2023年考研数学中值定理证明题技巧-以及结论汇总

目录

第一部分：中值定理结论总结......................................................1

1、介龊理..................................................................1

2、零点定理..................................................................2

3、罗尔定理..................................................................2

4、拉格朗日中值定理..........................................................2

5、柯西中值定理..............................................................2

6、积分中值定理..............................................................3

其次部分：定醯用................................................................3

第三部分：构造函数基本方法......................................................9

一、要证明■靓一阶导数与原函耽间的糅..............................10

二、二阶导数与原函教之间关系...............................................11

第四部分：中皖醛遇分(包含领逊)..............................14

题型一：中值定理中关于6的问题

题型二：证明f(n)&)=0

题型三：证明f(n)(5)=CO(W0)

题型四：结论中含一个中值1,不含a,b,导数的差距为一阶

题型五：含两个中值5，n的问题

题型六：含a,b及中值［的问题

题型七：杂例

题型八：二阶保号性问题

题型九：中值定理证明不等式问题

第一部分：中值定理结论总结

1、介值定理

:设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及

f(b)=B,那么对于A与B之间的随意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点E使得

俄)=C(a<£<b).

Ps:c是介于A、B之间的，结论中的E取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间［a,b］上磔贝(在x)在［a,b］上有最大值M,最小值

m,若msCsM,则必存在Ee［a,b］,使得f⑹=C。倜区间上的连续函数必取得介于最大

值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多)

Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数

或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小

值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理

：设函数f(x)在闭区间［a,b］.母且f(a)与f⑹异号，即f(a).f(b)<0,刃陷用呕间内

至少存在一点"吏得f(W)=O.

Ps:留意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

3、罗尔定理

：假如函数f(x)满意：

(1)、在闭区间［a,b］上连续；

(2)、在开区间(a,b)内可导；

(3)、在区间端点处函数值相等，BPf(a)=f(b).

那么在(a,b)内至少有一点£(<a£<b),使得f'(x)=O;

4、拉格朗日中值定理

：假如函数f(x)满意：

(1)、在闭区间［a,b］上连续；

(2)、在开区间(a,b)内可导；

那么在(a,b)内至少有一点£(<a£<b),使得

f(b)-f(a)=f'©.(b-a).

5、柯西中值定理

：假如函数f(x)及g(x)满意

(1)、在闭区间［a,b］.上连续；

(2)、在开区间(a,b)内可导；

(3)、对『x(a<x<b),g'(x)/O,

那么在(a,b)内至少存在一点使得

£3)■二£3.)⑹

gS)-g(a)g'《)

Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

6、积分中值定理

：若函数f(X)在［a,b］上蜂，则至少存在一点&e伍,句使得£f{x)dx=/(1)S-a)

Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满意的，下面

我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在［a,b］上超卖，则至

少存在一点1e(a,勿使得^f(x)dx=/(£,)(。-a)

证明：设F(x)=£/(x)dx,xe［a,b］

因为/(x)在闭区间上连续，则尸。:)在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即

为了㈤)。

则对F(x)由拉格朗日中值定理有：

F(b)-F(a)\h.f(x)dx

天e(a,勿使得F'《)=一=,

b-ab-a

而尸'(1)=/⑹

所以天w(a,勿使得f/(x)公=—a)。

在每次运用积分中值定理的时候，假如想在开区间内运用，我们便构造该函数，运

用拉格朗II中值定理来证明下使其在开区间内成马上可。千万不行干脆运用，因为

课本给的定理是闭区间。

其次部分：定理运用

1、设f(x)在［0,3］上睡，在(0,3)内存缸阶导函数且2/(0)=J"(x)公=/(2)+/(3).

证明：⑴mr|e(0,2)使/(r|)=/(0)

⑵王G(0,3)使。''6)=0

证明：先看第一小问题：假如用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中

值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最终只能是0分。具体证明方法

在上面已经说到，假如要在开区间内用积分中指定理，必需来构造函数用拉格朗日中值定理

证明其在开区间内符合。

(1)、令⑺山=/(%)”€［0,2］则由题意可知/(%)在［0,2］上连续，2。内可导.

