中国精算师-精算模型-短期聚合风险模型

中国精算师-精算模型-短期聚合风险模型[单选题]1.已知随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，Xk的密度函数为则为()。[2008年真题]A.1.1B.1.5

C.2.1

D.2.5

E.3.1正确答案：D参考解析：由已知，有X～Gamma（k,2），故故[单选题]2.假定理赔次数N服从几何分布，概率分布为P（N=n）=pqn，n=0，1，2，…，0＜p＜1，p+q=1；个别理赔额X服从参数为β的指数分布Exp（β），聚合理赔S的矩母函数MS（t）等于()。[2008年真题]A..B.C.D.E.正确答案：A参考解析：由已知，有故[单选题]3.总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为：其中，个体损失额X的概率函数为：fX（1）=0.20，fX（2）=0.50，fX（3）=0.30。f*X（n）表示fX的n重卷积，总损失额S的方差为()。A.265.48B.270.48C.275.48D.280.48E.285.48正确答案：B参考解析：由已知条件可知，损失次数N服从负二项分布，参数r=3，p=0.2，q=0.8，故

E（N）=rq/p=12，Var（N）=rq/p2=60。且

E（X）=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1，E（X2）=12×0.2+22×0.5+32×0.3=4.9，Var（X）=E（X2）-E2（X）=4.9-2.12=0.49。所以Var（S）=E2（X）Var（N）+Var（X）E（N）=2.12×60+0.49×12=270.48。[单选题]4.对于总损失模型，已知Xi（i=1，2，…）相互独立，Xi的概率分布为：P（Xi=1）=0.2，P（Xi=,2）=0.8，其中，随机变量N在Λ=λ的条件下服从参数为λ的泊松分布。随机变量Λ服从期望为p的泊松分布。已知Λ、N与个体索赔额Xi独立，Var（S）=10，则p=()。A.1.1

B.1.2

C.1.3

D.1.4

E.1.5正确答案：E参考解析：由已知条件得：E（N）=E（Λ）=p，Var（N）=E（Λ）+Var（Λ）=2p；E（X）=1×0.2+2×0.8=1.8，E（X2）=12×0.2+22×0.8=3.4，Var（X）=E（X2）-E2（X）=3.4-1.82=0.16。故

10=Var（S）=E2（X）Var（N）+Var（X）E（N）=1.82×2p+0.16×p，解得：p=1.5。[单选题]5.已知总索赔额服从复合泊松分布，Xi的概率函数为：P（Xi=1）=P（Xi=2）=0.2，P（Xi=3）=0.6，N服从期望为2的泊松分布，则E[max（S-1.2，0）]=()。A.3.6B.3.8

C.4.0

D.4.2

E.4.4正确答案：B参考解析：由已知条件得：E（N）=λ=2，E（X）=1×0.2+2×0.2+3×0.6=2.4，所以E（S）=λE（X）=4.8。而由复合泊松分布的概率分布的迭代公式：fS（x）=iP（i）fS（x-i）fS（0）=e-λ得：fS（0）=e-λ=e-2，fS（1）=2P（Xi</sub>=1）fS（0）=2×0.2×e-λ=0.4e-2。故[单选题]6.对于索赔数目N，已知pn=P（N=n）满足则N的分布为()。A.二项分布，期望为1B.负二项分布，期望为1C.泊松分布，期望为1D.负二项分布，期望为2E.二项分布，期望为2正确答案：A参考解析：由于（a，b）类计数分布满足：由已知条件可知索赔数目N服从（a，b）类的二项分布，且解得：p=1/3，m=3。故E（N）=mp=1。[单选题]7.复合风险模型S的个体索赔额为正整数，索赔次数N服从期望为b的泊松分布。已知E（S）=1.68，且S的概率函数满足：则b-k=()。A.-0.10

B.0.00

C.0.05

D.0.10

E.0.15正确答案：B参考解析：已知λ=b，而复合泊松分布的概率分布的迭代公式：与已知概率函数作比较得：bp（1）=0.16，2bp（2）=k，3bp（3）=0.72又

