2023-2024学年人教A版必修第一册 　 专题 含参不等式的应用 作业

含参不等式的应用1．已知函数（1）若的解是，求实数的值（2）解关于的不等式【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由题意可知为方程的两个根，然后利用韦达定理求出的值.（2）由可知，然后对参数进行分类讨论可求的结果.【详解】解：当时，故在上恒成立，故；当时，由的解是可知为方程的两个根，利用韦达定理可得，解得，带回检验；故满足条件的实数.（2）∴方程①当时，，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为④当时，不等式无解，解集为；⑤当时，不等式的解集为.2．已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】(1)化简集合A,B，由列不等式求a的范围，(2)由可得，列不等式求a的范围.【详解】(1)化简不等式可得∴且∴，∴当时，不等式的解为，即，又，∴当时，不等式的解为，即，与矛盾，∴，当时，不等式的解为，即，与矛盾，∴，∴实数的取值范围.(2)∵，∴,由(1)当时，，，∴，当时，，，此时成立，∴，当时，，，不满足条件，∴，∴实数的取值范围为.3．（1）解关于的不等式.（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）依题意可得，分三种情况：当时，当时，当时，求解不等式，即可得出答案．（2）对于任意的，恒成立，即恒成立，则对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立时，再利用基本不等式求出实数的取值范围．【详解】解：（1）因为，即，所以，当时，，当时，，当时，．综上所述，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为．（2）对于任意的，恒成立，即恒成立，对任意的，恒成立，当时，恒成立，因为时，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以实数的取值范围为．4．解下列一元二次不等式：.【答案】答案见解析.【分析】分别讨论，，，，时不等式解集的情况即可求解.【详解】当时，原不等式可化为，解得：，此时不等式的解集为，当时，由可得：，当时，原不等式可化为，解得：或，此时不等式的解集为：或，当时，原不等式可化为，当即时，不等式的解集为，当即时，不等式解集为，当即时，不等式的解集为，综上所述：当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式的解集为.5．解关于x的不等式，其中.【答案】答案不唯一见解析【分析】首先不等式转化为，再讨论两根的关系，分类解不等式.【详解】解：原不等式可化为方程的两根分别为，当时，原不等式的解集为或当时，原不等式的解为且当时，原不等式的解为或.6．设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3)不等式，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.7．设.（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】(1)不等式转化为对一切实数成立,列不等式即可求解;(2)不等式转化为,对a进行分类讨论求解即可.【详解】（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，可得.所以实数a的取值范围为.（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为,当时，,当时，,①当，解集为,②当，解集为或,③当，解集为或.综上所述,当，不等式的解集为或,当，不等式的解集为,当，不等式的解集为或,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为.8．已知集合，.（1）若，求；（2）设；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解不等式求出集合，再与集合进行交集运算即可求解；（2）由题意可得是的真子集，由可得：，讨论和的大小关系，解得集合，列不等式解之即可求解.【详解】（1）当时因为，所以.（2）；，若是的充分不必要条件，则是的真子集，由可得：方程的两根为和，当时，，此时不符合题意；当时，，此时不符合题意；当时，，若是的真子集，则解得：所以实数的取值范围为.9．已知函数．（1）若，求函数在区间上的最小值；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）时，，时，；（2）见解析.【分析】（1）求出函数的对称轴，分，两种情况讨论函数在上的单调性，即可求解；（2）当时，直接解一元一次不等式；当时，分，，三种情况讨论解不等式即可；当时，，直接解一元二次不等式.【详解】解：（1）由，得对称轴为：，①当，即时，函数在递减，所以；②当，即时，函数在递减，递增，所以；所以时，，时，；（2）①当时，不等式的解为；②当时，令，，当，即时，不等式的解为；当，即时，不等式的解集为R；当，即，不等式的解为；③当时，令，，所以不等式的解为.10．已知关于x的不等式．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围【详解】解：（1）不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，或；当时，不等式化为；①时，，解不等式得，②时，，解不等式得，③时，，解不等式得．综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为．（2）由题意不等式对恒成立，可设，，则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：，解得：，所以x的取值范围是．11．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值.【答案】(1)见解析；(2)；(3).【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对分类讨论；(2)对分等于零，大于零和小于零讨论；(3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求的值.【详解】(1)当时，的解集为；当时，的解集为；当时，无实数解.(2)当时，，对任意，恒成立.当时，函数图象开口向上，若对任意，恒成立，只需，即，.故当时，对任意，恒成立.当时，对任意，，，恒成立.综上可知，实数的取值范围为.(3)若，，为正实数，则由基本不等式得，，，两式相加得，，变形得，当且仅当且时等号成立.所以，即，.12．设函数．（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析．【分析