则对F(x)由拉格朗日中值定理有：

3r|e(0,2)使F'(r|)=F⑵］(6

=2=/(。)，”(。，2)

(2)、对于证明题而言，特殊是真题第一问证明出来的结论，往往在其次问中都会有运用，

在做其次问的时候我们不要遗忘了第一间证明出来的东西，我们要时刻留意下如何将第一问

的东西在其次问中进行运用：

其次问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很简洁想到罗尔定理来证明零点问题,

假如有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个

等式，假如有f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了。

第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满意结论一的形式呢，有了

这样想法，就得往下找寻了，

2/(0)=/(2)+/(3),看到这个许多人会觉得熟识的，和介值定理很像，下面就来证明:

。/(x)在［0,3］上连续，则在12,3］上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,

分别设为M,m;

则mW/(2)<M,m</(3)<M.

f⑵+〃3)

从而，m<<M,那么由介值定理就有：

2

正［2,3］阀©=/⑵;〃3)=/(0)

/(0)=/⑴)=/(c),He(0,2),ce［2,3］

则有罗尔定理可知:

3^e(0，n),/'(^)=0,笺2e(r|,c)J'(0)=0

弋€(3,&)=。3),/''()=0

Ps：本题记得似乎是数三一道真题，考察的学问点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，

最值定理，罗而定理，思路清晰就会很简洁做出来。

2、设f(x)在［0,1］上镂，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(l)=l.

喇⑴、北w(0,l)使得爬)=1

⑵、三两个不同点T］、&e(0,1),使得/'《)=l

本题第一问较简洁，用零点定理证明即可。

(1)、首对Wl数：F(x)=/(x)+x-l,xe［0,l］

F(0)=/(0)-l=-l

/⑴=/(D=l

0F(O)F(1)=-1<O

由零点定理知:北€(零1)使得的化)=0,即/(&)=1一&

(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要留意，对于真题这么严谨的题目，他的设问

是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在其次问中起到作用。在想想高数定理中的

就这么些定理，第一问用到的零点定理，从其次问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，

证明此问题也只可能从三大中值定理动身，具体是哪个定理，得看自己的状况，做题有时候

就是渐渐试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没

想法，便无从下手。另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。

本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1(你题目做多了，确定

就知道事实就是这样).并且第一问中0与1之间夹了个匕，假如我们在。与匕，自与1上

对/（X）运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。

写一些简洁步骤，具体具体步骤就不多写了：将第一问中了《）代入即可。

「⑴户箧

/'《）=，⑴-,团=1，e&l）

・・./'⑹•广⑴）=i,nw。［）=（o』），qw&D=（0/）

Ps：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，其次问有确定区分度，对

定理娴熟的会简洁想到拉格朗日定理，不娴熟的可能难以想到方法。做任何题，最重要的不

是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一

步步的去做，假如行不通了，在变更思路，寻求新的解法，假如你没想法，你就根本无从下

手。

3、设函数f（x）在闭区间［0,1］上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,f（l）=l/3.

证明：毛e（0,;j，n-fe,1）,使得：/'6）+/'（n）=L+r|

222

对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把匕、n放在

两个范围内，不像上一题中干脆来个n、^e（0,l）,这个分界点1/2的作用是干吗的。很

可能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的自，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是

我们的一个想法。那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论动身，）+/'（“）=［2+n2

我们把等式变一下：）-^2+r（n）-TJ=o，/'（自）32这个不就是）43关

于匕的导数（而且题目中f⑴=1/3,貌।烬样有点想法了），本题会不会也像£一题那样，运

用拉格朗日中值定理后相互消掉变为o呢，有了这些想法我们就要起先往下走了：

先来构造一个函数:

F(x)=/(%)-^x,F(O)=O,F(l)=O,F'(^)=2]=2尸()

2

HD-FA)I

广(n)=2=-2F()

2

广⑴)+F0=0刚好证明出来。

Ps：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论相互出

发，如何构造出函数是关键。做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，假如只

给H、1e(O,l),那就更难了得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分

开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。说明真题出的还是很有技巧

的。一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到

导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得

有式子相等才可进一步运用。

4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0

国：鸣明例曲确M藤碱*飕翻触我

r也)2:地喳

第一间课本上记住了写出来就行，考的很基础

(1).,/(%)=/(0)+广(°\+X=/'(()).x+X

jt(x)dx=j.ydx()此处不能干脆拿到施号外面，因为他不是与x无

(2)、其次问先将第一问的式子f(x)代人看看有什么结果出来

""7''《)2

y2

关的数。做到这儿，我们想方法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求

方法。题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最

小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有:

因为f(x)有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[ya],

m</ss(x)<M,nvc2<Mr2

2ma=叫E<J广化yidx<4X2dx=2Mai

3-a-a-a3

m<3,J"f(x)dx<M

a-a

所以由介值定理有结论成立。

Ps：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目

中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特殊是对于导函数连

续的，我们总得留意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。

5、设f(x)卸)，兀]上连续，且『Wr=0,J：/(x>cosx公=0.

证明：在(0,兀)内至少存在两个不同点日、12使得/(&)=/42)=0

本题看似很简洁，但做起来去不简洁。

结论是证明等式成立且为0,很简洁让我们想到罗尔定理，我们假如能找到三个点处函数值

相等，那么是不是就能有些思路了呢。

令："㈤=J；/⑺必/e[0,K],F(0)="兀)=0

似乎只需在找出一点F(c)=0即可。，如果一切如我们所想，证明也就完成了。

(x).cosx公=|tosxdF(x)=cosx-F(x)()+Isfnx-F(x)dx=0

J。J0J0

Jnsinx-F(x)<ix=0

似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，假如要用的话得先构造函数用

拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。构造函数G(x)=Isiin•尸⑺力，光曰0,兀]

J0

具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到

3ce(0,7i)，使得G'(c)=0,即sinc-F(c)=0,所以F(c)=0

所以有：F(0)=F(c)=F(n)=O,ce(0,兀)

接下来的证明就和第一题中其次小问一样了，具体就不去证明白，自己证，关键驾驭方法，

思路。

Ps：本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，假如对定理的运

用不娴熟，还是不好弄出来。本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0,简洁想到

积分中值定理，以及罗尔定理。但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，

只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，假如在实际做题的时候你不证明干脆用，估计

一半的分都没了。本题关键的就是找寻这个点C,找出来了其他的都不是问题，既然是关键

点，那得分点也确定最多了，你不证明这个点，干脆套用课本中定理(假如用的话，得分类

探讨了)，硬是说C点就成立，那估计一半的分都没了。

对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思索。

下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：基本上都是从结论动身，运用求导或是积分，

或是求微分方程，解出来也可。本人自己总结了一些东西，与大家沟通下：

第三部分：构造函数基本方法

一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：

一般都会构造出g(x)=XXX■e或者e或者x,4为随意常数

1、假如只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有e或者e-

/'(x)=/(x)可以构造g(x)=/(%)-ex

X

f'(x)+f(x)=0可构造g(x)=/(x)-e

/'(X)+/(X)=九可构造g(x)=/(X)•e'-A,•ex

「f⑺dr=/(x)这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g(x)=♦Jf(t)dt

Jaa

r(x)-乂/⑴-x)=i

先将其变形下：/'(x)—好(x)=l-版左边是导函数与原函数关系可构造：f(x)-e

右边可以看成是x'-菽也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：x从而

要构造的函数就是：g(x)=(/(x)—x)e

2、假如还涉及到变量X,想想构造/

矿(x)+/(%)=0可构造gG)=/㈤•尤

/(%)=-)区可构造g(x)=f(x)-x2

X

矿(x)+叭X)=0可构造g(x)=/(%)-x"