E（S）=b［p（1）+2p（2）+3p（3）］=1.68，即0.16+k+0.72=1.68，解得：k=0.8。且

p（1）+p（2）+p（3）=1，即解得：b=0.5k+0.4=0.8。故b-k=0.8-0.8=0。[单选题]8.S服从复合泊松分布，泊松参数为λ=ln2，个体理赔额的概率函数为：则下面说法正确的是()。A.S服从几何分布B.S服从二项分布C.S服从泊松分布D.S服从对数正态分布E.S服从负二项分布正确答案：A参考解析：理赔次数N服从泊松分布，其矩母函数为：MN（t）=；由于泰勒展式，所以个体理赔额的矩母函数为：故理赔总额S的矩母函数为：故S服从几何分布。[单选题]9.设S1服从复合泊松分布，泊松变量的期望为10，个体索赔额的分布为fX（1）=0.80，fX（2）=0.20，S2也服从复合泊松分布，泊松变量的期望为20，个体索赔额的分布为fY（1）=0.70，fY（2）=0.30，已知S1和S2相互独立，设S=S1+S2，则P（S=2）为()。A.250e-30B.240e-30C.230e-30D.220e-30E.210e-30正确答案：A参考解析：由已知，有：S服从复合泊松分布，泊松变量的期望为λ=10+20=30，个体理赔额的分布为[单选题]10.设理赔总量S服从复合负二项分布，其中理赔次数N为负二项分布NB（2，1/3），个体理赔额相互独立且同分布，其分布为p（1）=p（2）=1/2。则Var（S）=()。A.5.099B.12C.18D.26E.28正确答案：E参考解析：由题意知：r＝2，p＝1/3，q=1-p=2/3，所以[单选题]11.一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都为B个单位元，索赔次数N服从泊松分布，参数为λ，则下列计算中不正确的是()。A.E（S）=E（N）B=λBB.Var（S）=Var（N）B2=λB2C.S的可能取值为0，B，2B，…D.E（X）=B，Var（X）=B2E.P（S≤BX）=P（N≤X）正确答案：D参考解析：记X为每份保单的索赔金额，由已知条件得：E（X）=E（B）=B，Var（X）=Var（B）=0；E（N）=Var（N）=λ。故由聚合风险模型得：①E（S）=E（N）E（X）=λB；②Var（S）=E2（X）Var（N）+E（N）Var（X）=B2λ；③由于每次理赔额均为常数B，所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数，即0，B，2B，…；④依题意有：P（X=B）=1，E（X）=B，Var（X）=0；⑤由于S=BN，所以P（S≤BX）=P（BN≤BX）=P（N≤X）。[单选题]12.已知某保险人承保的风险服从参数为λ的复合泊松分布，个别理赔额的概率密度函数为：下列对索赔总额S的分布说法中正确的是()。A.S服从二项分布B.S服从泊松分布C.S服从负二项分布D.S服从几何分布E.S服从对数正态分布正确答案：C参考解析：复合泊松分布的矩母函数为：MS（t）=Mn（lnMX（t））=eλ（Mx（t）-1）即此是参数为r，P的负二项分布的矩母函数。[单选题]13.设Si（i=1，2，…，n）是一系列相互独立的且具有相同分布的复合负二项分布，负二项分布的参数分别为k和p，个别索赔额的密度函数为f（x），令，则下列有关S的陈述错误的是()。A.S仍是复合负二项分布B.S的个体索赔额的密度函数仍为f（x）C.复合负二项分布具有可加性D.S的矩母函数为：E.Si的矩母函数为：正确答案：C参考解析：由已知条件得：Si的矩母函数为：因为Si独立同分布，所以S的矩母函数为：由此可知：S的分布仍是复合负二项分布，参数为nk和p，个别索赔额的密度函数仍为f（x）；但是，并不意味着复合负二项分布与复合泊松分布具有一样的可加性。如果Si不独立同分布，S的矩母函数为：即：如果负二项分布参数qi不一样，即使k、MX（t）对每个Si都相同，复合负二项分布也没有可加性，但是p和MX（t）对每个Si都相同，k参数对每个Si具有不同的ki时，复合负二项分布是具有可加性的，因为[单选题]14.对于泊松参数λ为6的复合泊松分布，个别索赔额的分布如表1所示，并已知索赔总额的一些概率值如表2所示，则表中P（6）=()。表1个别索赔额的分布表2索赔总额的分布A.0.0316B.0.0345C.0.0365D.0.039E.0.066正确答案：C参考解析：[单选题]15.一个索赔额分布是具有均值μ=100和方差σ2=9的正态分布，已知索赔次数N的分布如表所示。则索赔总额超过100的概率是()。表索赔次数的分布列A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1E.0.0正确答案：A参考解析：依题意可知理赔总额S的分布为：所以[单选题]16.对于某保险公司的险种具有如下信息：（1）对于险种Ⅱ，在没有加入险种Ⅰ时，每个保险对象的损失额随机变量的数学期望是10个单位，方差是2500个单位；（2）对于险种Ⅱ，在已加入险种Ⅰ时，每个保险对象的损失额随机变量的数学期望是700个单位，方差是16000个单位；（3）随机选取某个团体，其中已加入险种Ⅰ的人数N服从二项分布，即：N～B（N，0.01）。一个承保人承保这样的混合团体收取保费的原则是团体的总理赔额随机变量的数学期望加上0.1倍的标准差。设P是10个人构成的这样的团体的总保费，Q是没有加入险种Ⅰ的10个人构成的团体的总保费，则P-Q=()。A.80.3B.115.8C.169.0D.196.1E.271.1正确答案：A参考解析：①由于E（S）=E［E（S|N）］，Var（S）=E［Var（S|N）］+Var［E（S|N）］。而E（S|N）=（10-N）×10+N×700=100+690N；Var（S|N）=（10-N）×2500+N×16000=25000+13500N。