2023版 大一轮 数学 人教A版 新教材（京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙）第9节　函数模型及其应用

第9节函数模型及其应用

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

L指数、对数、器函数模型性质比较

数y=axy=log„xy=x!'

(«>1)3D(心0)

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表随n值变化

图象的变化

现为与y轴平行现为与X轴平行而各有不同

值的比较存在一个xo,当x>xo时，有logoxvfva"

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数，aWO)

二次函数模型fix)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,aWO)

与指数函数相关的

J(x)=bax+c(a,b,c为常数，o>0且aWl,bWO)

模型

与对数函数相关的

/(x)=Z4og“x+c(a,b,c为常数，a>0且aWl,b#0)

模型

与幕函数相关的模

f(x)=ax',+b{a,b,n为常数，a#0)

型

常用结论与微点提醒

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越

来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“义”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若

按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y=2,的函数值比y=/的函数值大.()

(3)不存在配，使/°<X(<log„xo.()

(4)在(0,+8)上，随着x的增大，>的增长速度会超过并远远大于丁=

力”>0)的增长速度.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

9

解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X证=99(元).

二每件赔1元，(1)错误.

(2)中，当x=2时，2x=f=4.不正确.

(3)中，如a=xo=T，〃=；,不等式成立，因此(3)错误.

2.(多选题)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法

中正确的是()

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

答案ABC

解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：

1,故A正确；

由题图可知，7月份的结余最高，为80—20=60(万元)，故B正确；

由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故

C正确；

由题图可知，前6个月的平均收入为上乂(40+60+30+30+50+60)=45(万元),

故D错误.

3.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一

半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之

一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性

探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃个“半衰期”后的

含量为目，由旧<丁篇，得心W

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经

过10个“半衰期”.

4.(2020•西安一中月考)已知左)=/,g(x)=2x,/?(%)=logzx»当xG(4,+8)时,

对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A危)>g(x)>〃(x)B.g(x)次x)>〃(x)

C.g(x)>%(x)次x)D麻)>〃(x)>g(x)

答案B

解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x£(4,+8)时，增长速度

大小排列为g(x)>/(x)>/?(x).

5.(2020・全国川卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有

学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数7(/)(/的单位：天)的

Logistic模型：/(f)=]+eo£「5子，其中K为最大确诊病例数.当/(f*)=0.95K时，

标志着已初步遏制疫情，则/*约为（In19心3）（）

A.60B.63C.66D.69

答案C

KK

=

解析因为/«）=]+c。-23-53：，所以当/（r）=0.95K时,!_!_c（）,23'/*S3'

0・95长=讦岛广布=0-95=1+e"3"*F）=康高一

*In19

e023（，-53）=]9=0.23（「一53）=ln190/*=万元+53心万天+53-66.故选C.

6.（2019•北京卷）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、

京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加

销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少

付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,

则x的最大值为.

答案⑴130⑵15

解析（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80=140（元），超过了

120元可以优惠，所以当x=10时,顾客需要支付140—10=130（元）.（2）由题意知，

当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优

惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付

的金额为（120—x）元，所以（120—X）X80%2120X0.7,所以xW15.即x的最大值

为15.

考点一利用函数的图象刻画实际问题

1.（多选题）（2021・青岛质检）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质

量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）

的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较

平稳

答案BCD

解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.

其余全部正确.

2.（多选题X2020•北京卷改编）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关

企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量少与时

间,的关系为%=/⑺，用的大小评价在［。，们这段时间内企业

污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系

如图所示.

A.在口1,勿这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强

B.在介时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强

C.在“时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标

D.甲企业在［0,3，山，口，口2,用这三段时间中，在［0,用的污水治理能力

最强

答案ABC

解析―，表示在[圆切上割线斜率的相反数，越

大治理能力越强.

对于A,在山，句这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企

业的污水治理能力比乙企业强，正确；

对于B,要比较/2时刻的污水治理能力，即看在/2时刻两曲线的切线斜率，切线

斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在f2时刻，甲企业的污水治理能力比

乙企业强，正确；

对于C,在73时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；

对于D,甲在[力，句这段时间内的污水治理能力最强，错误.

3.（2020・武汉调研）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长

规律，统计显示，生长4年的树高为;米，如图所示的散点图，记录了样本树的

生长时间（年）与树高兴米）之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：®y=

2'—a；②y=a+log2f；③_y=，+a；@y=\[t+a中（其中a为正的常实数），拟合

生长年数与树高的关系最好的是（填写序号），估计该树生长8年后的树

高为米.

y

4

3.­

2-••・

1*,

­Q]~1234567/

5但公10

答案②?

解析由散点图的走势，知模型①不合适.

曲线过点（4,3，则后三个模型的解析式分别为②y=g+iog2f；③歹=»+*®y

=3+g，

4

当f=l时，代入④中，得歹=），与图不符，易知拟合最好的是②.

将/=8代入②式，得夕=；+log28=¥（米）.