3、另外还可以解微分方程来构造函数：

如W(x)+/'(%)=0

In/(x)=-#+c

\nf2(x)-e'-c

r(x)"，=C

所以构造函数g(x)=f2(x)-ex2

二、二阶导数与原函数之间关系

构造带有e或者et

r(,x)=f(x)

如何构造如下:

r'w+f\x)=y、a)+/a)对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数

与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数(只不过原函数是

/'(X))之间关系，从而等式左边可以构造/'(X)•/等式右边可以构造/(X)•/总的构造

出来函数为:g(x)=(f'(x)-/(%))-e

X

另：假如这样变形：

(/''(X)-/'(x))+(/'(%)-/(%))=0

r,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构

构造函数如下：g(x)=(/'(%)+/(%))-e

造的。

从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。假如题目给了

广。)—/。)为什么值可以考虑第一中构造函数，假如题目给了_r(x)+/a),则可以考

虑其次种构造方法。

先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系

r(ri)-2r(ri)=r(n)-2/(n)

所以构造的函数为：

G(x)=(「(x)-/a)>e"

r、a)+/a)=o

这个函数的确不好构造，假如用微分方程来求会遇到复数根。

G(x)=/a)+(ra))2

G(x)=2「(x)•(/''(»+/(%))

实际做的时候还得看题目是否给了_f(x)的一些条件，假如在某个开区间内不为0,而构造

出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。

具体来看看题目:

1、设/(x)在[0,1]上选卖，在(0,1)内可导，且f(0)=f(l)=0,f(l/2)=l证明：

(1)、存凭€(；1),使徼6)=[

(2)、晌6(0,自),使得/'01)=/(1])—“+1

(1)、对一问干脆构造函数用零点定理：F(x)=/(x)-x具体具体步骤就不写了。

(2)、该问主要问题是如何构造函数：假如娴熟的话用上面所讲方法来构造：

/'(n)=/(n)F+i先变形

r(n)-/(n)=i-n

x

/㈤―=x-e

：.构造函数为G(x)=(/(x)-x)-ex

另：用微分方程求解法来求出要构造的函数

/'(n)-i=/(n)-n

(/U)-x)'=/(x)-x

ln(/(x)-x)=x+c

fix)-x=e'+<=ex-C

(f(x)-x)-e~x=C

把常数退换掉之后就是要构造的函数

G(x)=(/(x)-x)-e-'

函数构造出来了，具体步骤自己去做。

2、设/'(x)在[a,b]±^续，f(x)在(ab)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,£f(x)dx=0

W(1)雒e(。,份使得f©)=/'(3),/&)=/'(&)

(2)存在“e(a,b),r|隹匕使得「'(rp=/(rp

(1)、第一问中的函数构造：

F(x)=f(x)-ex

(2)、其次问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了

我们在这用第一种

g(x)=(f'(x)-f(x))­/

缘由在于第一问中/'(x)-/(%)=0符合此题构造。

具体具体步骤自己去写写。

3、设奇函数/(x)在［—1,1］上具有二阶导数，且f⑴=1,证明：

(1)存在”(o,i),使得r@=i

(2)存在T］e使得/''(")+r(T|)=l

第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点

本题很简洁想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数

⑴、F(x)=f(x)-x,题目中提到奇函数，f(0)=0

有F(0)=F(l)=0从而用罗尔定理就出来了。

(2)、其次问中的结论动身来构造函数，从上面讲的方法来看，干脆就可以写出要构造的

函数

r'(n)+r(n)=i

先变形下：

G(x)=(rW-l)-ev

函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只须要在(-1,0)之间在找一个点也满意

1的结论即可。也即qe(-l,0)，r(O=l

从而可以对T|，自)q(—1,1)运用罗尔定理即可。

Ps：本题为13年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为奇函数，在0点处函数值为0.