由条件（3）知：N～B（10，0.01），所以E（N）=10×0.01=0.1；Var（N）=10×0.01×0.99=0.099。故E（S）=E［E（S|N）］=E（100+690N）=100+690×0.1=169；Var（S）=E［Var（S|N）］+Var［E（S|N）］=E（25000+13500N）+Var（100+690N）=25000+13500×0.1+6902×0.099=73483.9。所以δS===271.08，故P=E（S）+0.1δS=169+0.1×271.08=196.1；②同理，对于第（1）种情况，有：Q=E（S）+0.1δS=10×10+0.1×=115.8。故P-Q=196.1-115.8=80.3。[单选题]17.某保险人承保的风险的发生次数随机变量N和个别理赔额随机变量X分别服从如表1和表2所示的分布列，且N与X相互独立，记S为理赔总额随机变量，则P［S＞E（S）+2］=()。表1风险发生次数分布列表2个别理赔额分布列A.0.10B.0.12C.0.16D.0.24E.0.60正确答案：B参考解析：由已知条件得：E（S）=E（N）E（X）=（0×0.7+2×0.2+3×0.1）×（0×0.8+10×0.2）=1.4，Var（S）=E2（X）Var（N）+E（N）Var（X）=（0×0.8+10×0.2）2×（22×0.2+32×0.1-（0×0.7+2×0.2+3×0.1）2）+（0×0.7+2×0.2+3×0.1）×（0×0.8+102×0.2-（0×0.8+10×0.2）2）=16.04，故=P（S＞9.4）=1-P（S≤9.4）=1-P（S=0）=1-［P（N=0）+P（N=2）×P2（X=0）+P（N=3）P3（X=0）］=1-（0.7+0.2×0.82+0.1×0.83）=0.12[单选题]18.设S为某个保险公司承包的保险标的索赔总额，S服从参数λ=0.6的复合泊松分布，已知个别理赔额随机变量X的分布列，如表所示。则P（S≥2）=().表个别理赔额的分布列A.1-1.12e-0.6B.1-0.12e-0.6C.1.12e-0.6D.1.12e0.6E.0.6e-0.12正确答案：A参考解析：已知理赔总额S服从复合泊松分布，所以其概率分布的迭代公式为：[单选题]19.在某汽车险保单组合中，已知一名驾驶员每年的索赔次数服从参数p=0.5，λ=α的负二项分布，但参数λ随每张保单变化。若λ服从均值和方差均为3的伽玛分布，从这个保单组合中随机抽取一名驾驶员，则他在第二年的损失次数不超过1的概率为()。A.0.11B.0.21C.0.31D.0.41E.0.51正确答案：C参考解析：设伽玛分布参数为α和θ。由伽玛分布的均值和方差公式，得：α/θ=3，α/θ2=3，两式联立，解得：α=3，θ=1。又N服从负二项分布，参数p=1/2，k=α，而负二项分布的概率分布为：故P（N≤1）=P（N=0）+P（N=1）=0.125+0.1875≈0.31。[单选题]20.幸运的小李在上学的路上总能捡到硬币。已知他平均每分钟捡到硬币的次数服从泊松分布，参数λ=0.5。硬币的面值服从以下分布：（1）60%的硬币面值为1；（2）20%的硬币面值为5；（3）20%的硬币面值为10。设S表示1小时内小李捡到的硬币总面值，则S的方差为()。A.768B.692C.543D.481E.352正确答案：A参考解析：解法①：由于S=X1+…+XN，N表示1小时内捡到硬币的个数。根据泊松分布的可加性，N服从参数λ=0.5×60=30的泊松分布。由已知可得硬币面值X的分布，如表所示。表硬币面值X的分布列所以E（X2）=12×0.6+52×0.2+102×0.2=25.6。因此，根据复合泊松分布的性质，得：Var（S）=λE（X2）=30×25.6=768。解法②：记硬币的总价值为S，则S=N1+5N2+10N3。其中N1，N2，N3分别表示在1小时内捡到面值为1，5，10的硬币个数。由泊松分布的可分解性知，N1，N2，N3分别服从参数为λ1=30×0.6=18，λ2=30×0.2=6，λ3=30×0.2=6的泊松分布，所以Var（N1）=λ1=18，Var（N2）=λ2=6，Var（N3）=λ3=6。故Var（S）=Var（N1+5N2+10N3）=Var（N1）+25Var（N2）+100Var（N3）=18+25×6+100×6=768。[单选题]21.已知总理赔额，且X1，X2，…独立同分布，都与理赔次数N相互独立。随机变量Λ服从伽玛分布，其密度函数为fΛ（λ）=（33/2）x2e-3x。给定Λ=λ，N服从参数为λ的泊松分布，且X的分布为f（1）=f（2）=0.5，则Var（S）=()。A.3.25B.4.25C.5.25D.6.25E.7.25正确答案：A参考解析：已知伽玛分布的密度函数为：fΛ（λ）=（33/2）x2e-3x，所以参数α=2+1=3，λ=3，故又Λ=λ，N服从参数为λ的泊松分布，故E（N）=E（E（N|Λ））=E（Λ）=1，Var（N）=E（Var（N|Λ））+Var（E（N|Λ））=E（Λ）+Var（Λ）=1+1/3=4/3，而X的均值和方差分别为：E（X）=1×0.5+2×0.5=1.5，E（X2）=12×0.5+22×0.5=2.5，Var（X）=E（X2）-E2（X）=2.5-1.52=0.25。由方差分解公式计算S的方差：Var（S）=E（Var（S|N））+Var（E（S|N））=E（NVar（X））+Var（NE（X））=Var（X）E（N）+E2（X）Var（N）=0.25×1+1.52×（4/3）=3.25。[单选题]22.设随机变量N1，N2，N3相互独立，且分别服从参数为λ1，λ2，λ3的泊松分布。令S＝N1+2N2+3N3，已知E（S）=50，Var（S）=120，E［（S-E（S））3］=315，则λ1+λ2b>+λ3=()。A.B.15C.D.E.20正确答案：D参考解析：由已知条件得：[单选题]23.某保险公司承保工伤医疗保险。已知每月的理赔次数N服从参数为10的泊松分布，且每次发生的理赔都与其他理赔是相互独立的。