2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（含答案解析）

2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集/={0,1,2,3},集合M={0,l,2},N={0,2,3},则=

A.{1}B.{2,3}C.{0,1,2}D.0

2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学

的身高在［160,175］（单位：cm）内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率

为（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.tan540。的值为（）.

A.-1B.0C.1D.不存在

4.下列函数中，在（0,+◎上单调递增的是（）.

1

A.y=]x\B.y=-x2C.y=2-xD.y=~r

5.已知向量£=。,2),\=(%,-1)若£_1_),则实数X的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

6.设C为复数集，若xeC,且i（l+i）=x（i—1）（i为虚数单位），则工=（）.

A.1B.l+iC.4D.1-i

7.在下列区间中，函数f（x）=3*-x-3的一个零点所在的区间为（）.

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

8.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽

样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在

高二年级的学生中应抽取的人数为

A.6B.8C.10D.12

9.函数y=sin2xcos2x是

A.周期为g7T的奇函数B.周期为gjr的偶函数

2

C.周期为万的奇函数D.周期为万的偶函数

10.如图，D,E,尸分别是AABC的边AB,BC,C4的中点，则下列结论错误的

是（）

A

B.丽=L

A.DE^FC

2

C.DE+EF=DFD.DE+EC+CF^O

11.某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀,

如果优秀的人数为20人，则。的估计值是（）.

D.137

12.将函数y=2sin(x+?)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的g(纵坐标不变),

所得图象对应的表达式为()

A.y=2sin(；x+§B.y=2sin(gx+?)

C.y=2sin(2x-i--)D.y=2sin(2x+—)

33

13.在△ABC中，。=2,6=及，44=f,则N8=

4

71

A"n「，冗-5乃'九

A.-B.-c.z或zD.7或工

366633

14.设a=21og9e,b=log3正,c=(log3e『，其中e为自然对数的底，贝ij().

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

15.如图，在正方体中，E为线段aa的中点，则异面直线OE与

BC所成角的大小为（）

二、填空题

16.某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为

17.在AABC中，若BC=2a,AC=3,NC=45。，则A8的长为.

18.已知|£|=2,|加=3,|£+加=加，则|：-.|=.

19.表面积为4百的正四面体外接球的体积为.

20.若x<l,则x+一1的最大值是.

x-l

三、解答题

21.已知cose..ae[-],。).

(1)求cos2a的值；

(2)求sin-a)的值.

22.已知复数z=Ai(AeRb三是实数，i是虚数单位.

(1)求复数z；

(2)若复数5+z)2所表示的点在第一象限，求实数加的取值范围.

23.如图，四棱锥P-A8co的底面ABC。是菱形，ZBCD=60°,尸A_L平面ABC。,

E是AB的中点，尸是PC的中点.

(1)求证：平面P/)E_L平面片记.

(2)求证：8尸〃平面POE.

24.已知函数/'(x)=2/+(x-a)2.

⑴若/(x+1)为偶函数，求”的值；

⑵若在［0,1］上有最小值9,求。的值.

参考答案:

I.A

【解析】

【详解】

•.•全集/={0,1,2,3},N={0,2,3},.・©汽={1},又“={0,1,2},则

Mc@N={l},故选A.

2.B

【解析】

【详解】

解：因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]cm的概率

为0.5,和该同学的身高超过175cm的概率和为1,利用对立事件可知1-020.5=0.3,选B

3.B

【解析】

【分析】

利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；

【详解】

解：tan540°=tan(3xl80o+0o)=tan0°=0

故选：B

4.A

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，当xe(0,+o>)时，可得函数y=x在(0,+8)上单调递增，满足题意；

对于B中，根据二次函数的性质，可得函数y=在(0,+8)上单调递减，不满足题意；

对于C中，函数y=2f=(g『，可得函数y=在(0,zo)上单调递减，不满足题意；

1.11

对于D中，函数y=-，==*2,可得函数费在(0,+8)上单调递减，不满足题意，

故选：A.

答案第1页，共10页

5.B

【解析】

根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.

【详解】

因为£j_万,所以不5=0,

所以尤—2=0,即x=2.

故选：B

6.A

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得：

【详解】

解：因为i(l+i)=x(i-l),所以-l+i=x(i—1),所以犬=二1±1=1；

-1+1

故选：A

7.B

【解析】

【分析】

根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(X)=3*7-3,

可得/(())=-2,/(1)=-1,/(2)=4,/(3)=21,/(4)=74,所以/(1>/(2)<0,

结合零点的存在定理，可得函数/(力的一个零点所在的区间为Q2).

故选：B.

8.B

【解析】

【详解】

试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：

在高二年级的学生中应抽取的人数为：40x3=8,

答案第2页，共10页

故选B.

考点：分层抽样.

9.A

【解析】

【详解】

1,,2471

函数》=sin2xcos2x=—sin4x,「.函数的周期是一=—，

242

•・・/(一x)=gsin(-4x)=-gsin4x=-/(x),函数是奇函数，函数y=sin2xcos2x是周期为

TT

£的奇函数，故选A.

2

10.D

【解析】

根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可

【详解】

A.项0E=FC且利用中位线性质有OE,尸C平行

故方=斤

B.项DF=^BC,且OF,8c平行

故而」及

2

C.项由向量加法运算有方后+瓯=而

D.项DE+EC+CF=DF,不成立

故选：D

11.C

【解析】

【分析】

根据频率分别直方图性质求解即可.

