汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试（一模）理科数学试卷（含答案）

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学(理科)(命题学校：城固县第一中学)本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<2-x<3},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}15iB.1515iB.15C.-1A.A.3.已知向量m=2λ,n=A.2B.4C.-2D.-2或44.已知一平面截某旋转体，截得的几何体三视图如图，则该截得几何体的体积为()A.1352A.1352C.13535.已知tanα=A.713B.11/13C.6.将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为()A.15B.310c.257.下列说法正确的是()理科数学第1页共4页

A.“a≥b”是“am²≥B.“x=kπ4,k∈C.命题“∃x0∈RD.“xy=1"是8.已知双曲线mx²+y²=1的一条渐近线的斜率为2，则mA.-4B.4C.-149.下列函数中，既是偶函数，又在区间(-∞，0)上单调递增的是()A.fx=2ˣ-2⁻ˣB.fx=x²-3C.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y=4sinωx+ω0,||<π2)的图象上，且图象过点A.-π3-π11.如图，已知抛物线Ey11.如图，已知抛物线Ey的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为()Λ.yΛ.y²=2xB.y²=412.已知函数fx=exx+k2x2-kx,A.-e24+∞第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.理科数学第2页共4页

13.已知(1+3x)ⁿ的展开式中含有x²项的系数是54,则n=.14.函数fx=log215.已知△ABC中,AB=3,AC=2,∠A=60°,则△ABC的外接圆面积为.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π的球面上，当正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足(a(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bₙ=-1ⁿaₙ+2ⁿ⁺¹,求数列{bn}18.(12分)佩戴头盔是一项对家庭和社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2019202020212022年度序号x1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程♂=bx+â，并估算该路口2023年不戴头盔的人数；(2)交警统计2019~2022年通过该路口的骑电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表.能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：bP(K²≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=理科数学第3页共4页

19.(12分)如图,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,点A₁在平面ABC上的射影为BC点A₁在平面ABC上的射影为BC边的中点O.(1)求证:平面AOA₁⊥平面BCC₁B₁;(2)求二面角(C-A20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的方程；(2)过点F(1，0)作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线(l₁,l₂,直线l₁与椭圆相交于A₁、B₁两点，直线l₂与椭圆相交于A₂、B21.(12分)已知函数f(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=m的根为x₁、x₂,且x₂>x₁,求证(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中曲线C₁的参数方程为x=cosα,y=1+sinα,(α为参数),M是(C₁(1)求C₂的参数方程:(2)在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y=33x与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，将曲线C₁23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|2x-1|+|x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥3;(2)若存在x∈R,使得f(x)≤|a-1|成立,求a的取值范围.理科数学第4页共4页

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ADCADCBACBBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.414.1115.⁷π/₃16.16三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据情况作答.(一)必考题:共60分.17.解:(1)设{an}公差为d,依题意得5aa1=2d=3所以(an=a₁+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,(n∈N).……………(6分)(2)因为b所以T2n=a=3×n+2218.解:1x=1+2+3+44∑∑i=14x∴∵y=b∴回归直线方程为y=-110x+1325,∴2023年不戴头盔的人数为:y=-110×5+1325=775人.………………(6分)(2)2×2列联表如下:

不戴头盔戴头盔总计伤亡不戴头盔戴头盔总计伤亡7310不伤亡132740总计203050…(8分)∴K2=50×7×27-3×13∴有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.…………(12分)19.(1)证明:因为ΔABC是边长为4的正三角形,BC边的中点O,所以BC⊥OA因为顶点A₁在平面ABC上的射影为0,所以OA₁⊥平面ABC,OA₁⊥BC.……(1分)因为OA₁⊂平面AOA₁,OA⊂平面AOA₁,OA₁∩OA=O,所以BC⊥平面AOA₁.…(3分)因为BC⊂平面BCC₁B₁,所以平面AOA₁⊥平面BCC₁B₁.…(4分)(2)以O为原点OA,OB,OA1分别为x因为△ABC是边长为4的正三角形，O为BC边的中点，所以OA在直角三角形OAA₁中OA1=AA所以O(0,0,0),A(23,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A₁(0,0,6).……(6分)所以AB在三棱柱ABC-A₁B₁C同理求得：C所以A设㎡=(x,y,z)为平面OA₁B₁的一个法向量,π为平面CA₁B₁的一个法向量.因为⋅m=0,OA1⋅m=0,,即-23x+2y同理可求n=13-设θ为二面角(C-A₁所以cos即二面角C-A₁B₁-O的余弦值为

20.解:(1)由题意可得1a2+24b2=1,……(4分)(2)设直线l₁的方程为x=ty+1(t≠0),联立x得:设A₁y1+y2稀子常数=✔(t²+1)(y₁-y₂)=vt+1.✔(y₁+y₂)=4y1y2=t2+1⋅同理可得|A2B2J|SJ|……(11分)当且仅当2t²+1=t²+2,即t所以四边形A₁A₂B₁B₂的面积S的最小值为169.……(1221.解:(1)因为f所以gx=2lnx-x+1g'x=2所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,即g(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间；………(4分)(2)f(x)=xlnx,f'(x)=1+lnx,当0<x<1e时f'(x)<0,当所以f(x)在(0,16)上是单调递减，在(1e+∞上单调递增，则f当00<x1<1e<x2当x∈01e时,lnx<-1,所以xlnx<-x,设直线y=-x与y=m的交点的横坐标为x₃,则x₁<x₃=-m=-下面证明当x∈1e设hmx=lnx当1e<x<1e-1时,m'(x)所以m(x)在(1e1e-1又因为m1e=0,m1=0,所以当故当x∈1e设直线y=1e-1x-1与y=m的交点的横坐标为所以x₂-x₁>x₄-x₃=1+(二)选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.(1)设P(x,y),由于P点满足(OP=3OM,所以Mx由于点M在C₁上，所以x3=cosα整理得C₂的参数方程x=3cosα,y=3+3sinα,(2)曲线C₁的参数方程转换为极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C₂的参数方程转换为极坐标方程为ρ=6sinθ，直线y=33x转换为极坐标方程为(θ=所以ρ=2sinθ同理ρ=6sinθ,θ=π6,故|AB|=|ρA-23.(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+|x+1|≥3x≥12,2x-1+……(3分)

即x≥12,x≥1,