对数与对数的运算

2.2.1对数与对数运算第二章基本初等函数（Ⅱ）

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。“给我空间、时间、及对数，我就可以创造一个宇宙”

——伽利略

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

一般地，如果(a＞0,a≠1)的x次幂等于N，就是ax＝N

，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaN＝x.ax＝N

logaN＝x.a叫做对数的底数，N叫做真数。对数的概念对数式与指数式的互化ax＝N

logaN＝x.指数式对数式a幂底数对数底数x指数对数N幂真数两类对数以10为底的对数称为常用对数，log10N常记为lgN.lg10=1以无理数e＝2.71828……为底的对数，叫自然对数，logeN常记为lnN.lne=1例1

将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：例题讲解结论：1）底数a的取值范围：2）真数N的取值范围:思考：在对数式b=logaN中a,b,N的取值范围分别是？3）对数b的取值范围:bNNaab=Û=log结论：零和负数没有对数求使有意义的a的取值范围例题讲解巩固练习注意到x既存在于底数中，又存在于真数中，解答本题结合对数的概念，应考虑其各自的要求解出x满足的条件.对数的性质思考1.a0=1,a1=a如何转化为对数式?loga1=0logaa=12.零和负数有没有对数?负数与零没有对数3.根据对数的定义,

?例3

求下列各式中的x的值.例题讲解巩固练习求下列各式中的x的值.对数的性质思考根据对数的定义,

?积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a

1，M>0，N>0

有：为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数运算法则：证明：①设由对数的定义可以得：∴MN=即证得证明：②设由对数的定义可以得：∴即证得证明：③设由对数的定义可以得：∴即证得上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式

③真数的取值范围必须是④对公式容易错误记忆，要特别注意：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式

③真数的取值范围必须是④对公式容易错误记忆，要特别注意：【错解】

D【正解】

A例题讲解例5、解（1）

用表示下列各式：

（2）例题讲解例6、解方程：log2(9x-5)=log2(3x-2)+2例题讲解巩固练习探究

换底公式：如何推导？证明：(请记住)例7、计算例题讲解巩固练习例8、已知log189=a，18b=5，求log3645例题讲解练习(1)已知log34log48log8m=log42,

求m的值;

(2)已知lg2=a,lg3=b,求lg75的值;

(3)设3a=5b=m,且例9、若a，b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根，求lg(ab)(logba+logab)的值例题讲解巩固练习解方程：(lgx)2+lgx3-10=0例10、已知x,y,z为正数，3x=4y=6z求x：y：z例题讲解例11、光线每透过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的