中考数学几何模型重点突破讲练：专题03 相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）（教师版）

专题03相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）模型分析模型分析【模型1】M型（1）如图，已知，BF与DF相交于点F【证明】如图，延长BF交CD于点G又（2）如图，已知，BF与DF相交于点F【证明】如图，延长BF交CD于点G又【M型变式】如图，已知，是平行线内的两点【证明】分别过做，【模型2】锯齿型如图，已知，M、N是平行线内的两点，点P是线段CD上一点，连接BM、MN、NP,【证明】如图：分别过点M、N做典例分析典例分析【例1】如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【解析】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【例2】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【解析】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【例3】问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【解析】(1)解：如图过点作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案为：；(2)解：，理由如下：如图过点作，∵，∴．∴，．∴∵，．(3)如图分别过点、点作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案为：．模型演练模型演练一、单选题1．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．【解析】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．3．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（）A．100° B．60° C．40° D．20°【答案】A【解析】解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．故选A．4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．综上，①②③④都正确，共4个，故选：A．二、填空题5．如图，AB//CD，则______【答案】40°【分析】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．【解析】解：过点作，，，，，．故答案为：．6．如图，，平分，，，则__________．【答案】【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．【解析】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°．7．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=__________°．【答案】【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．【解析】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案为：三、解答题8．（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【解析】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.9．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【解析】（1）解：因为，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.10．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．【解析】解：（1）．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．11．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，，点在直线上运动，记，．①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②【分析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案【解析】解：（1）如图2，过作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如图3，过作，，，，，；②、．如备用图1，当在延长线上时，；理由：如备用图1，过作，，，，，；如备用图2所示，当在延长线上时，；理由：如备用图2，过P作，，，，，；综上所述，．12．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．【解析】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：∵AB∥CD，∴∠CNE+∠AME＝180°，∵∠MEN＝180°，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．13．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【解析】(1)解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案为：；(2)解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；(3)解：如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．14．如图1，点、分别在直线、上，，.（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；（3）分当在直线下方和