辽宁省抚顺市抚顺县2019年中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题（每道题3分，满分30分）1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数4．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A． B． C． D．5．下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣3）＝0 D．＝26．对于二次函数y＝﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点7．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．510．（3分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＜0；④c﹣a＝3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）11．方程x2﹣x＝0的根是．12．已知⊙O的半径为6，A为线段OP的中点，当OP的长度为10时，点A与⊙O的位置关系为．13．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为．14．从1，2，3，4四个数中任取一个数作为AC的长度，又从4，5中任取一个数作为BC的长度，AB＝6，则AB、AC、BC能构成三角形的概率是．15．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是．16．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是．17．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画半圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4，由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3；…按此做法进行下去，其中S2018的面积为三、解答题（本题共2道题，第19题10分，第20题12分，满分22分）19．（10分）解方程：（1）3x2﹣6x﹣2＝0（2）x2+5x﹣4＝020．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：（1）△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并直接写出点C的对应点C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点A旋转至A2经过的路径长．四、（本题共2个小题，每道题12分，满分24分）21．（12分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．22．（12分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．五、（本题满分12分）23．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？六、（本题满分12分）24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E．（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC＝3，BC＝5，求BE的长．七、（本题满分12分25．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？；（直接写出结果）（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）①当BD为何值时，∠DEC＝30°；（直接写出结果）②点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．八、（本题满分14分）26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．

辽宁省抚顺市抚顺县2019年中考数学一模试卷参考答案一、选择题1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y＝ax2与开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y＝ax2与开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．4．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A． B． C． D．【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．解：画树状图如下：一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，所以，P（恰有两只雄鸟）＝．故选：B．【点评】本题用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣3）＝0 D．＝2【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可．解：A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程；B、移项合并同类项后未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；C、方程可整理为x2﹣4x+3＝0，所以是一元二次方程；D、不是整式方程，所以不是一元二次方程；故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，注意有的方程需要整理成一元二次方程的一般形式后再进行判断．6．对于二次函数y＝﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．7．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤【分析】先根据判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．解：根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，解得k≤．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．5【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＜0；④c﹣a＝3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故②正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：C．【点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）11．方程x2﹣x＝0的根是x1＝0，x2＝．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．解：方程分解得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x1＝0，x2＝，故答案为：x1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．已知⊙O的半径为6，A为线段OP的中点，当OP的长度为10时，点A与⊙O的位置关系为点A在圆内．【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，求出点A与圆的位置关系．解：∵OP＝10，A是线段OP的中点，∴OA＝5，小于圆的半径6，∴点A在圆内．故答案为：点A在圆内．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA＝5，小于圆的半径，可以确定点A的位置．13．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为＝15．【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程．解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，即＝15，故答案为：＝15【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．14．从1，2，3，4四个数中任取一个数作为AC的长度，又从4，5中任取一个数作为BC的长度，AB＝6，则AB、AC、BC能构成三角形的概率是．【分析】根据题意画出树状图，再利用三角形三边关系得出符合题意的个数，进而求出答案．解：如图所示：，一共有8种可能，只有6，4，3；6，4，4；6，5，2；6，5，3；6，5，4这5种可以组成三角形，故AB、AC、BC能构成三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及三角形三边关系，正确列举出所有的可能是解题关键．15．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是180°．【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．解：∵圆锥底面半径是3，∴圆锥的底面周长为6π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，＝6π，解得n＝180．故答案为180°．【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．16．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是：2．【分析】首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出EC的长，进而得出圆的内接正三角形的边长．