xCOS120)

旦

T

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

12、B

【解析】

分析：化简已知复数Z,由共加复数的定义可得.

22(1+，)

详解：化简可得=l+i

(1-0(1+0

Az的共轨复数为1-L

故选B.

点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共物复数，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、572

【解析】

(x+2)”(x+1)"=«+q=4,a,=16

\,多项式()axx+a2x~+"满足

二令x=0,得2"'xl"=4=4,贝!]/〃=2

二(x+2),n(x+1)”=(x2+4x+4)(x+l)n

:,该多项式的一次项系数为4C；；ln+4c丁1"T=16

:.=3

:.〃=3

:.m+n=5

x=1,(1+2)2x(1+1)3=%+%+2H----F=72

令得。ani+n

故答案为5,72

14、5.

【解析】

由约束条件作出可行域，令z=3x+y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数

得答案.

【详解】

由题意/।，作出可行域如图阴影部分所示.

y-l<x<l-y

设z=3x+y,y=z-3x,

当直线/°：y=Z-3x经过点(2,—1)时,Z取最大值5.

故答案为：5

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

15、1

【解析】

利用辅助角公式化简可得/(%)=2$m(。》+。］,由题可分析|q-，|的最小值等于'表示相邻的一个对称中心与一

7T

个对称轴的距离为一，进而求解即可.

2

【详解】

由题,7(x)=sin69X+V3COS69X=+,

因为/(a)=0"(⑶=2,且I仪-⑶的最小值等于即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为5

171

所以二7=二，即T=2〃，

42

.2乃2万,

所以<y=—=——=1,

T2万

故答案为：1

【点睛】

本题考查正弦型函数的对称性的应用，考查三角函数的化简.

16、1

【解析】

先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数zx-y的最大值.

【详解】

解：由约束条件得如图所示的三角形区域，

由于z=x-y,则,=1-2,

要求z=x-)，的最大值，则求y=%-z的截距-z的最小值，

显然当平行直线过点A(1,O)时，

z取得最大值为：z=l—0=1.

【点睛】

本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)5=y⑵[9]

【解析】

(1)利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosB的值，进而求得3的大小.

(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得工的表达式，进而求得工的取值范围.

aa

【详解】

(1)由题设知，2sinSeosB=sinAcosC+sinCeosA,

即2sin3cosB=sin(A+C),

所以2sinBcosB=sinB,

即cosB=一，又0vBv%

2

71

所以8=；.

3

/、G41.4

(2)由题设知，csinCsin(120刊3COSA+5S11M,

asinAsinAsinA

即£=@L_+l,

a2tanA2

又ABC为锐角三角形，所以30°<A<90°,即tanA>正

3

所以0<」一〈百，即!<《!.—L+_l<2，

tanA22tanA2

所以?的取值范围是21

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.

O

18、(1)q=3；4=5=2〃+1；(2)S“=—(4"—1)

【解析】

(D根据题意，知%>0,且a；—(〃+l)a“—2/一〃=0,令〃=1和〃=2即可求出外,%，以及运用递推关系求

出｛4｝的通项公式；

(2)通过定义法证明出｛4｝是首项为8,公比为4的等比数列，利用等比数列的前〃项和公式，即可求得｛2"”｝的前〃

项和s“.

【详解】

解：(1)由题可知，怎>。，且如一("+1)。“-2〃2一〃=0,

当〃=1时，a；-2al-3=0,则q=3,

当〃=2时，④—3a2—10=0,%=5,

由已知可得(a"+”)[a“-(2〃+l)]=0,且a“>0,

•••｛%｝的通项公式：a“=2〃+l.

(2)设a=2%,则a=22叫

b22n+1

所以广=尹=22=4,4=23=8,

得｛4｝是首项为8,公比为4的等比数歹!],

所以数列也｝的前〃项和S“为：

Sn=bt+b2++bn,

即S“=23+2、+…+22n+,=80-4)=斗4"-1)，

"1-43、7

所以数列｛2册｝的前"项和：S„=|(4,,-l).

【点睛】

本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前〃项和公式，考查计算能力.