其次问关键是构造函数，函数构造出来了就一步步往下做，缺什么条件就去找什么条件或者

证明出来，13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法，考场上都很

第四部分：中值定理重点提示分类总结

题型一：中值定理中关于9的问题

题型二：证明f(n)由)=0

题型三：证明f(n)型)=CO(H0)

题型四：结论中含一个中值之，不含a,b,导数的差距为一阶

题型五：含两个中值3,q的问题

题型六：含a,b及中值&的问题

题型七：杂例

题型八：二阶保号性问题

题型九：中值定理证明不等式问题

中值定理题型

题型一：中值定理中关于I的问题

【例题1】设/(x)=arctanxIZC[O,a],f(ci)0/(0)=/2(la)a,求liml2<>

dL_10

【解答】m=i,，田/⑷□/(())=西得

1+X

a「一a□arctana

man"'*次2,解得I-023rctan。,

I2「tzDarctantzl+a-=i

hml=lim

心o+a2arctana

=lim

oOO+

a□arctana

=lim

oOO+

!□

1

3/3，

于是lim(=；。

【例题2】设/(x)二阶连续可导，且/2(x)0，又/(x+力)=/(x)+/Xx+l/z)/?

(0<1<1).

证明：liml=-。

AIZIO2

【解答】由泰勒公式得

/(尤+/J)=f(x)+fl(x)h+2!

启0+2!

,从而有，

1

*□

湃型二：证明尸")([)=0

常见思路(1)罗尔定理；(2(表值必其蚓脑温"力之间。

鞫网现任巩9癖悯骄耐静脸黑)+/(2)=3,/(3)=1，证明:

荐卷出(。身/履腿/茶也b。/吃+1h)□fKx)表=外([)

h2I〃"2

需毓娥蠹瑞耀福酬fjfZ上取到最小值旭和最大值M,

由3〃z3/(0)+/(l)+/(2)33M得加313”,由介值定理，存在cU[0,2],使得

/(c)=1,因为/(c)=/⑶=1,所以由罗尔定理,存在〔□(c,3)(0,3),使得户([)=0。

3

【例题2】设/(x)在[0』]上三阶可导，/(1)=0,令”(x)=x/(x),证明：存在〔□(()/)，

使得“吗〔)=0。

【解答】由"(0)="(1)=0,存在|?口(0,1),使得〃2([1)=0,

因为H3(X)=3X>(X)+X了«),所以H(0)=0,再由罗尔定理，存在[2口(。,[1),使

得“帆2)=0。

因为H[v)=6#(x)+6x手Q)+x/3),所以H(0”=0,由罗尔定理，存在

[□(0,[2)口(0』)，使得”暨([)=0。

题型三：证明/(")([)=C0(0)

思路：(1)高阶导数具有连续性；(2)协助函数构造

【例题1】设/(%)口C[a,b],在(a,份内二阶连续可导，证明：存在I□(4,6),使得

f(b)D2f：a+b-+f(a)=(ba)'

□2□4

【解答】由泰勒公式得

a+ba+b

f(a)=f()+fl()(a“+")+#(〔|)伍口。+")2’[|白3生土^),

2222!22

f(b)=f(a+b)+fl(a+b)(bDa+b)+#(12)3口"+”)2,[2口(^^向，

2222!2'2

两式相加得

f(b)2/(。+b)+于@=也一“)(1)+#(〔2),

242

因为p\x)□qL,G]，所以PKx)在[L,[2]上有最小值m和最大值M,

明显〃23尸([)+.([2)5M,由介值定理，存在〔口[[],[2]口(。,力，使得

2

产Q)+1AQ)=#([),于是于出)□2/("+")+/伍)=39/22(1)«

224

【例题2】设/㈤在旧1,1]上三阶连续可导，且/(口1)=0,/(1)=1,。(。)=0,证明：存

在〔□(□1,1)，使得尸22(〔)=3。

【解答】由泰勒公式得

2

…9HC

/（i）=/（o）+J"（°）+。出［2）,底□（o,i）.两式相减得

2!3!