每次理赔事件中理赔额有5%的可能超过20000元。则半年内至少有2次理赔的理赔额超过20000元的概率等于()。A.1-6e-5B.1-4e-3C.1-3e-2D.1-2e-1E.1-1.5e-0.5正确答案：B参考解析：设每月理赔额超过20000元的次数为N*，则N*＝I1+…+IN，P（I=1）＝1-P（I＝0）=v，v＝P（X＞20000）＝0.05，因此，N*是泊松分布与二项分布B（1，v）的复合。MN*（z）＝MN［lnM<sub>I（z）］＝exp/{λ×［MI（z）-1］/}＝exp/{λ×［（（1-v）+vez）-1］/}＝exp/{10×［（0.95+0.05ez）-1］/}＝exp/{10×（0.05ez-0.05）/}＝exp/{0.5×（ez-1）/}，即N*服从参数为0.5的泊松分布。由泊松分布的可加性可推知，每半年的理赔额超过20000元的次数服从参数为0.5×6=3的泊松分布。则半年内至少有2次理赔的理赔额超过20000元的概率为P（N≥2）=1-P（N＝0）-P（N＝1）=1-e-3-3e-3=1-4e-3[单选题]24.理赔总额S服从参数λ=5的复合泊松分布，其中个别理赔额X的分布为P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2，则S的分布为()。A.B.C.D.E.正确答案：C参考解析：依题意有，MX（t）=E（etX）=P（X=0）e0+P（X=1）et=0.8+0.2et，MS（t）=MN（lnMX（t））=exp［5（MX（t）-1）］=exp［5（0.8+0.2et-1）］=exp（et-1）。故S服从参数为1的泊松分布。[单选题]25.设理赔总额分布是具有下列特征的复合负二项分布：（1）个别理赔额为1，2或3；（2）E（S）=4.8，Var（S）=17.28；（3）理赔次数N服从r=3，q=的负二项分布。设N2表示理赔额为2的理赔次数，则E（N2）=()。A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7E.0.8正确答案：C参考解析：理赔次数N服从r=3，q=的负二项分布，则有：设P（x）为X的分布列，则依题意有：E（S）=E（N）E（X）=3（p（1）+2p（2）+3p（3））=4.8①Var（S）=E2（X）Var（N）+E（N）Var（X）=6E2（X）+3×（E（X2）-E2（X））=3E2（X）+3×E（X2）=3×（1.6）2+3（p（1）+4p（2）+9p（3））=17.28②又p（1）+p（2）+p（3）＝1，③①②③联立，解得：p（1）＝0.6，p（2）＝0.2，p（3）＝0.2。由于N2＝I1+…+IN，P（I＝1）＝P（X＝2）＝0.2，故E（N2）＝E（I）E（N）＝0.2×3＝0.6。[单选题]26.某司机总体分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0，1）的均匀分布。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.5）的均匀分布。已知类别1司机人数是类别2司机的2倍。从这个总体中随机抽取一个司机，他不发生车祸的概率为()。A.0.31B.0.41C.0.51D.0.61E.0.71正确答案：C参考解析：对于第一种类型的司机，不发生车祸的概率为：对于第二种类型的司机，不发生车祸的概率为：依题意知，P（类别1）＝1-P（类别2）＝2/3，故[单选题]27.设随机变量S为某保险人的理赔总量，已知个别理赔额的分布如表所示。表个别理赔额的分布列且，则E（S）=()。A.2.1B.2.3C.2.5D.2.7E.2.9正确答案：D参考解析：依题意，得：由此可知：理赔次数服从r=4，p=0.8的负二项分布，所以有：又个别理赔额X的数学期望为：E（X）=1×0.2+2×0.2+3×0.3+4×0.3=2.7，故E（S）=E（N）×E（X）=2.7×1=2.7。[单选题]28.设有100个人投保，这些投保的个体有相互独立的索赔，索赔分布的均值与方差按性别分别如表所示。表索赔分布的均值与方差设S为总的索赔量，总的保险费按收取。这100个成员，男、女性别个数未知，设男性有N个人，N服从二项分布B（100，0.4）。则总保费为()。A.96.0B.320.0C.378.5D.760.0E.856.0正确答案：C参考解析：由题意，设X表示男性索赔，Y表示女性索赔，又男性个数N~B（100，0.4），则总索赔为男、女之和，即S=X1+X2+…+XN+YN+1+YN+2+…+Y100，其中由表知，E［X］=2，Var［X］=4；E［Y］=4，Var［Y］=10。则E［S］=E［E［S|N］］=E［NE［X］+（100-N）E［Y］］=E［N（E［X］-E［Y］）+100E［Y］］=E［-2N+100×4］=400-2E［N］=400-2×100×0.4=320；又E［Var［S|N］］=E［NVar［X］+（100-N）Var［Y］］=E［100Var［Y］+N（Var［X］-Var［Y］）］=E［100×10+N×（4-10）］=1000-6×E［N］=1000-6×100×0.4=760；Var［E［S|N］］=Var［NE［X］+（100-N）E［Y］］=Var［100E［Y］+N（E［X］-E［Y］）］=（E［X］-E［Y］）2Var［N］=（2-4）2×100×0.4×（1-0.4）=96；所以Var［S］=E［Var［S|N］］+Var［E［S|N］］=760+96=856。故总保费为：[单选题]29.当一个人住院，医院的花费如表所示。且住房花费X与其他花费Y的协方差Cov（X，Y）=100000。保单规定偿还100%的住房花费与80%的其他花费，设医院住院的人数服从参数为4的泊松分布，则总偿还的方差为()。