图形变换及显示-计算机图形学-课件-北京工业大学-05

第五章图形变换及显示1为什么要进行图形变换光栅图形工程师绘图工程师甲工程师乙图形定义空间:屏幕？？？的解决：图形变换2几何变换基础：齐次坐标(homogeneouscoordinate)3续:xyW

例:在XYW

齐次坐标空间中,点P(X,Y,W)在

W=1平面上的投影是(X,Y)

P43D变换的代数表示5矩阵表示引入齐次坐标后[0001]6坐标系固定，图形变换说明：变换的两种实现方式图形固定，坐标系变换在固定坐标系下对点集的变换，等价于对该坐标系进行相应的逆变换7续

证明：假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵T1，变换前后的点集记为A，B.则

B=AT1,.若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为X和X’）表示图形即BX’=AX,

因此，

X’=T1-1X8本章内容二维几何变换二维观察流程三维几何变换投影变换三维显示流程如何使用户坐标系下定义的图形在屏幕上显示出来9第一节二维几何变换平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换复合变换坐标系变换变换的光栅方法10变换的表示:变换矩阵旋转、比例、错切平移整体比例投影11平移变换（1）平移指将物体沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位，即平移变换效果演示该式可写成向量形式：12平移变换（2）采用齐次坐标方式描述为：称为平移矩阵。其中：13平移变换（3）图形的平移：刚体变换物体上各点做同样的平移操作图形关键点的平移及图形重定义逆变换：14旋转变换（1）二维旋转是将物体沿平面内的圆弧路径重定位。旋转变换效果演示需要指定旋转角和旋转基准点的位置：旋转角的正值定义基准点逆时针旋转负值则以顺时针方向旋转物体默认情况下以坐标原点为旋转基准点15绕坐标原点的旋转变换（2）使用齐次坐标表示为：其中：称为旋转变换矩阵逆变换:16绕任意基准点的旋转变换（3）17图元的旋转变换（4）旋转变换是刚体变换图元上各点旋转同样角度：旋转定义点并重定义图元18缩放变换（1）缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。变换的表达式为：缩放效果演示其中sx,sy