感悟升华1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化

快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，

选出符合实际情况的答案.

2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

考点二已知函数模型的实际问题师生共研

【例1】（2020•新高考山东卷）基本再生数治与世代间隔T是新冠肺炎的流行病

学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间

传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/«）=e"描述

累计感染病例数/⑺随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率r与凡，丁近似

满足Ro=l+/T.有学者基于已有数据估计出R）=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎

疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（In2心0.69）（）

A.L2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+",Ro=3.28,7=6,

Ro~13.28—1

得r=T-6-=0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍，则/（切=2/（九），

即e°-38/2=2e°-38,i,所以e°38c2-《）=2,即0.38也-a）=ln2,

.In20.69…

=038%038^-8,

故选B.

感悟升华1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【训练1】（2020・广州模拟）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每

生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K（。）

=40。一加2,则总利润攻）的最大值是万元.

答案2500

解析总利润£（0）=40。一如＞100—2000=-^+300-2000=一点（0

-300/+2500,则当0=300时，£（0）的最大值为2500万元.

考点三构建函数模型的实际问题

角度1构建二次函数模型

【例2】某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为火％（即每销

售100元征税R元），若每年销售量为（30一（勾万件，要使附加税不少于128万

元，则R的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根据题意，要使附加税不少于128万元，

需（30一|火卜160XR%2128,

整理得火2—12R+32W0,解得4WHW8,即火G[4,8].

角度2构建指数（对数）型函数模型

[例3]（1）（2021•青岛检测）一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年

就有加勺质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数

是（）

A.6B.5C.4D.3

答案C

解析设这种放射性物质最初的质量为1,经过x（xdN）年后，剩余量是八则有

T）•

依题意得w志.

则2Z<2100,解得x24.

所以至少需要的年数是4.

（2）（2021•唐山联考）尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，

已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级

M之间的关系为lg£=4.8+1.5".

①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5

级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为

“破坏性地震”，若某次地震释放能量约ion焦耳，试确定该次地震的类型；

②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本

地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？（取也=3.2）

解①该次地震释放能量约10口焦耳，即£=1012代入lg£=4.8+L5M,化简得

lgIO」-4.812-4.8

M=1.5=1.5=4区

因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.

②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为为，历.

由题意知,1g£1=4.8+1.5X8=16.8,lg£2=4.8+1.5X9=18.3,

183

即昂=1016.8,£2=10-,

所以占=10。5=取45=3.2,得告=32.

故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.

感悟升华1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数

学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角

发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论.

2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数

据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数

的互化.

【训练2】（1）某汽车销售公司在/,8两地销售同一种品牌的汽车，在〃地的

销售利润（单位:万元）为川=4.1一0.1f,在8地的销售利润（单位：万元）为H

=2x,其中x为销售量（单位:辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，

则能获得的最大利润是（）

A.10.5万元B.11万元

C.43万元D.43.025万元

答案C

解析设在4地销售该品牌的汽车x辆，则在8地销售该品牌的汽车（16—x）辆，

所以可得利润

y=4.lx—0.lx2+2（16—x）=-0.1x2+2.lx+32

=-0.1(X-10.5)2+0.1X10.52+32.

因为x£[0,16]且xCN,所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元.

(2)(2021・贵阳调研)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面

积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，

森林面积至少要保留原面积的;，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的学.

①求每年砍伐面积的百分比；

②到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解①设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<l),

则a(l—x)io=1a,即(1—x)io=；,

1

解得x=i-(wy°.

1

故每年砍伐面积的百分比为1—

②设经过m年剩余面积为原来的竽，

1

贝。(1一幻"'=乎。，把x=l—代入，

即缶=看解得w=5.

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一'选择题

1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列

四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.J；=2（X2-1）

C.y=logMD/=log[X

答案B

解析由题中表格可知函数在（0,+8）上是增函数，且y的变化随x的增大而增

大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

2.（2020•武汉联考）如图，矩形花园Z8CD的边N8靠在墙P0上，j

A___________,D

另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙r

足够长，则围成该花园所需要篱笆的（）

A.最大长度为8米8-------------1c

B.最大长度为4啦米

C.最小长度为8米

D.最小长度为4啦米

答案D

解析设8C=a米，米，则而=4,

所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a+b=2a+522y2〃弓=4啦，

当且仅当2。=今即。=啦时取等号.

故篱笆最小长度为4啦米.

3.（多选题）（2021・济南质检）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方

向运动，它们的路程/（x）（i=l,2,3,4）关于时间x（x》0）的函数关系式分别为力⑴

=2'—1,fl（x）=x2,力（x）=x,74（x）=log2（x+l）,则下列结论正确的是（）

A.当x>l时，甲走在最前面

B.当x>l时，乙走在最前面

C.当0<x<l时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

答案CD

解析甲、乙、丙、丁的路程/（x）（i=l,2,3,4）关于时间x（xN0）的函数关系式

分别为f\（x）=2¥—1,./2（x）=x2,fi（x）=x,,/4（X）=log2（X+1）,它们对应的函数模型

分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.