表医院花费情况A.467600B.935200C.1870400D.7840000E.9710400正确答案：E参考解析：设S为总的偿还，对于每一个住院的人按保单需偿还X+0.8Y，设N代表住院人数，依题意知N服从参数为4的泊松分布，则S=（X1+0.8Y1）+（X2+0.8Y2）+…+（XN+0.8YN）=，因此，Var［S］=Var［E［S|N］］+E［Var［S|N］］，其中E［S|N］=NE［X］+0.8E［Y］N=N［E［X］+0.8E［Y］］，故Var［E［S|N］］=（E［X］+0.8E［Y］）2×Var［N］=（1000+0.8×500）2×4=7840000；而Var［S|N］=N（Var［X］+2×0.8×Cov［X，Y］+0.82Var［Y］）=N［5002+1.6×100000+0.82×3002］=467600N，故E［Var［S|N］］=467600E［N］=467600×4=1870400。所以Var［S］=7840000+1870400=9710400。[单选题]30.设某承保人承保的风险损失随机变量服从参数λ=2的复合泊松分布，个别理赔额随机变量的可能取值为1，2，3；则个别理赔额小于3的概率为()。A.B.C.D.E.正确答案：E参考解析：由于复合泊松分布的概率密度函数的迭代公式为：[单选题]31.设SA和SB分别是两个独立聚合理赔总量，均服从复合泊松分布。已知：λA=λB=1/2，fA（1）＝1，fB（1）＝fB（2）＝fB（3）＝1/3则P（SA+SB≤2）=()。A.B.C.D.E.正确答案：E参考解析：设S=SA+SB，则S仍服从复合泊松分布，泊松参数λ=λA+λB=1，个别理赔额分布为：，则[单选题]32.理赔总额S服从复合泊松分布。已知个别理赔额可能取值为1，2，3，且S的分布满足下面性质：则P（X=3）=()。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4E.0.5正确答案：A参考解析：对于复合泊松分布，由于fS（0）=P（N=0）=e-λ=e-2，故λ＝2。而复合泊松分布的迭代公式为：则有：fS（1）=λP（1）fS（0），即2P（1）e-2=1.2e-2，故P（1）=0.6；即0.6×1.2e-2+2P（2）e-2=1.32e-2，故P（2）=0.3；已知个别理赔额可能取值为1，2，3，即P（1）+P（2）+P（3）=1，所以P（3）＝1-P（1）-P（2）＝1-0.6-0.3＝0.1。[单选题]33.设总理赔额S的分布列为：已知E（S）＝1.5，则个体理赔额的期望E（X）=()。A.1B.2C.3D.4E.5正确答案：B参考解析：从S的分布知，S服从由复合泊松分布，其概率分布的迭代公式为：与已知分布列作比较可知，x只取1，2，3，则有：所以λfX（1）＝0.2，2λfX（2）＝k，3λfX（3）＝0.6①又E（S）＝E（N）E（X）=λ［1fX（1）+2fX（2）+3fX（3）］＝0.2+k+0.6＝1.5，解得：k＝0.7。代入方程组①，得：而fX（1）+fX（2）+fX（3）＝1，故λ=0.75，即E（N）＝0.75。所以[单选题]34.假设S为复合泊松分布，参数λ=3，已知个别理赔变量X的分布，如表所示。设S的分布函数为FS（x），则FS（1）-FS（2）+FS（3）-FS（4）=()。表个别理赔额分布列A.-0.18B.-0.20C.0D.0.18E.0.20正确答案：B参考解析：由已知条件得：fS（0）=e-λ=e-3=0.049787，而x的最大取值为4，故S的概率分布迭代公式为：[单选题]35.设总理赔额S为复合泊松分布，已知个别理赔额X的分布为：又已知S取某些数值的概率分布，如表所示。则fS（6）=()。表总理赔额的部分分布列A.0.0123B.0.0365C.0.0578D.0.0724E.0.0966正确答案：B参考解析：记λ为复合泊松分布的泊松参数，由于复合泊松分布的迭代公式为：fS（0）=e-λ[单选题]36.某保险公司承保了索赔总额随机变量分别服从参数为λ1=2与λ2=3的复合泊松分布的两类交通意外保险，其发生相互独立，个别理赔额随机变量分别服从U1（0，1000）及U2（0，200），且两类保险有共同的理赔额随机变量X，现承保人进行了再保险，自留额为100，则再保费E［I100（x）］=()。A.156B.167C.177D.185E.196正确答案：C参考解析：由已知得两类保险的概率密度函数分别为：所以X的概率密度函数为：[单选题]37.已知聚合理赔额S服从复合负二项分布，参数r=8，p=0.4；且个别理赔额X的分布为则P（S＞3）=()。A.0.0062B.0.0067C.0.5000D.0.9933E.0.9938正确答案：E参考解析：已知理赔额S服从复合负二项分布，其可以归入（a，b）类分布的情形，其迭代公式为：所以fS（1）=0.25（0.6+4.2）fS（0）=1.2×0.48；fS（2）=0.25（0.6+2.1）fS（1）+0.375（0.6+4.2）fS（0）=2.61×0.48；fS（3）=0.25（0.6+1.4）fS（2）+0.375（0.6+2.8）fS（1）+0.375（0.6+4.2）fS（0）=4.635×0.48。故P（S＞3）=1-P（S≤3）=1-［fS（0）+fS（1）+fS（2）+fS（3）］=1-9.445×0.48=0.9938。[单选题]38.某保险人承保的风险组合，其理赔次数N服从参数为2的泊松分布，理赔额相互独立，已知理赔额的分布列如表所示。表理赔额分布列则下列计算中正确的是()。（1）E（S）=10；（2）Var（S）=10；（3）A.（1）B.（2）C.（3）D.（1）（2）E.（2）（3）正确答案：B参考解析：已知泊松参数λ=2，故E（N）=λ=2。