称为缩放系数，可取任何正数;S称为缩放矩阵。19缩放变换（2）缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示缩放比例不同，定位距离也不同当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；当时，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。20指定缩放固定点的缩放变换（3）缩放固定点：缩放后不改变位置的点，记为由平移变换、相对于原点的缩放及逆平移变换复合而成21指定缩放固定点的缩放变换（4）变换公式为：22图元的缩放变换（5）多边形缩放顶点，由新顶点定义多边形圆（中心对称图形）缩放半径，并在原圆心绘制圆给定定义参数的图形对定义参数进行变换并重定义图元23反射变换（1）是产生物体镜象的一种变换，也称为对称变换。变换的一般形式为：24反射变换（2）关于X轴的反射变换：a=1，b=d=0，e=-1；25反射变换（3）关于Y轴的反射变换：a=-1，b=d=0，e=1；26反射变换（4）关于原点的反射变换：a=-1，b=d=0，e=-1；等价于绕原点进行180度的旋转变换。27反射变换（5）关于x=y轴的反射变换：a=e=0，b=d=1；关于x=-y轴的反射变换：a=e=0，b=d=-1；28反射变换（6）关于任意轴的对称变换29错切变换（1）定义：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。变换矩阵的一般形式b=0或者d=030错切变换（2）相对于X轴的错切:b=0错切效果图依赖轴方向轴X方向的错切效果演示31错切变换（3）相对于y=Yref的错切错切效果图32错切变换（4）相对于Y轴的错切:d=0错切效果图Y方向的错切效果演示33错切变换（5）相对于x=Xref的错切错切效果图34复合变换可由其它变换组合实现的变换如：关于任意点的旋转由平移、绕原点的旋转及平移变换合成得到。一种非常有效的构造变换的方式复合变换的数学表达等同于矩阵乘法利用矩阵乘法结合率可带来计算效率的改进注意：矩阵复合顺序35坐标系变换（1）目的：把已定义的图形变换到新的坐标系下实现：直接指定新坐标系定义新坐标系的Y方向36坐标系变换（2）直接指定新坐标系时：利用变换复合实现坐标系变换(x0,y0)(1)坐标系的平移：T（-x0，-y0）(2)坐标系的旋转：R(3)单位长度变换(4)以上变换合成（注意顺序）37坐标系变换（3）变换矩阵为：38坐标系变换（4）定义新坐标系的Y方向时Y轴单位化：(x0,y0)(x1,y1)X轴的定义：变换矩阵：39变换的光栅方法利用硬件实现上述坐标变换的方法。如平移变换：块操作可由图形加速卡实现。GPU编程可实现更多的图形操作。40小结：变换类型变换的表示：齐次坐标，变换矩阵变换的复合坐标系的变换41作业：证明：平移和旋转变换具有可加性，即求关于对称轴的对称变换。42第二节二维观察流程43相关概念（1）用户域WD连续且无限窗口区W矩形、可嵌套用户坐标系WC世界坐标系右手直角坐标系44相关概念（2）屏幕域设备输出图形的最大可用区域视图区定义图形在输出设备上的显示位置及大小可嵌套屏幕坐标系（规格化）设备坐标系的统称设备坐标系：以象素为单位规格化设备坐标系：[-1，1][-a，a]45观察参考坐标系VC相关概念（3）46二维观察流程（1）工程师甲工程师乙模型坐标系模型坐标系世界坐标系窗口区观察坐标系规格化设备坐标系视图区屏幕坐标系47二维观察流程（2）在模型坐标系下定义物体，并置于世界坐标系中定义观察参考坐标系选择观察点（观察坐标系原点）选择观察方向（观察坐标系Y轴方向）世界坐标系到观察参考坐标系的变换指定观察窗口（裁剪）窗口到视区的变换规范化设备坐标系到设备坐标系的变换48窗口到视区的变换（1）49窗口到视区的变换（2）定义缩放因子：平移距离：得到线性变换公式：50规范化设备坐标系到设备坐标系的变换规范化设备坐标系：[-1，1][-a，a]设备坐标系：[0，M-1][0，N-1]考虑其离散性：[-0.5，M-1.5][-0.5，N-1.5]线性变换公式同前：其中：51小结:二维观察变换流程图+裁剪工作扫描转换图形52第三节三维几何及建模变换三维图形的几何变换及其矩阵表示平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换物体在不同坐标系之间的建模变换53三维代数空间定义基底：任意矢量：定理:三维空间中任意矢量可唯一地表示为其基底的线性组合54三维几何变换固定坐标系下的几何变换(以旋转变换为例)几何图形表示代数表示XZY55三维几何变换的代数表示56三维几何变换的矩阵表达式引入齐次坐标后可表示为：57平移变换（1）58平移变换（2）记为：其中三维平移变换矩阵：59平移变换（3）点的平移图形的平移60缩放变换（1）相对于原点进行的缩放变换矩阵记为：61缩放变换（2）相对于任意点的缩放设缩放参考点为：则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换62缩放变换（3）即：63缩放变换（4）64旋转变换（1）由旋转轴和旋转角度确定二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转记为：XYZ65以X为轴的旋转变换（1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[y,z,x]坐标系,变换矩阵为：66以X为轴的旋转变换（2）记为：YZX67以Y为轴的旋转变换（1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[z,x,y]坐标系，变换矩阵为：68以Y为轴的旋转变换（2）记为：注：相反角度的旋转实现其逆变换ZXY69绕任意轴的旋转变换（1）旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现：经复合变换使旋转轴与坐标轴重合绕指定轴进行旋转变换还原坐标系YZXP1P270绕任意轴的旋转变换（2）（1）平移使P1与坐标原点重合不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c)71XYZOP1P2X´Y´Z´72XYZX´Y´Z´O绕任意轴的旋转变换(3)（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上73XYZX´Y´Z´O

74XYZX´Y´Z´O

75XYZX´Y´Z´O

76XYZX´Y´Z´O

77XYZX´Y´Z´O

78XYZX´Y´Z´O

79XYZX´Y´Z´O

80此时P2点为(a,0,d)变换矩阵为81绕任意轴的旋转变换（4）（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合XYZX´Y´Z´O