当x=2时，力(2)=3,/(2)=4,所以A不正确；

当x=5时，力(5)=31,力(5)=25,所以B不正确；

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x=l时，

甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<l时，丁走在最前

面，当x>l时，丁走在最后面，所以C正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定

是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.

4.(2020•青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,

如图I,为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形

铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形

的两边长x,y应分别为()

A.x=15,y=12B.x=12,y=15

C.x=14,y=10D.x=10,y=14

答案A

解析由三角形相似得万丁=而

〃5

付x=4（24—y）,

所以S=xy=—12）2+180,

所以当y=12时，S有最大值，此时x=15.检验符合题意.

5.(2021・武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)

X

与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)=91g»；n.13一般两人小声交谈时，声音的

等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB,那么

老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()

A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍

答案B

解析设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为阳W/n?,

X2W/m2,

根据题意得d(xi)=91g［、［仆13=63,解得xi=106,

1入iu

d(X2)=9岛x?-13=54,

解得X2=10-7,所以尸'=10,

X2

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.

6.(2019•全国II卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球

背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的

一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四

号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日上点的轨道运行心点是平衡点，

位于地月连线的延长线上.设地球质量为Mi,月球质量为%,地月距离为七七

点到月球的距离为心根据牛顿运动定律和万有引力定律，尸满足方程：

M\M2

(R+r)2+r-(R+〃)R3.

设a=/由于a的值很小，因此在近似计算中一•裂3a3,则尸的近似值

R(1+a)

为()

A帮RD.^J^R

答案D

解析由a=,得r=aR,

ZK、MM2.M\

代入与+1产'工+了=(火+')/'

36c3+3a4+a5M2

整理得一(1+a)2=痂

又为(：妥；*即3a3心聋，所以a心

故2底离艮

二'填空题

7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某

品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=ay[A（a为常数），广告

效应为。那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应

为.（用常数a表示）.

答案（"2

解析令/=爪（。0）,则〃=户,

.'.D=at—t2=—

.,.当即/=宗时，0取得最大值.

8.（2020・辽宁协作校模拟）考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大

致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14,从而其体内的碳14含量会保

持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14,其体内的碳14含量

就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时

碳14的含量为1,如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与

x的关系可以表示为.

答案嬴

解析依题意，设，

小5730a

当x=5730时，y=T，即3=（1），

因此。=丁*,故y=（，5730.

9.（2021・重庆调研）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研『/（mg/m，）

究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量兴mg/m3）与时间'7k

[kt,0</<|,0||九

/（h）的函数关系式为]]（如图所示），实验表明，

II?与

当药物释放量产0.75（mg/m3）时对人体无害.求：⑴仁；（2）为了不使人

身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过

分钟人方可进入房间.

答案（1）2⑵40

解析（1）由题图可知，当时，N=l，

即-号=1=＞左=2.

左X]

产2

（2）由题意可得〈]解得信，

片＜0.75,

故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后

2

至少经过1X60=40（分钟）人方可进入房间.

三'解答题

10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现,

该种鸟类的飞行速度。（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为o=a+blog3m（其

中a,b是实数）.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量

为90个单位时，其飞行速度为1m/s.

⑴求出a,b的值；

（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个

单位？

解（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s,此时耗氧量为30

个单位，

30

故有a+610g3而=0,即a+b=0.

当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s,

90

故有a+Z40g3m=1，即a+2b=l.

a+h=0,1,

解方程组得

a^rlb—1,b=l.

即a,b的值分别为和1.

(2)由⑴知,0=-l+log3告.

所以要使飞行速度不低于2m/s,则有

故一1+10都含22,解得0N27O.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270

个单位.

11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享

单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少

要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益尸与投入单位：万元）满足

fl

l,_〃+2，80WaW120,

2=中伍一6,乙城市收益。与投入a（单位:万兀）满足Q=y

、32,120<a<160,

设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为外）（单位：万元）.

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

解（1）当x=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，

所以/（128）=4X=2X128-6+；X112+2=88（万元）.

因此，此时公司的总收益为88万元.

（2）由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资（240—乃万元，

|%280,

依题意得“八、。八解之得80Wx<160,

[240-x280,

当80Wx<120,即120<240-x^l60时，

危）=4/-6+32=4叵+26<26+16VB.

当120WxW160,即80W240—xW120时,

/（x）=4y[2x—6+1（240—x）+2

=-^x+4"^2x+56.

令尸正，则出[2而，45],

所以y=—（P+4啦f+56=—8啦>+88.

当尸8&,即x=128时，y取最大值88.

因为88-(26+16V15)=2X(31-8V15)>0,

故小)的最大值为88.

因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收

益为88万元.

B级能力提升

12.(多选题)(2021•威海调研)小菲在学校选修课中了解到