记S为理赔总额，则由已知条件得：（1）E（S）=E（N）E（X）=2×（1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1）=4；（2）Var（S）=λp2=2×（12×0.4+22×0.3+32×0.2+42×0.1）=10；（3）由于MX（t）=et×0.4+e2t×0.3+e3t×0.2+e4t×0.1，[单选题]39.某保险人承保20份保单，每份保单的索赔总额分布的分布函数为：索赔总额的分布可用复合泊松分布来近似，并且每份保单要么发生理赔，要么不发生理赔。已知索赔发生时，个别索赔额具有相同的分布，则此复合泊松分布的矩母函数为()。A.B.C.D.E.正确答案：A参考解析：设X是单个保单的索赔总额随机变量，q是一次索赔发生的概率，B是每个保单发生索赔事故时，个别索赔额随机变量。则依题意有：F（x）=P（X≤x）=P（（没有索赔发生）∩（X≤x））+P（（有一次索赔发生）∩（X≤x））=P（没有索赔发生）×P（X≤x）+P（有一次索赔发生）×P（X≤x）=（1-q）×1+q［FB（x）］=1-q（1-FB（x））（当x≥0时），而已知故q=0.1，且FB（x）=1-e-0.1x。又已知保单数为20，所以在复合泊松近似中：λ=20×0.1=2，因此，由矩母函数公式MS（t）=MN（lnMX（t））得：[单选题]40.某风险服从复合泊松分布，泊松参数λ=20。个体索赔额服从指数分布，其均值为100。某保险人对该风险进行了比例再保险，自留额为0.75。则再保险人索赔总额随机变量的期望与标准差之和为()。A.500B.658C.725D.800E.1000正确答案：B参考解析：设X为没有再保险情况下的个别索赔额随机变量，则再保险人的索赔额随机变量R=（1-0.75）X=0.25X。所以即R服从参数为1/25的指数分布，且E（R）=25，Var（R）=252。又已知得：E（N）=Var（N）=λ=20，所以再保险人索赔总额随机变量的数学期望与方差分别为：[单选题]41.一个保险人承保了某项保险标的，已知索赔额随机变量X和索赔次数随机变量N的概率分布列，分别如表1和2所示。该保险人用1472个单位购买了自留额为5000个单位的停止损失再保险，则该保险人在具有停止损失再保险时的保费为()。表1索赔额概率分布列表2索赔次数概率分布列A.4800B.4900C.5400D.5500E.6400正确答案：D参考解析：依题意可知，所求保费即为：E［S-I5000（S）+1472］。其中故而当P（S=0）时，即没有赔付时，也就是说索赔没有发生，则：所以故E［S-I5000（S）+1472］=6472-972.5≈5500。[单选题]42.对于一个保单组合，已知：（1）索赔次数服从泊松分布；（2）索赔额是1，2，3；（3）停止损失再保险对不同的自留额有如下表所示的纯保费：则索赔总额是5或6的概率是()。A.0.04B.0.06C.0.08D.0.10E.0.64正确答案：C参考解析：由递推公式E（Id）=E（Id-1）-（1-F（d-1））可知：F（d-1）=1+E（Id）-E（Id-1），所以F（6）=1+E（I7）-E（I6）=1+0.02-0.04=0.98，F（5）=1+E（I6）-E（I5）=1+0.04-0.1=0.94，F（4）=1+E（I5）-E（I4）=1+0.1-0.2=0.90，故f（5）+f（6）=P（S=5）+P（S=6）=F（6）-F（4）=0.98-0.90=0.08。[单选题]43.没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布，如果用平移伽玛分布来近似，则平移伽马分布的参数为（α=20，β=5，x0=40）。如果有50%的比例再保险，也用平移伽玛分布来近似，则有再保险时的平移伽玛分布的参数分别为()。A.x0=10；α=10；β=10B.x0=20；α=20；β=10C.x0=20；α=20；β=20D.x0=20；α=20；β=30E.x0=40；α=40；β=20正确答案：B参考解析：依题意知，在没有再保险时有：在有50%的比例再保险时，泊松参数λ不会发生改变，个别索赔额会变为原来的50%，故再保后有：（其中p2′、p3′分别表示再保险后个别索赔额的二阶和三阶中心矩）。设有再保险时的平移伽玛参数分别为，xR0，αR，βR则有：解得：xR0=20，αR=20，βR=10。[单选题]44.假设S服从复合泊松模型，参数λ=12，且理赔额服从［0，1］上的均匀分布，则用正态近似计算P（S＜10）和用平移伽玛近似计算P（S＜10）的差为()。A.0.001B.0.003C.0.005D.0.007E.0.009正确答案：E参考解析：依题意知，理赔额变量C服从［0，1］上的均匀分布，则其分布函数为P（x）=x，x∈［0，1］。故其1、2阶原点矩分别为：①若采用正态近似，则；②若采用平移伽玛近似，则即平移伽玛分布为：因此故两者之差为：0.97725-0.9682≈0.009。[单选题]45.用平移伽马分布近似方法估计聚合理赔款分布，已知：x0=0，E（S）=μ，Var（S）=δ2，E［（S-μ）3］=γ3。则γ=()。A.B.C.D.E.正确答案：E参考解析：依题意得：解得：y=[单选题]46.已知某保险公司承保了800个相互独立的风险，如下表所示。若保险公司收取的保费总额大于总理赔额的概率为95%，保险公司收取保费的原则是：对每个风险单位而言，收取的保费是每个风险的数学期望的k倍，则k=()。A.1.0475B.1.3405C.1.3843D.1.5840E.1.6450正确答案：C参考解析：设Xi（i=1，2，…，500）为类别A中的每个风险损失随机变量，Yj（j=1，2，…，300）为类别B中的每个风险损失随机变量，S为总理赔额随机变量，则由表中数据得：E（Xi）=200×0.01=2；E（Yj）=100×0.05=5；Var（Xi）=2002×0.01×0.99=396；Var（Yj）=1002×0.05×0.95=475。