82绕任意轴的旋转变换（5）83XYZX´Y´Z´O84绕任意轴的旋转变换（5）（4）绕Z轴即指定旋转轴旋转指定角度85绕任意轴的旋转变换（6）（4）坐标系还原上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：86对称变换（1）是关于某个对称轴或对称平面进行的关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：考虑：关于任意轴的对称变换87对称变换（2）当反射平面是坐标平面时，等同于进行左、右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：88对称变换（3）关于任意平面的反射可以分解为平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标平面重合）关于坐标平面的反射逆变换89错切变换依赖轴：对应坐标保持不变方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化变换表达式分别是：90建模变换（1）实现两个不同坐标系之间的转换新坐标系定义方式如右图所示：XYZX’Y’Z’91建模变换（2）可由线性代数方法得到建模变换公式：（即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的表示矩阵的逆矩阵）当坐标系使用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。92建模变换的合成方法（3）可由以下变换复合得到同样结果：平移：使两坐标系原点重合绕X轴旋转：使Z’轴落在XOZ面上；绕Y轴旋转：使Z’轴与Z轴重叠；绕Z轴旋转：使X’轴与X轴重叠；93矩阵乘法运算的实现注意：94小结单个坐标系下的几何变换平移缩放旋转反射错切建模变换95作业：利用变换复合方法推导建模变换矩阵。96第四节投影变换

Projections从三维图形到二维图形的变换97投影的定义概念：把n

维空间中定义的点变换到小于n

维的空间中的变换3D物体的平面投影：过投影中心向物体上的各点发出射线(投影线)投影线与投影平面相交交点构成物体的投影98投影分类投影中心与投影平面的距离是有限的无限的A’B’AB

投影中心投影线投影平面A’B’AB投影中心投影线投影平面平行投影透视投影99两种投影方式的比较共同点：投影中心落在无穷远点的透视投影即变为平行投影

不同点：透视投影的结果看起来真实感强透视投影不能忠实体现物体的形状及尺寸距离、角度、平行关系发生在投影前后发生变化100平面几何投影的分类平面几何投影平行投影透视投影

正平行投影斜平行投影

顶视图

(俯视图)前视图侧视图轴测平行投影(Axonometric)等轴测平行投影(Isometric)其它其它斜二测(Cabinet)斜等测(Cavalier)

一点透视One-point三点透视Three-point二点透视Two-point投影平面&投影方向投影平面&投影中心101透视投影定义：投影中心与投影平面距离为有限远（此时投影线汇聚于投影中心）特点：真实感强近大远小平行线经投影后汇聚于一点灭点：任何一束不平行于投影平面的平行线的透视投影（或其延长线）将汇聚于一点，称为灭点。102续：主灭点由平行于坐标轴的平行线对应的灭点称为主灭点分类：一点透视；两点透视；三点透视投影103例：一点透视投影立方体投影到垂直于z

坐标轴的投影平面上

xzy投影中心投影平面法向投影平面104xyz111ABCDEFGH立方体的1点透视投影(a)立方体xy0.51.01.50.51.01.5A'B'C'D'H'F'E'G'(b)立方体的投影续：105更多投影举例在XZ平面上的投影在Y+Z=1平面上的投影灭点的多少影响到反映信息的多少等轴测投影106透视投影变换计算例：投影中心：投影平面：XOY求点的投影点得：解方程组：107续：上述投影变换写成齐次坐标形式：108续：特殊地，令透视投影变换矩阵109平行投影

分为两类：正平行投影：投影方向与投影平面的法向平行斜平行投影：投影方向与投影平面的法向不平行S

透视投影S正平行投影(Orthographicprojections)S斜平行投影(Obliqueprojections)110是最常用的正平行投影图正视图：物体在YZ平面上的投影，也称为前立面图侧视图：物体在XZ平面上的投影，也称为侧立面图俯视图：物体在XY平面上的投影，也称为平面图三视图正视图俯视图侧视图投影方向平面zxy111轴测平行投影轴测平行投影：投影平面不与坐标轴垂直的正平行投影yzx120

120

120

等轴测平行投影

最常用的轴测平行投影

投影平面的法向与各个坐标轴的夹角都相等(有8种选择)zyx(l,-l,-l)

112xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等轴测投影面与三个坐标轴间的夹角都相等(b)正二测投影面与两个坐标轴间的夹角相等(c)正三测投影面与各坐标轴间的夹角都不相等例：投影平面及其对应的立方体投影投影平面投影平面投影平面113投影的计算平面几何投影：投影线与投影平面求交zy

d

P(x,y,z)xPp(xp,yp,d)投影平面114续：投影线OP的参数方程:投影线OP与投影平面z=d的交点:zy

d

P(x,y,z)xPp(xp,yp,d)投影平面一般形式：ax+by+cz+d=0115续：使用齐次坐标表示：

(xd/z,yd/z,d)(x,y,z,z/d)变换的矩阵表达式116续：例：正平行投影变换投影平面:z=0.投影方向：(0,0,-1)Mort对比Mper117斜平行投影定义：数学描述投影平面：ax+by+cz+d=0投影方向是：118斜平行投影特点是正平行投影的一般化：投影方向与投影平面成一定夹角时的平行投影广泛应用的原因在于：结合了正(三)视图与轴测投影图的特点，当投影平面与坐标轴垂直：物体上平行于投影平面的表面测量信息（距离、角度）在投影后得以保持针对其它表面的投影，平行于坐标轴的测量距离可以保持，角度不能保持易画119斜等测

(Cavalier)投影投影方向与投影平面成45º夹角垂直于投影平面的线段长度在投影后得以保持。

xyz111

45

投影平面

投影方向xyz

30

120斜二测(Cabinet)投影投影方向与投影平面的夹角为：arctan(2)=63.4º垂直于投影平面的线段在投影后的长度为实际长度的1/2较斜等测投影的真实感略强。xyz11/21

45

xyz

30

投影平面投影方向121斜平行投影的计算（1）过被投影点的投影线参数方程为：与下述投影平面方程联立求解：方程组的解即为所求投影点。投影线与投影平面的交即为所求122斜平行投影的计算（2）注：因投影方向不与投影平面平行故分母不为零则方程组有解：123斜平行投影的计算（3）变形为：斜平行投影矩阵124斜平行投影的计算（4）特殊地，当a=b=c=1，d=0，投影方向是（1，1，1）时，对应斜平行投影图称为等轴测图，变换矩阵是：显然，等轴测投影是正平行投影，是斜平行投影的特例。Z0XX125关于深度关系投影损失了模型信息，可能导致显示形体的歧义。弥补的方法之一是添加深度信息，使同一平面上的线框中各段具有前后关系。实现方法：调节明暗度：近亮远暗标识可见线面：用不同颜色或不同线型126小结平面几何投影透视投影平行投影：正平行投影&斜平行投影投影计算：投影线与投影平面的交点透视投影投影线：投影中心与投影点的连线投影矩阵：Mper平行投影投影线：沿投影方向过投影点的直线投影矩阵：Mort127第五节三维物体显示将三维空间中的景物在二维屏幕上显示的过程1283D显示过程的概念图在视见体(viewvolume)

定义下进行裁剪投影(Project)到投影平面上变换到2D设备坐标系下的视图区中以备显示3D世界坐标系下的输出图元世界坐标系下的裁剪2D设备坐标系下的图元

3D显示过程的概念模型图2D世界坐标系129名词解释（1）对应图形学相关文献中的用语：视平面(viewplane)：即投影平面观察参考点(viewreferencepoint:VRP)视平面上一点视平面法向(view-planenormal:VPN)垂直于视平面的矢量nview-planeVPNVRP130名词解释（2）nVUPview-planeVPNVRPvu观察参考坐标系：viewing-referencecoordinate

(VRC)system

坐标原点：通常定义为VRP

坐标轴的定义：

n-轴

:VPNv-轴:视平面上的指定向量

u-轴:u=n

v131名词解释（3）视平面上的窗口：一个界定映射到视图区的物体部分的矩形区域n

vuVPNViewplane

VRP

(umin,vmin)(umax,vmax)CW定义方式：在VRC坐标系下定义沿与坐标轴平行的方向定义窗口的最小、最大坐标值无需关于VRP对称窗口中心记为:CW132注记：不同坐标表示可带来表示上的简化计算上的便利133续不同坐标系之间变换的实现（1）定义新坐标系（2）平移变换（3）旋转变换（4）错切变换（5）缩放变换134观察变换完成工作：在世界坐标系下定义出观察参考坐标系，并推导世界坐标系到观察参考坐标系的变换矩阵。实现步骤：定义观察参考坐标系世界坐标系变换到观察参考坐标系135观察坐标系的定义（1）坐标原点：用户指定的观察点作为观察坐标系原点，记为通常可令Z坐标轴：用户指定的观察平面法向作为Z坐标轴，记为136观察坐标系的定义（2）在指定的观察平面上选择向上观察向量（只需不与N方向平行即可），记为：令：再令：显然U同时垂直于N和V矢量。则U、V、N两两垂直。令：定义Ouvn为观察坐标系（左手坐标系）。ZwYwOWXw

