中考数学几何模型重点突破讲练：专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型（教师版）

专题04三角形中的8字模型和燕尾模型【模型1】“8字”模型如图，已知AC与BD相交于点O，连接AD，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；根据三角形两边之和大于第三边，可得。【模型变式1】如图已知BD与AC相交于点O，点E在OA上，连接AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。【模型变式2】如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。【模型2】“燕尾”型如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得。【模型变式1】如图在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于点O。可得：①：②③【证明】如图，分别过点B，点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。在中，；在和中,；；∽同理可证：；【例1】如图，，，，，求和的度数．【答案】，【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形外角的性质可得，即可得的度数．【解析】解：∵，∴，，∵，，，∴，，∴，∴．∴，．【例2】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________；(2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个；②若，试求的度数；③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①6②③存在（理由见解析）④存在，【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论．（2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数．②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数．③和②同理④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论．【解析】(1)解：在中，在中，（对顶角相等）(2)①解：以M为交点的有1个，即为和以O为交点的有4个，即为和，和，和，和②解：AP平分，CP平分由（1）中的结论得：整理得：③解：理由如下：AP平分，CP平分由（1）中的结论得：整理得：④解：理由如下：由（1）中的结论得：整理得：一、单选题1．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；【解析】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，，，，，，，，，故选：A．2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【解析】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【解析】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．4．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为A． B． C． D．【答案】C【解析】∵如图可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故选．5．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．【解析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故选：A．6．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定【答案】C【解析】如图，连接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C．二、填空题7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【解析】解：连EF，GI，如图，∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．8．如图，______°．【答案】180【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不难证明结论．【解析】解：如图，∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案为：180．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【答案】360°【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．【解析】解：如图，连接FC，由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，故答案为360°．10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【答案】720°【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：如图：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，∠1＝∠H＋∠G＋∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D＝180°×（6－2）＝270°．故答案为：720°．三、解答题11．如图所示，已知四边形，求证．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【解析】方法1如图所示，连接BC.在中，，即.在中，，；方法2如图所示，连接AD并延长.是的外角，.同理，..即.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.是的外角，.是的外角，..12．如图，、分别平分和，若，，求的度数.【答案】.【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；【解析】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M-∠B=∠D-∠M，∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；13．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【解析】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=（38°+42°）=40°．14．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【解析】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如图②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，15．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【解析】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接BH、DE，∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．16．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________；②如图3，__________；（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；③如图6，