新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第26讲 四边形面积问题（解析版）

第26讲四边形面积问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的任意一点，过点SKIPIF1<0作双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若四边形SKIPIF1<0为坐标原点）的面积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则双曲线的方程为SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，联立双曲线方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆外，且在双曲线上，可得SKIPIF1<0的横坐标的范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．二．填空题（共2小题）2．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆的左右焦点，过椭圆SKIPIF1<0的中心任作一直线与椭圆交于SKIPIF1<0两点，当四边形SKIPIF1<0面积最大时，SKIPIF1<0的值等于7．【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0取最大值时四边形SKIPIF1<0面积最大，SKIPIF1<0即当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在上下顶点时，SKIPIF1<0取最大值，四边形SKIPIF1<0面积最大，令椭圆的实半轴为SKIPIF1<0，虚半轴为SKIPIF1<0，焦半径为SKIPIF1<0此时，SKIPIF1<0．故答案为7．3．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别作直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），则四边形SKIPIF1<0面积的最大值为4．【解答】解：由题意可得椭圆的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设平行线间的距离为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，①当直线的斜率不存在时，可得四边形SKIPIF1<0为矩形，设直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，代入椭圆的方程可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这时SKIPIF1<0，②当直线的斜率存在且不为0时，且SKIPIF1<0，由椭圆的对称性可得SKIPIF1<0为平行四边形，设SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线与椭圆的方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得两条平行线间的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：4．三．解答题（共15小题）4．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，过右焦点SKIPIF1<0作与SKIPIF1<0轴垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与椭圆的交点到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上），若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最大值．【解答】解：（1）由已知可得SKIPIF1<0，因为直线经过右焦点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）因为过SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上），所以设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0．得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由对勾函数的单调性，得当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．5．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，过其右焦点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，椭圆SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若斜率为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与椭圆交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的取值范围．【解答】解：（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0（2分）（2）斜率为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，可得直线方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0△SKIPIF1<0恒正，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4分）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（此处也可以用点差法：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的坐标SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0的取值范围：SKIPIF1<0（12分）6．已知曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：直线SKIPIF1<0过定点；（2）若以SKIPIF1<0为圆心的圆与直线SKIPIF1<0相切，且切点为线段SKIPIF1<0的中点，求四边形SKIPIF1<0的面积．【解答】解：（1）证明：SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，设切点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立两切线方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0；（2）法一：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为切点可得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即有直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；法二：（2）由（1）得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．综上，四边形SKIPIF1<0的面积为3或SKIPIF1<0．7．如图，SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0；双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的不垂直于SKIPIF1<0轴的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点时，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．解得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两端，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．则四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0面积取得最小值2．8．已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是其准线SKIPIF1<0上任意一点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（Ⅰ）求焦点SKIPIF1<0的坐标，并证明直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0；（Ⅱ）求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．【解答】解：SKIPIF1<0解法一：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0解法二：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0直线方程为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，所以交点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即直线过焦点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函数，则四边形SKIPIF1<0面积的最小值为3．9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0（与SKIPIF1<0轴不重合）且交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0且垂直于直线SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求四边形SKIPIF1<0面积的取值范围．【解答】解：（1）设动点SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简可得：SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．可得当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，四边形SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积为12．综上，四边形SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0．10．平面直角坐标系SKIPIF1<0中，过椭圆SKIPIF1<0右焦点的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的两点，若四边形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积的最大值．【解答】解：（1）直线SKIPIF1<0过椭圆的右焦点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；由题意，可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为1，所以SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．11．过椭圆SKIPIF1<0右焦点的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且椭圆的长轴长为短轴长的SKIPIF1<0倍．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的两点，若四边形SKIPIF1<0的对角线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．依题意可设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0．所以四边形SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0．12．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是曲线SKIPIF1<0的两条渐近线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的两点，△SKIPIF1<0为坐标原点）的面积为9，点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0．（1）求此双曲线的方程；（2）设点SKIPIF1<0是此双曲线SKIPIF1<0上的任意一点，过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，试证：平行四边形SKIPIF1<0的面积为定值．（3）若点SKIPIF1<0是此双曲线SKIPIF1<0上不同于实轴端点的任意一点，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的变化范围．【解答】（1）解：SKIPIF1<0双曲线的离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知所求双曲线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在双曲线上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②联立①②解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求双曲线方程为SKIPIF1<0；（2）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设其中一条平行SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不妨设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（定值）；（3）解：SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的垂线，在SKIPIF1<0轴上方交双曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的夹角SKIPIF1<0；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求△SKIPIF1<0的面积最小值；（3）过双曲线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求平行四边形SKIPIF1<0的面积．【解答】解：（1）双曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则双曲线的方程为SKIPIF1<0，可得双曲线的方程为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可得夹角SKIPIF1<0；（2）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的斜率存在，设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0设为SKIPIF1<0，联立双曲线方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，综上可得△SKIPIF1<0的面积的最小值为SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由平行于直线SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有行四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．如图，已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0在第一象限上的一点，且满足SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0分别作双曲线SKIPIF1<0两条渐近线的平行线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与渐近线的交点分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求四边形SKIPIF1<0的面积；（2）若对于更一般的双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上任意一点，过点SKIPIF1<0分别作双曲线SKIPIF1<0两条渐近线的平行线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与渐近线的交点分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．请问四边形SKIPIF1<0的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示该定值）；若不是定值，请说明理由．【解答】解：（1）因为双曲线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与渐近线SKIPIF1<0平行的直线的方程为SKIPIF1<0，联立双曲线的方程，解得点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；（2）四边形SKIPIF1<0的面积为定值SKIPIF1<0，理由如下：设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立，解得，即点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0（定值）．15．已知SKIPIF1<0的两个顶点坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是坐标原点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（Ⅰ）求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别过定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．故，点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（Ⅱ）由题意可知，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，易求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．这时，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，不符合要求．当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故，SKIPIF1<0，又，两条平行直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的距离SKIPIF1<0．由椭圆的对称性知：四边形SKIPIF1<0为平行四边形，其面积SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．16．如图，SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0；双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程；（2）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的不垂直于SKIPIF1<0轴的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点时，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．【解答】解：（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）因为直线SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴且过点SKIPIF1<0，故可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由联立椭圆方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知此方程的判别式大于0．设S