nuvOe137观察坐标系的定义（3）定义如图所示ZwYwOWXw

nuvOe138世界坐标系到观察坐标系的变换等价于建模变换过程引入观察坐标系记号：变换矩阵：139名词解释（4）投影参数：投影中心(COP)及投影方向(DOP)由投影参考点projectionreferencepoint(PRP)及投影类型确定透视投影：投影参考点PRP指的就是投影中心COP平行投影：DOP是指投影参考点PRP到窗口中心CW(通常不会是VRP)的连线140名词解释（5）视见体(viewvolume):界定裁剪范围也称为投影空间透视投影的视见体是：半无穷的锥体，如下图。n

vuVPN视平面

VRP

CWPRP141续：n

VPN视平面

VRP

CWPRP

DOP正平行投影的视见体是：无穷长的正四棱柱142续：n

VPN视平面

VRP

CWPRP

DOP斜平行投影的视见体是：无穷长的斜四棱柱143视见体有限化前截面

&后截面(hitherplane&

yonplanes)平行于视平面以VPN为法向的两个平面分别由相对于VRP沿VPN的前截距(F)和后截距(B)定义F>B

144透视投影视见体

FBVPN前截面视平面后截面145正平行投影的视见体

FBVPNDOP

前截面视平面后截面146斜平行投影的视见体

FBVPN前截面视见体后截面DOPVRP147投影空间（视见体）的确定定义观察坐标系的XOY平面为观察平面观察体也称为观察空间、投影空间、视见体在观察平面指定观察窗口根据观察窗口的边框及投影线设置观察体指定投影方向（平行投影）或投影中心（透视投影）148投影空间的规范化为提高投影变换的计算效率例如：由下式定义的平行投影视见体计算效率高:x=-1,x=1,y=-1,y=1,z=0,z=-1分治法：投影空间的规范化平行投影空间的规范化透视投影空间的规范化149规范化的视见体xory

-z-1-11前截面后截面xory

-1-11前截面后截面-z平行投影:规范化正棱柱x=-1,x=1,y=-1y=1,z=0,z=-1透视投影:规范化正棱台x=z,x=-z,y=zy=-z,z=-zmin,z=-1150平行投影空间的规范化（1）XYZXYZ151平行投影空间的规范化（2）引入记号：152平行投影空间的规范化（3）变换1：平移使窗口中心与坐标原点重合。uvnuvn153平行投影空间的规范化（4）变换2：关于Z轴的错切变换使投影方向与Z轴重叠uvun154平行投影空间的规范化（5）155平行投影空间的规范化（6）变换3：平移及比例变换：使156平行投影空间的规范化（7）变换4：比例变换使157平行投影空间的规范化（8）上述变换复合得到：其中WSU,WSV分别为窗口的半边长。158平行投影空间的规范化（9）经上述变换作用后，观察坐标系下的指定平行投影变换效果将等价于在规格化投影空间中进行正平行投影变换。平行投影规范视见体159透视投影空间的规范化（1）目的：使不同条件下的透视投影可统一为正平行投影规规范步骤：变换为规格化的正棱台变换为规格化平行投影空间160透视投影空间的规范化（2）XYZ161162透视投影空间的规范化（3）引入记号：163透视投影空间的规范化（4）变换1：平移使投影中心与坐标原点重合164透视投影空间的规范化（5）变换1以后的投影空间参数：165透视投影空间的规范化（6）变换2：错切使投影参考点与窗口中心连线与Z轴重合nuun在un平面上的错切效果示例图166透视投影空间的规范化（7）错切变换应使窗口中心由167透视投影空间的规范化（8）推导出错切变换矩阵168透视投影空