中考数学几何模型重点突破讲练：专题05 三角形中的角平分线模型（教师版）

专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图，已知OP平分，过点P作,；可根据角平分线性质证得≌，从而可得，。【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图，已知OP平分，点C是OA上的一点，通常情况下，在OB上取一点D，使得，连接PD，结合，，可证得≌。从而可得，，。【辅助线作法二】如图，已知OP平分，，通常情况下，延长CP交OB于点D，结合，，，可证得≌。从而可得，，。【辅助线作法三】如图，已知OP平分，通常情况下，过点P作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；结合，从而可得，。【例1】如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE；③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】证明△ODP≌△OEP（AAS），由全等三角形的性质可推出OD=OE，证明△DPF≌△EPF（SAS），由全等三角形的性质可推出DF=EF．∠DFP=∠EFP，S△DFP=S△EFP，则可得出答案．【解析】解：①∵OC平分∠AOB，∴∠DOP=∠EOP，∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴∠ODP=∠OEP=90°，∵OP=OP，∴△ODP≌△OEP（AAS），∴OD=OE．故①正确；②∵△ODP≌△OEP，∴PD=PE，∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF，∵PF=PF，∴△DPF≌△EPF（SAS），∴DF=EF．故②正确；③∵△DPF≌△EPF，∴∠DFO=∠EFO，故③正确；④∵△DPF≌△EPF，∴S△DFP=S△EFP，故④正确．故选：D．【例2】如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．求证：△AOC≌△BOC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【解析】证明：∵OC平分∠MON，∴∠AOC＝∠BOC，在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS）．【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则，下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过C作CEDA，交BA的延长线于E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）如图2：过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC即可证明结论；（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD=，然后利用勾股定理计算出AD=，从而可得到△ABD的周长．【解析】（1）解：如图2：过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE//AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．一、单选题1．如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得，从而可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出，，进而求出，最后进行计算求出即可解答．【解析】解：∵为中点，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．2．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，若AB=5，BC=3，则EC的长为（）A．1 B．2 C．2.5 D．4【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=5，AD=BC=3，AB∥CD，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠AED，然后根据角平分线的定义可得∠EAB=∠EAD，从而得出∠EAD=∠AED，根据等角对等边可得DA=DE=3，即可求出EC的长．【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，BC=3，∴AB=CD=5，AD=BC=3，AB∥CD∴∠EAB=∠AED∵AE平分∠DAB∴∠EAB=∠EAD∴∠EAD=∠AED∴DA=DE=3∴EC=CD－DE=2故选B．3．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【解析】解：连接PQ，当PQ⊥OM时，∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，∴PQ=PA，此时点P到OM的距离PQ最小，∴PA≤PQ，故选：D．4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．综上，正确的个数的3个，故选：C．6．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解析】如图，过点作AD平分∠BAC，DF⊥AB，，，DF⊥AB，∠BAC＝30°，故选B二、填空题7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形．【答案】DF∥AB【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为________．【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD中，AD=8，BE=3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，可证CD=CE=5，即可求解．【解析】∵在平行四边ABCD中，AD=8，∴BC=AD=8，AD//BC，∴CE=BC-BE=8-3=5，∠ADE=∠CED，∴DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE=5=AB，故答案为：5．9．如图，在中，的平分线交AB于点D，于点E．F为BC上一点，若，，则的面积为______．【答案】3【分析】在CA上截取CG＝CF，连接DG．根据题意易证，得出，．即可求出，．最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出．【解析】如图，在CA上截取CG＝CF，连接DG，∵平分，∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴，即．∵，∴．∴AE=EG，∴．故答案为：3．10．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解析】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，∵∠DBC＝∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DEAB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．【解析】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC=90°∠ABC，∴∠ADC+∠ABC=90°，∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠ADB=∠BDC，∴△ABD≌△BCD（ASA），∴AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，∴2∠BDC=∠BAC，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题13．如图，AC＝BC，∠1＝∠2，求证：OD平分∠AOB．【答案】见详解【分析】证明△ACO≌△BCO即可求证．【解析】证明：∵∠1=∠2，∠1+∠ACO=180°，∠2+∠BCO=180°，∴∠ACO=∠BCO，∵AC=BC，CO=CO，∴△ACO≌△BCO，∴∠AOC=∠BOC，∴OD平分∠AOB．14．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长．【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明，即得出，，从而可得出，点E为BD中点，从而可判定EF为的中位线，进而可求出EF的长．【解析】∵AE平分∴，．又∵AE=AE，∴(ASA)，∴，，∴，点E为BD中点．∵F是BC的中点，∴EF为的中位线，∴．15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由AB=AC，∠A=100°求出∠ABC=∠C=40°，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC=∠ABC=20°，根据BD=BE求出∠BED=∠BDE=80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC=40°，则∠EDC=∠C，从而证明ED=EC，即△CED是等腰三角形；（2）在BE上截取BF=BA，连结DF，先证明△FBD≌△ABD，则FD=AD，∠BFD=∠A=100°，可证明∠EFD=∠FED=80°，则AD=FD=ED=EC，即可证明BD+AD=BE+EC=BC．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=×（180°-100°）=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=20°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=×（180°-20°）=80°，∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴△CED是等腰三角形．（2）如图，在边上取点，使，在和中∵∴∴，，∴，∴∴∴∴．16．如图，AD为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______．(2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）(3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．【答案】(1)3；(2)CD=a－b；(3)=14【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；（2）利用ASA证明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再证明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到结论；（3）利用ASA证明△AGB≌△AGH，得出BG=HG，即可得出△ABC的面积．【解析】（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠CFA＝∠EFA，∵在△AEF和△ACF中，∴△AEF≌△ACF（ASA），∴AE＝AC＝5，∵AB=8，∴BE＝AB−AC＝8−5＝3，故答案为：3；(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ADE和△ADC中∴△ADE≌△ADC∴∠C=∠AED，DC=DE又∵∠C=2∠B，∠AED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴DE=BE，∴DC=DE=BE=AB－AE=AB－AC=a－b；(3)如图，分别延长AC，BG交于点H，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AG⊥BH，∴∠AGB=∠AGH=90°，∵在△AGB和△AGH中，∴△AGB≌△AGH，∴BG=HG，∴，又∵∴=14．17．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，．【思考说理】（1）求证：．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证即可求解；（2）在AB上截取CP=CD，分别证、即可求证；【解析】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴点F是的内心，∵，，∴，∵，，∴∴∴∵∴∴∴∴（2）如图，在AB上截取CP=CD，在和中，∵∴∴，∠CFD=∠CFP，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，∵∠B=60°，∴∠ACB+∠BAC=120°，∴∠CAD+∠ACE=60°，∴∠AFC=120°，∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，∵∠CFD=∠CFP，∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，在和中，∵∴∴FP=EF∴FD=EF．18．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线