相似三角形(基础)

相似三角形基本模型一、比例性质【典型例题】1．已知2a＝5b，则＝．2．已知（），则=_________．二、图形与相似【典型例题】1．下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A．①③B．①④C．①②④D．①③④、2．如图1，已知△ABC，D是AC上的一点，连结BD，若AB2＝AD·AC那么∠ABD等于()A．∠AB．∠CC．∠BDCD．∠DBC3．如图2，AB∥EF∥CD，AB∶CD＝2∶3，四边形ECDF的面积为7cm2，则ΔBEF的面积为cm2图1图24．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为5．两个相似三角形周长的和等于36cm，对应高的比为4∶5，则这两个三角形的周长各是__________．

6．要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的倍7．两个相似三角形对应中线的比为∶，它们的面积之差等于10cm2，则这两个三角形的面积各是_______和________.8．如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽△CEA。（2）求证：∠AFB∠ACB=45°.9．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．10．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边CD、AD上，EF与BD交于点G，若AD＝2AB，DF＝2DE，求证：EF＝2DG．11．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．12．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．求证：△ABF∽△EAD13．如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°。求证:△ACF∽BEC三、A型相似【1】“正规A型”【2】“子母A型”①②③【典型例题】1．如图1，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为()A.4．8mB.6．4mC.8mD.10m2．如图2，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则AE=图1图23．如图，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC，交AC于E，已知，那么的值为()A. B.C. D.．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB周长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。5．如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长6．如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4m2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m，试求吊灯距圆桌面的距离．7．如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？PPOBNAM8．阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m,窗口高AB＝1.8m,求窗口底边离地面的高BC.9．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，BD<AD，∠A=∠ACD，（1）若AC=BC，△ACD的周长是11cm，且，求AB的长。（2）过D作∠CDB的平分线DF交CB于F，若线段AC沿着AB方向平移，当点A移到点D时，判断线段AC的中点E能否移到线段DF上，并说明理由。四、Z型相似【1】“正规Z型”【2】“蝴蝶Z型”【典型例题】已知：如图，□ABCD中，，则与的周长的比为面积比为．2．如图，已知：中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，求AC的值3．已知，如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2=DE·DF.五、“K型”相似【典型例题】1．如图是小明涉及用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB＝12米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是米.2．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，求证：（1）△ABP∽△PCD；（2）BP·PC＝AB·CD3．如图，在等边中，为上一点，为上一点，且，说明△PCD∽△ABP，并求的边长。4．在四边形ABCD中，点E在BC边上，∠B＝∠C＝∠AED时，下列结论成立吗？（1）△ABE∽△ECD；（2）BE·EC＝AB·CD5．如图，在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．（1）求与的函数解析式；（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？六、射影定理【典型例题】1．如图1，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E、F，图中与△ACD相似的三角形有___个2．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若，，则CD为3．如图3，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC=，BD=，4．如图4，在Rt△ABC中，∠C为直角，CDAB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是_________和_________；并写出它的面积比_____________图1图2图3图4七、位似【典型例题】1．下列说法中不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比C．相似图形不一定是位似图形D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行2．如图1，五边形ABCDE和五边形A′B′C′D′E′是两个位似图形，且PA＝PA′，则AB∶A′B′等于（）A．B.C.D.图1图23．如图2，△OAB与△OA'B'是相似比为1:2的位似图形，点O是位似中心，若△OAB内的一点P（x，y）与△OA'B'内的一点P'是一对对应点，则点P’的坐标是____________________．4．在下列方格纸中，（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；（2）以O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍的△A2B2C2.（保留作图痕迹）八、相似多边形【典型例题】1．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．102．以下五个命题：①所