所以E（S）=500×2+300×5=2500；Var（S）=500×396+300×475=340500，=584由已知每个风险收取的保费为：kE（Xi）或kE（Yj），i=1，2，…，500；j=1，2，…，300。所以保险公司收取的总保费是：由中心极限定理，依题意得：所以[单选题]47.设某保险人承保2500个风险单位构成的风险组合，具体如下表所示。如果此风险组合的索赔额随机变量的分布用复合泊松分布来近似，并且期望的索赔额和个别索赔额的分布与个别风险模型是一样的，则索赔总额的方差为()。A.159B.169C.179D.189E.199正确答案：C参考解析：设S为索赔总额随机变量，则其中λi是第i类风险索赔次数的期望；p2i是第i类风险个别索赔额的二阶原点矩。而λ1=500×0.01=5，λ2=1000×0.01=10，λ3=500×0.02=10，λ4=200×0.02=4，λ5=300×0.04=12；p21=12×1=l，p22=12×1=1，p23=22×1=4，p<sub>24=22×1=4，p<sub>25=32×1=9。故=5×1+10×1+10×4+4×4+12×9=179。[单选题]48.设N2是复合负二项分布中理赔额等于2的理赔次数随机变量，负二项分布的参数为r=5，p=2/3；个别理赔额的分布如表所示。则Var（N2）=()。个别理赔额的分布列A.45/64B.54/64C.45/46D.64/45E.65/55正确答案：A参考解析：设N表示理赔发生次数随机变量，依题意有：NK|N=n服从参数为n和P=P（X=k）的二项分布，其中NK表示理赔额为K时的索赔发生次数。则E（NK|N）=NP（X＝k）=NP（k），Var（NK|N）=NP（k）（1-P（k）），[单选题]49.设一个保险人承保的保险标的索赔总额随机变量S服从参数为2的复合泊松分布，个别理赔额X服从参数的指数分布。没有再保险时，保险人的安全附加系数为θ，保险人购买再保险后，他的期望索赔变为6，安全附加系数变为，则再保险人的安全附加系数为()。A.B.C.D.E.正确答案：D参考解析：由已知得p1=E（X）==18，E（S自留）=6，故E（S）=λp1=2×18=36。保险人的总利润在分保后被再保险分摊，但原保险人与再保险人的利润总额仍不会发生变化，故有：θE（S）=θE（S自留）+θ′E（S再）其中，θE（S）＝（1+θ）E（S）-E（S）为再保险前的原保险人的总利润；E（S自留）为再保险后原保险人的利润；θ′E（S再）为再保险后再保险人的利润；θ′为再保险人的安全附加系数。故因此，解得：[单选题]50.某保险人承保的保险标的服从参数λ=2.5的复合泊松分布，已知个别理赔额随机变量X的分布列，如表1所示。设年保费收取的数额为Y个单位，被保险人购买停止损失再保险，具体如表2所示。则Y=()。表1个别理赔额的分布列表2停止损失再保险A.3.4B.4.4C.4.5D.6.4E.6.5正确答案：C参考解析：记S为理赔总额随机变量，由已知条件得：所以再保险之前原保险人的利润为：Y-E（S）=Y-3.75；再保险后再保险人的利润为：故再保险之前的总利润减去因分保分出去的利润得到再保险后原保险人的利润，即：解此方程组，得：θR=0.6842。故Y=0.65+3.75+0.6842×0.16=4.5。[单选题]51.某保险人承保的保险标的索赔总额随机变量服从复合泊松分布，泊松参数为λ=3，已知个别理赔额随机变量X的分布列，如表所示。被保险人购买了自留额为2的停止损失再保险，假设再保险人的安全附加系数θ=1.4，则停止损失再保险的保费为()。表个别理赔额的分布列A.1+2.4e-3B.3+5.0e-3C.4+4e-3D.5+4.2e-3E.6+9.6e-3正确答案：E参考解析：记S为索赔总额随机变量，则由已知得：由于复合泊松分布的概率分布的迭代公式为：所以f（0）=e-3，故停止损失再保险的保费为：（1+θ）E（I2）=（1+θ）（2.5+4e-3）=2.4×2.5+9.6e-3=6+9.6e-3[单选题]52.一个保险人承保的风险的理赔总额随机变量S的概率密度函数为f（x）=3x-4，x≥1，安全附加系数θ和λ由确定。则下列计算中正确的是()。（1）（2）（3）Var（S）=0.5E2（S）A.（1）B.（2）C.（3）D.（1）（2）E.（1）（2）（3）正确答案：A参考解析：由已知得：[单选题]53.假设某保单组合在一年内的理赔次数N服从均值为4的几何分布，每次理赔额X的分布为P（X=x）=0.25（x=1，2，3，4）。已知理赔次数和理赔额相互独立，记S为理赔总额，则FS（3）=()。A.0.124B.0.235C.0.346D.0.457E.0.568正确答案：C参考解析：几何分布的概率分布为：P（N=n）=pqn，n=0，1，2，…，p+q=1且其均值为：E（N）=。故由已知得：，解得：p=0.2。因此，可得N的部分分布列，如下表所示。且X分布为：因为X的最小可能取值为1，所以f*k（0）=0，k＞x，因此则fS（0）=P（N=0）=0.2，fS（1）=P（N=1）f*1（1）=0.16×0.25=0.04，fS（2）=P（N=1）f*1（2）+P（N=2）f*2（2）=0.16×0.25+0.128×0.0625=0.048，fS（3）=P（N=1）f*1（3）+P（N=2）f*2（3）+P（N=3）f*3（3）=0.16×0.25+0.128×0.125+0.1024×0.015625=0.0576。故FS（3）=fS（0）+fS（1）+fS（2）+fS（3）=0.2+0.04+0.048+0.0576≈0.346。[单选题]54.某保险公司的理赔部门平均每周收到50封索赔信件。假设信件数服从泊松分布，且信中的索赔额与信件的个数相互独立，并已知信中的索赔额分布，如表所示。索赔额分布则使用正态近似计算的在13周内的总索赔额小于1700的概率为()。A.0.783B.0.795C.0.864D.0.988E.0.998正确答案：C参考解析：由已知条件知，泊松参数λ=E（N）=50。记Yi表示第i封信中的索赔额。