AD/（□1）=i［/222（l。+户（I2）］＞

即fm（I\।，6"\_A

因为户3）口。［,［2］，所以/期（X）在［［I,［2］上取到最小值机和最大值M，

由2加3/&（11）+/却（12）62M得加33BM，由介值定理，存在［□□（口1,1），

使得/以〔）=3。

【例题3］设0＜的＜＜。“为〃个不同的实数，函数/（九）在［0,为］上有〃阶导数，并

满意/（©）=/（处）==/（。“）=0，则对每个（:口］。］,。“］,存在［□（0,4）满意等式

/©=（。口0）（。口。2）（也。"）m

??!

【解答】

（1）当c=a,（1Bi6〃）时，任取［□（«,,为），结论明显成立；

（2）当c%（13i3〃）时，/（c）=9®）（c出）（°4）/（"）（［）等价于

n\

加/©=.尸"）（［），令加/©=3则有

（。口。］）（。口。2）（。口。“）（。口0）（。口。2）（。口。“）

«!/（C）=攵（。口。］）（。口。2）（。口火），

令na）=m/U）□k（x□tzi）（x□（22）（尤□〃〃），显然n（x）有〃+i个不同零点

不断运用罗尔定理,存在［□（〃］4）,使得n""（〔）二o。

而00（x）=n\f（H\x）nkn\＞所以/""（〔）=左，

n

即〃"（c）=/（"）（［），所以结论成立。

（。口0）（。口。2）（。口。〃）

题型四：结论中含一个中值I，不含a/，导数的差距为一阶

3

【例题1】设/@)口。［0,1］,在(0,1)内可导，且/(1)=24尤2/(©公，证明：存在〔□(()』),

使得⑺(1)+2/(〔)=0。

【解答】令口(x)=x/(%)，由积分中值定理得

/-(l)=2+jx2/(x)^=2ec/(c)®1,其中c30,产即1〃i)=c/(c)，于是有

n(c)=n(i)>由罗尔定理，存在［□(,』)□(o,i),使得n?(〔)=o。

而n［。)=攵/!(x)+2V(x)，所以)+2l/(l)=0,留意到〔01所以有

&〔)+2/(1)=0。

【例题2】设/(X)匚C［l,2］,在(1,2)内可导，且/(1)=3，/(2)=2,厕：存在〔口(1,2),

使得

【解答】令fl(x)=x：2f(x),因为/(1)=金，/(2)=2,所以n(l)=n(2)=；，

由罗尔定理，存在〔口(1,2),使得nxl)=o,于是有1(〔)=斗

【例题3】设/(x)EiqO,l］，在(0,1)内可导，且/(0)=0,/(#=1,-1)=1。

22

(1)证明：存在皿0』),使得y(c)=c；

⑵对随意的实数％,存在〔□(0,1),使得用〔)+%"(〔)口〔］=1。

111

»\==□

【解答】(1)令〃(x)=f(x)□x，/?(0)O,7222

因为/?(，@力(1)<0；所以存在CEM1,1)(0,1),使得/7(c)=0,即/(c)=c。

22

(2)令fl(x)=铲h(x)，因为力(0)=/?(c)=0，所以由罗尔定理，存在〔□(0,c)□(0,1),

使得口!(〔)=0,于是户(〔)+左"(〔)口〔］=1。

题型五：含两个中值U的问题

【例题1】设/(x)在［a,可上磔，在(a,份内可导，且y?(x)0.证明：存在U(a,b),

4

使得叫一□心」。

/2(|)bQa

【解答】

令尸(x)=e*,月(x)=e*7)，由柯西中值定理，存在|口5力)，使得

/0)D/(«)=/2(1),即/3)口/3)=/2(1),

F0)DF(a)F2(|)'/Peel

于是有f(bX于⑷=e：e"力(I),再由拉格朗日中值定理，存在［□Q份，使得

babUae\

/2(l)=23)/⑷,故原结论成立。

bUa

【例题2】设/(x)在出力］上连续，在(〃力)内可导，f(a)=f(b)=1,证明：存在

1,1口(。力)，使得/(I)□1(1)=dI。