解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，设圆的外切正方形的边长为a，则CO＝BC＝，∠OCE＝30°，∴CE＝cos30°＝，∴这个圆的内接正三角形的边长为：2EC＝，∴：a＝：2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，熟练应用正三角形的性质得出是解题关键．17．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为PB+PC＝PA．【分析】如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F，证明Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），可得BF＝CE，证明Rt△APF≌Rt△APE（HL），可得PF＝PE，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．∵BC是直径，∴∠BAC＝∠EPF＝90°，∵AB＝AC，∴＝，∴∠APF＝∠APC，∵AE⊥PC，AF⊥PF，∴AE＝AF，∵∠F＝∠AEC＝90°，∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），∴BF＝CE，∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），∴PF＝PE，∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，∵∠APC＝∠ABC＝45°，∴△APE是等腰直角三角形，∴PA＝PE，∴PE＝PA，∴PB+PC＝PA．故答案为PB+PC＝PA．【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画半圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4，由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3；…按此做法进行下去，其中S2018的面积为﹣42016【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3…，得到P1O1＝O1O2，根据已知条件得到∠P1OO1＝30°，根据圆周角定理得到∠P1OO1＝60°，得到△O1P1O2，是等边三角形，求得△O1P1O2的面积＝，于是得到S1＝S﹣S＝﹣＝π﹣，同理S2＝π﹣，S3＝π﹣4，S4＝﹣16，推出Sn＝π﹣4n﹣2，于是得到结论．解：连接P1O1，P2O2，P3O3…，∵P1是⊙O1上的点，∴P1O1＝O1O2，∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝30°，∴∠P1OO1＝60°，∴△O1P1O2，是等边三角形，∴△O1P1O2边长＝1，∴△O1P1O2的面积＝，∴S1＝S﹣S＝﹣＝π﹣，同理S2＝π﹣，S3＝π﹣4，S4＝﹣16，∴S∴Sn＝π﹣4n﹣2，∴S2018的面积＝π﹣42016，故答案为：π﹣42016．【点评】本题考查了扇形面积的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．三、解答题（本题共2道题，第19题10分，第20题12分，满分22分）19．（10分）解方程：（1）3x2﹣6x﹣2＝0（2）x2+5x﹣4＝0【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）△＝52﹣4×（﹣4）＝41，x＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解方程．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：（1）△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并直接写出点C的对应点C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点A旋转至A2经过的路径长．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后利用弧长公式计算点A旋转至A2经过的路径长．解：（1）如图，△A1B1C1为所作：点C1的坐标为（1，﹣3）；（2）如图，△A2B2C2为所作；OA＝＝，∴点A经过的路径长为＝π．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．四、（本题共2个小题，每道题12分，满分24分）21．（12分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数．（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案；（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%＝100人喜欢用QQ沟通所占比例为：＝，∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°（2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%＝40%∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%＝600人（4）列出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝故答案为：（1）100；108°【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型．22．（12分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1﹣x），12月份的房价为14000（1﹣x）2，然后根据12月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1﹣x），12月份的成交价是：14000（1﹣x）2∴14000（1﹣x）2＝11340，∴（1﹣x）2＝0.81，∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：11、12两月平均每月降价的百分率是10%；（2）会跌破10000元/m2．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000．由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．五、（本题满分12分）23．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y＝4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．六、（本题满分12分）24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E．（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC＝3，BC＝5，求BE的长．【分析】（1）过Q作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DA＝DF，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB＝＝4，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝3，求得BF＝2，根据切割线定理即可得到结论．解：（1）直线BC与⊙D相切，理由：过D作DF⊥BC于F，∴∠CFD＝∠A＝90°，∵CD平分∠ACB，∴DA＝DF，∴直线BC与⊙D相切；（2）∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5，∴AB＝＝4，在Rt△ACD与Rt△FCD中，∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），∴CF＝AC＝3，∴BF＝2，∵BF是⊙D的切线，∴BF2＝BA•BE，∴BE＝＝＝1．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．七、（本题满分12分25．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？等边三角形；（直接写出结果）（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）①当BD为何值时，∠DEC＝30°；（直接写出结果）②点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，结合图形计算即可；（3）①分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据△ABD≌△ACE得到CE＝BD，根据垂线段最短解答．解：（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）AC+CD＝CE，证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；（3）①BD为2或8时，∠DEC＝30°，当点D在线段BC上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，∴∠AEC＝90°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝2，当点D在线段BC的延长线上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，∴∠AEC＝30°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝30°，又∠B＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝8，∴BD为2或8时，∠DEC＝30°；②点D在运动过程中