19、(1)(2)见解析

【解析】

(1)利用导数研究/(x)=xlnx的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

IJ/

(2)构造函数g(x)=-x-xlnx,h(x)=----("一1)一xhu•可证得：一x>jdnx,----(x-l)>xlruXG

e-1e-1、

分析直线y=_x,y=-L(x—i)与y=a

从左到右交点的横坐标，/(X)在x=e-3,x=l处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数/(x)=xlnx,

/*(%)=1+lnx,

令尸(x)>O,x>-,令/(x)<O,O<x<-

故在(0,g)单调递减，在4gl单调递增，

••・小)加“=d)=+,

•Jx->0+时/(x)-0;/(1)=0；]-”时〃力->+00

(2)①过点(0,0),的直线为旷=一兀，

则令g(x)=-x-xlnx,xe(oj),

g'(x)=-2-lnx

ng(x)m”=gj),g(x),nin>min<0,g^|=0

((

=>-x>xlnxXG0,—.

IVe))

②过点(l，o),(，，一：1的直线为/=・(%一1),

贝!!/z(x)=---(x—l)-xlnxXG

a—1

Li］上单调递增

h\x)=-lav—1>0n在

e—1

[-=0=>——-(x-1)>xlnxXG—,1

③设直线y=—x,y=」一(x-l)与y=a

从左到右交点的横坐标依次为&=-。，/=a(e-D+l，

由图知*2~xi>*4_%3=ae+L

④/(x)在x=e-3,》=1处的切线分别为了=一2%一"3,y=x-1,同理可以证得

记直线y=a与两切线和/i(x)从左到右交点的横坐标依次为天，X，%，/，

ae3

赴-芯<x6-x5=Ca+l）-~^3a+2-c

2

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.

x2-x+l,x>0

20、(1)/(x)=O,x=O；(2)(2>/2-1,+8)

—x?—x—1,x<0

【解析】

(1)根据奇函数定义，可知/(。)=0；令XC(F,O)贝！J-xe(O,+s),结合奇函数定义即可求得XC(F,O)时的解

析式，进而得函数/(X)的解析式;

(2)根据零点定义，可得〃%)=如-1,由函数图像分析可知曲线y=〃x)与直线y=〃a-1在第三象限必1个交

点，因而需在第一象限有2个交点，将y=，/u-l与y=f-x+l联立，由判别式d>0及两根之和大于0,即可求得

m的取值范围.

【详解】

(1)因为函数/(x)为奇函数，且xeR,故/(0)=0；

当XG(-OO,0)时，-XG(0,+O0),

/(-X)=(-x)2-(-%)+l=x2+x+!=-/(%),

x2-x+rl,x>八0

故f（X）=<0,x=0

—x2—x—1,x<0

(2)令g(x)=/(x)-mx+l=O,

解得=画出函数关系如下图所示,

要使曲线y=/(x)与直线y1有3个交点，

则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立「一•一,

y=fnx-1

化简可得Y-(l+m)x+2=0,

A[A>o](根+l)2_8>0

令<,八，即r，，

%1+x2=14-m>()[m>-1

解得“>2>/2-1，

所以实数〃2的取值范围为(2夜-1,+8).

【点睛】

本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用,

属于中档题.

如⑴…”餐」]

【解析】

(I)求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；

(II)构造函数y=/(x)-x//u,对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.

【详解】

(I)当m=1时，贝(]/'(x)=2x(lnx+g]+x.

所以/'⑴=2.

113

又/(1)=5,故所求切线方程为>一万=2。-1),即丫=2工一5.

(1

(II)依题意，得〃式2lnx+->xlnx,

即nvc2(lnx+；)-xlnx>0恒成立.

令g(x)=〃a2[lnx+；)-xlnx,

则g'(x)=(2/nx-l)(lnx4-l).

①当机<0时，因为g(l)=；〃?wo,不合题意.

②当0<加41时，令g'(x)=0,

311=丛11

得X]=--,x=—9显然--->一・

2m2e2me

令g<x)>0,得0<%<1或x>-L；令g