【解答】令FI(x)=exfix),由拉格朗日中值定理，存在|□(&,"),使得

rw口(。=口］(1)，即=臼［-(i)□/(［)］,再由拉格朗日中值定理，存在

)bUa

ba

〔□(a,b)，使得e"=在「所以原结论成立。

b\Ja

【例题3】设f(x)匚Q0/］，在(0,1)内可寻且/(0)=0J⑴=1,®J：对虢的OS/,

9U□（0,1）.

【解答】因为/(0)<°</(I)，所以存在(:□((),1)，使得/(c)=°o

a+ba+b

由拉格朗日中值定理，存在Ir(o,c),|□(c,l),使得

/©□/(0)=/2(l)c,/(1)口/(。=。(|)(1口。，整理得结论。

【例题4】设/(x).C［a,b］»在(a,〃)内可导(aEO)>证明：存在［(，匕□(。，份，

使

尸(［1)=3+匕)”|2)=3?+而+/?2)”13)。

2〔2313

【解答】令E(x)=x,F|2(x)=3x0，由扃西定理,存在［3□(a.b)，使得

32

5

/„=叩，于是9)口/⑷=d+裙+/舟AU)。

33

hDtz3居b\ja3任

令尸2(尤)=*2,F22(X)=2x0-由柯西定理，存在［2□(a,b)>使得

/3)口/3)=0(L),于是/0)/(«)=0+/"(L),

22

b\Ja2LbDa2［2

再由拉格朗日中值定理，存在［□(见份，使得/⑸二，⑷=­(1)，故原结论成立。

bGa

题型六：含及中值［的问题

情形一：a,b与〔可分别

【例题1】设出?>0(a</?),证明：存在［□(«,b)>使得aetZ?e-(«/?)(!ll)e"

【解答】ae&□加"=(。口》)(1口〔储等价于金be=(1□［泗或

aUb

ba

efje_

ba=(1口1)e1，令/(九)=",/(%)='，月(］)=□10，由柯西中值定理，存

11xx%2

ba

在［口3与，使得/(份/⑷=-(。，整理得a/也e=(a□/?)(!al)e。

F(b)DF(a)Fl(［)

情形二：a涉与〔不行分别

【例题2】设/(x),g(x)D［a,句，在(a,份内可导，且g!(x)。，证明：存在〔□伍力)，

使得/伍)口人〔)=尸(〔)。

g(l)Dg3)烈〔)

【解答】/(,八〔)=户“)等价于

g(〔)gS)g?(［)

f(a)gl(i)+g(b)fl(I)□/(I)g2(I)□/2(I)g(I)=0.

令F(x)=f(a)g(x)+f(x)g(b)/(x)g(x)，

因为尸(a)=F(b)=f(a)g(b),所以由罗尔定理，存在I(a,b)，使得尸!(〔)=。，整理

6

得/(")□/(〔)=「(〔)。

g([)E]gS)g?(l)

题型七：杂例

【例题】设/㈤在口,句上二阶可导，证明：

(1)存在］,［2口(。力)<li1)使得

/Q)+F(L)=O,川2)+尸(［2)=0。

(2)存在〔□3,0)，使得/22(1)=/(〔)。

【解答】

(1)设/+电)>0"3)>0,由/+&)〉o,存在为(兄勿，使得/(国)〉/(a)=0；

由/?(/?)>0，存在即(a,b)，使得/(即)</S)=0。

因为f(X\)/(x2)<0>所以存在c(a,b)，使得/(c)=0。

令口(x)=&f(x)，因为f(a)=/(c)=f(b)=0，所以口伍)=n(c)=n3)=0,

由罗尔定理，碎［1口3以［2口(。力)，使得口(1)=口?(〔2)=0，

而n［(x)=2"(x)+「(x)］且60,所以有/(1,)+/2(1,)=0-/(I2)+尸(12)=0。

(2)令尸㈤=e「/㈤+户⑴］，因为/(［,)=F(［2)=0,所以由罗尔定理，存在

〔.(1，］2)口(氏勿，使得网(〔)=0,而户a)=e“"畋)口/a)］且e*0)所以有

P(l)=/(l)»