【详解】

优秀的频率为会=0.2,

10()

[130,140)的频率为0.015x10=0.15,[140,150]的频率为0.01x10=0.1,

所以“的值在[130,140)之间.

答案第3页，共10页

即（140-a）x0.015=0.1,解得a*133.

故选：C.

12.C

【解析】

【分析】

根据函数y=Asin（Ox+9）的图象变换规律，可得结论.

【详解】

将函数y=2sin（x+。）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的g（纵坐标不变），

JT

所得图象对应的表达式为y=2sin（2x+1）,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin（ox+夕）的图象变换规律，属于基础题.

13.B

【解析】

【详解】

72

7T

由正弦定理可知ab.nsinAT仄1，-：h<a：.B<A,:.B=-,

-------=sinB=b=-^-x\J2=—6y

sinAsinB----------------a22

故选B.

14.B

【解析】

【分析】

利用对数的运算法则、对数函数的性质以及作差法判断即可；

【详解】

解：a=21og9e=21og3,e=log3e,又g=log?6<k^e<log?3=1

即La<1,

2

1IIII

b=log3Ve=log3=—log3e=—所以,

2

c=（log3e）=cr,

答案第4页，共10页

又a-cnlogje-Oogjey=log3e(l-log3e)>0,所以，

2

/?-c=1log,e-(log,e)=log3e-log3<0,所以b<c,

所以a>c>b；

故选：B

15.C

【解析】

【分析】

连接A。，则可得/AOE为异面直线。E与BC所成角的平面角或其补角，然后由题意可

得OE^AE,从而在心1£。中求解即可

【详解】

解：连接A。，则AO//8C，故/AQE为异面直线。E与4c所成角的平面角或其补角，

连接。G，则AQ=Z)G，因为E为AG的中点，故在MAAE。中，

因为=而AG=A〃，所以在7?以4即中，\E=-AD,故NAOE=二，

22X6

故选：C.

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率公式计算可得;

【详解】

答案第5页，共10页

243

解：依题意选中男生的概率尸=1-刀=：

6（）5

故答案为：j3

17.非

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理计算可得；

【详解】

解：由余弦定理<?=/+b?-2abcosC,

即c2=（272）2+32-2x2>/2x3x^=5,

所以c=不

故答案为：后

18.不

【解析】

【分析】

根据数量积的运算律求出々石，再根据卜4=并一句2计算可得；

【详解】

解:因为|£|=2,出|=3,|£+B|=J历，所以|£+刈2=19,

即£2+2£石+片=19,即@+275+W=19,所以22+224+32=19,解得力=3;

所以|［，|=并』）2=^a-2a-b+V

=^|a|2-2a-i+|i|2

=V22-2X3+32=5/7

故答案为：不

19.娓兀

【解析】

【分析】

答案第6页，共10页

设正四面体的边长为a,A4?C的外接圆圆心为Q,正四面体外接球的球心为。，半径为

R，根据已知条件得到。=2,从而得到外接球半径R=理，再求外接球体积即可.

2

【详解】

设正四面体的边长为a,AABC的外接圆圆心为。，正四面体外接球的球心为。，

半径为R,如图所示：

因为/x^-=4G,解得Q=2.

22

因为^4x7=28,所以8=友,so//吗=-y[6.

sin603丫(3J3

在RTZ\COZ)中，f-^-A/6—R\+—=R?解得R=.

正四面体外接球的体积丫==瓜几.

故答案为：瓜7T

20.-1

【解析】

【分析】

变形x+」7=-h-x+J-1+l,利用基本不等式可得最值.

【详解】

•：x<l,贝!]1一%>0

X4-^-^-=-^l-X+y^—+1<-2^(l-X)———Fl=-1.

当且仅当1=占，即/0时,等号成立.

答案第7页，共10页

即XH----的最大值是-1.

X-1

故答案为：-1.

7

21.(1)——

25

⑵3G+4

10

【解析】

【分析】

(1)直接用二倍角余弦公式即可得结果；

(2)由三角恒等式求出sina,再根据两角差的正弦公式即可得结果.

(1)

因为cosa=|,ae^-y,oj,

97

所以cos2a=2cos2a-1=2x---1=----.

2525

⑵

因为cosa=1,aw］一j0),所以sina=-cos2a=一之,

所以=

(3J252I10

22.(1)z=-2i；(2)(-«o,-2).

【解析】

【分析】

(1)先求出三=殍+*i,由题得等=0,即可解出；

(2)求出(，“+z)2=(>-4)-4〃7i,解不等式一即得解.

')-4/n>0

【详解】

z—2加一2(加-2)(一i)b-2b+2.

(1)Cz=:(bwR),

7+T-1+i-(l+i)(l-i)~~T~

又言是实数，.・•等=。，得I」■•复数z7

(2)由(1)得z=-2i,ntwR,A(m+z)2=(/n-2i)2=(/w2-4)-4zni,

答案第8页，共10页

•.•复数（初+z）2所表示的点在第一象限，.二:：；。，得m<一2.

...实数机的取值范围是（F,-2）.

23.（I）见解析；（2）见解析

【解析】

【详解】

试题分析：（1）根据平几知识计算得DEL再根据条件由线面垂直得。E_L",最后

根据线面垂直判定定理得。E_L平面由面面垂直判定定理得结论（2）取PO的中点

G,由平几知识得BF||GE,再根据线面平行判定定理得结论

试题解析：（1）:底面48co是菱形，ZBCD=60。,

,AABD为正三角形，E是A8的中点，DEYAB,

24J_平面A3CD,O