设X（13）表示13周内收到的总索赔额，则有：p1=E（Yi）=1×0.2+2×0.25+3×0.4+4×0.15=2.5，p2=E（Yi2）=12×0.2+22×0.25+3×0.4+42×0.15=7.2。由复合泊松分布的性质得：E［X（13）］=13λp1=13×50×2.5=1625，Var［X（13）］=13λp2=13×50×7.2=4680。[单选题]55.设理赔次数N服从均值为4的几何分布，个别理赔额X恒等于40。S表示聚合理赔额，则E［J100（S）］=()。A.81.92B.92.16C.102.40D.128.07E.132.25正确答案：B参考解析：已知理赔次数N服从均值为4的几何分布，即，解得p=0.2。所以几何分布的概率分布为：P（N=k）=0.2×0.8k，k=0，1，2，3，…。故FS（0）=P（N=0）=0.2，FS（40）=P（N≤1）=P（N=0）+P（N=1）=0.2+0.2×0.8=0.36，FS（80）=P（N≤2）=P（N≤1）+P（N=2）=0.36+0.2×0.82=0.488，且E（S）=4×40=160。所以E［J40（S）］=E（S）-40［1-FS（0）］=160-40［1-0.2］=128，E［I80（S）］=E［I40（S）］-40［1-FS（40）］=128-40［1-0.36］=102.4，E［I120（S）］=E［I80（S）］-40［1-FS（80）］=102.4-40［1-0.488］=81.92。利用线性插值法得：[单选题]56.某保险公司为一家剧院提供因停电导致损失的保险。已知：（1）该剧院停电次数N服从泊松分布，平均每年停电一次；（2）每次停电导致的损失额X的分布，如表所示。表每次停电导致的损失额分布列（3）停电次数与停电导致的损失相互独立；（4）保险公司每年赔付超过年损失额30以上的部分。则该保险公司一年内总理赔额的期望为()。A.3.78B.4.21C.5.37D.6.38E.7.94正确答案：D参考解析：由已知条件得：E（X）=10×0.4+20×0.3+30×0.2+50×0.1=21。由于N服从泊松分布，平均每年停电一次，所以λ=E（N）=1。故E（S）=E（N）E（X）=21。由于复合泊松分布的迭代公式为：fS（0）=e-λ所以fS（0）=e-1，fS（10）=×10×P（10）fS（0）=0.4e-1，fS（20）=×［10P（10）fS（10）+20P（20）fS（0）］=0.38e-1，因此FS（0）=fS（0）=e-1，FS（10）=fS（0）+fS（10）=e-1+0.4e-1=1.4e-1，FS（20）=fS（0）+fS（10）+fS（20）=e-1+0.4e-1+0.38e-1=1.78e-1。故由递推公式得：E［I10（S）］=E（S）-10［1-FS（0）］=11+10e-1，E［I20（S）］=E［I10（S）］-10［1-FS（10）］=1+24e-1，E［I30（S）］=E［I20（S）］-10［1-FS（20）］=-9+41.8e-1=6.38。即该保险公司一年内的总理赔额期望为6.38。[单选题]57.某保险公司承保车险业务。已知总损失额服从复合泊松分布，每年的损失次数为30。每次损失额，无论何种车型，都服从均值为200的指数分布。为减少理赔成本，保险公司拟对保单契约作如下修改：（1）对某些车辆不再承保。预计这项修改将使损失次数减少20%；（2）只赔偿超过100的部分损失额。则经过这两项修改后该保险公司的总理赔额的期望为()。A.923B.1345C.2911D.3819E.4276正确答案：C参考解析：已知契约修改前，每次损失额X服从均值为200的指数分布，即E（X）=200，参数α=1/200=0.005，故其密度函数为：fX（x）=0.005e-0.005x。设N′为契约修改后新的损失次数，则E（N′）=E（N）×0.8=30×0.8=24；加入免赔额后，每次损失事件的平均赔付额为：故E（S）=E[I100（X）]E（N’）=121.3061×24≈2911[单选题]58.已知聚合损失额服从参数λ=5的复合泊松分布，个别损失额X服从Pareto分布，其密度函数为：若保险公司对每次损失事件只赔付超过免赔额5的部分损失，则总理赔额S的期望为()。A.14.08B.15.98C.16.42D.17.82E.18.14正确答案：E参考解析：记X为个别损失额，Y为每次损失的理赔额，则故总理赔额期望为：E（S）=E（N）E（Y）=λE（Y）=5×3.629=18.14。[单选题]59.设某险种的保单的实际损失服从指数分布，其分布函数为损失次数服从p=0.25，r=2的负二项分布。保单规定每次损失的免赔额为500，则超过免赔额部分的总损失额的标准差为()。A.923B.1052C.1147D.1286E.1309正确答案：E参考解析：记X为个别损失额随机变量，则由已知得：E（X）=500。所以Var[I500（X）]=5×105e-1-183.942=150105.8又已知损失次数N服从p=0.25，r=2的负二项分布，所以E（N）=rq/p=2×0.75/0.25=6，Var（N）=rq/p2=2×0.75/0.252=24。故Var（S*）=E（N）Var［I500（X）］+Var（N）E2［I500（X）］＝1712648.9，故标准差为：共享题干题某保单组合的理赔次数服从参数为λ的泊松分布，个别理赔额变量X的密度函数为f（x）。对每张保单，保险人投保限额损失再保险，自留额为M，即原保险人的自留风险是：[2008年真题][单选题]1.原保险人自留该保单组合风险损失的方差为()。A.（1）B.（2）C.（1）（2）D.（3）E.（2）（3）正确答案：D参考解析：由已知，有故[单选题]2.令λ′=λP/{X＞M/A.B.C.D.E.正确答案：B参考解析：再保险人服从损失概率为P（X＞M），理赔次数为λ′=λP（X＞M）的泊松分布。再保险人损失的二阶中心距：故再保险人