2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版课时分层作业4　基本不等式

课时分层作业（四）基本不等式

[4组在基础中考查学科功底]

一、选择题

1.已知a〉0,且b>0,若2。+。=4,则必的最大值为（）

11

-4C-2

A.4B.2D.

D[4=2a+b22\丽,

即22，丽，两边平方得422",

:.abW2,当且仅当。=1,匕=2时，等号成立，

：.ab的最大值为2.]

2.若a>0,b>0,1ga+lgZ>=lg（a+Z>）,则a+b的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

C[依题意ab=a+b,

.\a+b=ab^

(a+Z?)2

即

：.a+b^4,当且仅当a=b时取等号,

：.a+b的最小值为4.]

3.（2021淄博实验中学模拟）下列函数中，最小值为2的是（）

/+3

A.y=x+~B.

r

C.y=e+e^D.y=log3%+logv3(0<x<1)

C[当xVO时，选项A错误；当OVxVl时，log3X〈0,logx3V0,选项D

一+31

错误;又）7丁+2卜,+2>2,故选项B错误.故选C.]

4.若一4V九VI,则於）=—2X~2—（）

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值一1D.有最大值一1

D[V-4<x<l,.\0<l-x<5,

._-2—2x+2_x2-2x+1+1

••/(v)=2x-2=2(x-1)

=—\(1—x)+工^W—、X2'/(1—x)7^—=—1,当且仅当]—x=

2[.1一%」21—%

J一,即x=0时等号成立.

1—X

...函数人幻有最大值一1,无最小值，故选D.]

5.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长

求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S

可由公式5=、0(p—a)~Qp—b)~(p—c)求得，其中p为三角形周长的一半，

这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c

=8,则此三角形面积的最大值为()

A.3市B.8C.4巾D.973

A[由题意得p=7,S=17(7—a)—(7—b)—(7—c)=

/7—bI7—c

、7(7i)(7—c)W币.---5-----=3巾，当且仅当7—b=7—c,即b=c

时等号成立，

...此三角形面积的最大值为3巾，故选A.]

6.若a>b>0,且必=1,则下列不等式成立的是()

1b

A.〃+方<]；Vlog2(a+力

B.*Vlog2(a+b)Va+(

C.a+.Vlog2(a+b)V,

D.10g2(6l+Z?)<a+1<^

B[根据题意,令a=2,进行验证，易知a+(=4,微==，log2(a+

5\b

0)=log2]>l,因此a+g>log2(a+6)>m，排除A,C,D,故选B.]

7.(2021•惠来县第一中学高三月考)古希腊科学家阿基米德在《论平面图形

的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡

2

时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用

一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将

5g的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码

放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金

()

A.大于10gB.小于10g

C.大于等于10gD.小于等于10g

A[由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a,右臂长为例不妨设

a>b),

先称得的黄金的实际质量为m\,后称得的黄金的实际质量为mi.

由杠杆的平衡原理：bmi=aX5,am2=bX5.

^单得〃n="，加2=非，

.5h.5a

则m\+m2=~+~j^.

下面比较加1+〃?2与10的大小：(作差比较法)

■:a*b,(/??i+m2)—10=~+^—10>2-^^><^—10=10—10=0,

即加|+"22>10.

所以这样可知称出的黄金质量大于10g.故选A.]

8.设a9>0,则层(.L.)的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

D[Va>/?>0,：.a-b>0,

."i)>o,次+奈丁大F

=屋+所"+£+77^

=/—~~7T~+ab+~^7

a\a-b)cib

岫+J22+2=4,

=a(a-b)+a4

3

当且仅当4

即4=6，时等号成立.

.•.♦+3+1的最小值是4.]

aba（a—b）1

二'填空题

9.（2021•青岛二模）命题e*<a—er”为假命题,则实数。的取值

范围为•

（—8,2]「.,命题"mxGR,e'<«—e为假命题，

/.VxGR,e，+eF2a恒成立，

+e-x2-\/ev,e-'=2,当且仅当x=0时等号成立，

故实数a的取值范围为（-8,2].]

10.已知a>0,b>0,3a-\-h=2ah,则a+b的最小值为.

Q1

2+,[因为3a+/?=2ab,所以五+甚=1,又a>0,b>0,故a+/?=（a+

»保+9=2+需+刍22+S，当且仅当黑=4时取等号，即a+b的最小值

为2+小.]

11.（2021•天津南开中学模拟）若实数x,y满足x>y>0,且log”+log2y=2,

则1+：的最小值为;上三的最大值为.

Q+y)

,实数x,y满足x>y>0,

212i

且仅当二=一，即x=26，y=啦时等号成立）,

口尢y

(x+y)2(x—y)2+4xy

当且仅当x=2g+2,y=2啦一2时等号成立.]

4

三、解答题

12.已知x>0,y>0,且2x+8y=xy,求：

(1)孙的最小值；

(2)x+y的最小值.

［解］(1)因为xy=2x+Sy^2yj2x-Sy,

即孙2队向，即xy264,

当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时，等号成立，

所以xy的最小值为64.

Q2

(2)由2x+8y=孙，得；+［=1,

xy

则x+y=(1+D(x+y)

=10+@+佳210+21/红盘=18.

yx\lyx

当且仅当区=&,即x=12,y=6时等号成立，

yx

所以x+y的最小值为18.

13.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为

24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，

无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米

400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共

计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3WxW6).

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为

1800〃(出一元(心0),若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标

成功，试求。的取值范围.

［解］(1)设甲工程队的总造价为y元，

24

贝Iy=3(300X2x4-400Xy)+14400

=1800^4-^+14400^1800X2XA/xXy+14400=28800(元)，3Wx

5

W6,当且仅当犬=三，即x=4时等号成立.

故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.

「心上―，"(,16>,1800a(1+x),“生以

(2)由题意可得1800H+工J+14400>-------------------对任意的xd[3,6]恒

(x+4)(1+x)

成立.故，

xX

(x+4)2

从而~>a恒成立,

x+1

(x+4)2a+3)

令x+1=t,=/+y+6,04,7],

x+1

9

又y=f+7+6在fG[4,7]单调递增，故ymin=12.25.

所以a的取值范围为（0,12.25）.

[3组在综合中考查关键能力]

1.（2021.山东中学大联考）已知实数x,y满足x+；+9y+：=17,其中x>0,

xy

y>0,则!+q的最小值为（）

T7

A.16B.1C.2D.16

B[因为x+l+9y+l=17,所以x+9y=17—(J+』，因为x>0,y>0,

xy\xyj

所以(x+9y)g++[17—又(x+9y©+3=10+：+誓10+

r--[X=4,fX一i九,

2#型=16,当且仅当"曳时取“=”，m4或时取“=所

7yxy%卜巧1

产五

以17—8+§♦（；+；）216.令则17£一户216,即户一177+16W0,解得

（x=4,

1WW16,即1W1+，W16,当且仅当（4时取“=”，当且仅当

6

X=1,

时取“="，所以：+q的最小值为1.故选B.]

2.(2021.辽宁开原三模)如图，将一矩形花坛ABCO扩建成一个更大的矩形

花坛AMPN,要求点B在AM上，点。在AN上，且对角线MN过点C.已知A3

=4,AD=3,那么当时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值

为•

BM

DNCD「_DN

448[令BM=x(x>0),由题意可知△CDNS^MBC,则而=后方，即丁

4I?(⑵48

=一，:.DN=——,即S矩彬AMPN=AM・AN=(4+JC)・3+二=24+3元+-224+

I~4848

2^/3x-=48,当且仅当3x=qr，即x=4时，取等号，故当8M=4时，矩形

花坛AMPN的面积最小，最小值为48.]

3.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示

的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB,BC,CD由长为8厘米的材料弯折而

成，BC边的长为2/厘米(0</<4)；曲线AO。是一段抛物线，在如图所示的平面

直角坐标系中，其解析式为y=一弓，记窗户的高(点。到BC边的距离)为_/(/).

(1)求函数加)