题型八：二阶保号性问题

【注解】中值定理问题中若出现条件/22(x)〉0或/*x)<0，则通常有如下两种思路：

思路一：设/12(x)>0(<0)，则fl(x)单调增加(单调削减)。

【例题1】设/(x)在［(),+□)上连续，且/22。)>0,/(0)=0,证明：对随意的a>0力>0

有/(«)+f(b)<f(a+b)o

【证明】不妨设abb,由微分中值定理得

/(«)0/(0)=/］(［))«)其中0<L<a，

f(a+b)Df(b)=/2([2)«'其中b<[2<a+b»

7

因为#(x)>o且L<〔2，所以L)<「(1)，

从而/(a)□/(O)<f(a+b)n于(b)，于是f(a)+f(b)<f(a+b)。

【例题2】(1)设-2)=0,且lim#吗=3,探讨x=2是否是极值点？

q2a口2产

(2)设/22(2)=0,/&(2)=2,探讨(2,7(2))是否是拐点?

【解答】(1)因为1皿户里=3>0,所以Ltlffl耐耨性存在TM>o,当0<|XC]2|<TM

由2(X—2)

时，>0。因为(彳.2)2〉。，所以/2(x)>0,从而/2(幻单调增加，又因为

(M2)2

刀(2)=0,所以当XD(2E]TM,2)时，/2(x)<0；当XD(2,2+TM)时，/2(x)>0,于是x=2

为微小点。

(2)由/取2)=2>0得lim#(*)/⑵=]加J郴)依据极限的保号性，存在

Q2%02组2X

n2

TM>0,当0<"2|<TM时，益)>0。当』口(2口™,2)时，/Wx)<o；当xd(2,2+TM)

xD2

时，/22(x)>0,故(2,7(2))是拐点。

【例题31设f(x)在[2,+口)上满意：/⑵=J3,/2(2)=1,/22(X)>0，证明函数f(x)在

(2,+)内有且仅有一个零点。

【解答】因为外(力>0,所以fl(x)单调增加，又因为用2)=1,所以fl(x)£1，

从而当x>2时，/(x)n/(2)=/2(l)(xD2)sxa2.其中2<〔<x,于是

/(x)£/(2)+x2,由极限的保号性，lim/(%)=+，再由/(2)=23<0得f{x}至

AO+D

少有一个零点。由了!(x)£l>0得单调增加，故零点是唯一的。

思路二：运用泰勒中值定理得到一个重要不等式

定理设/(x)在3,句上二阶可导，则有

⑴若#(x)>0，则/(x)£/(x0)+f\xn)(x□沏)，等号成立当且仅当x=覆；

(2)若/22(x)<0,则/(x)3/(九0)+/(无0)。□沏)，等号成立当且仅当x=沏。

【例题4】设/Q)—C[a,b]>且7(x)〉0，取为—[a向(13i3〃)，设左〉0(13i3〃)

8

且幺+自++左,=1,证明:

+k„f(x„)»

f(k}x\+k2x2++k,,xn)8k}fM+k2f(x2)+

【解答】令沏=佑汨+k2x2++k„x„>

因为外（光）＞0,所以/（尤）£/（沏）+/5）。J。），于是

*/(X|)£/(Xo)+/[(%>)(汨□M)4Jcif(x,)Efctf(xo)+fKxn)ki(XjQxo)

*/(X2)£f(xo)+fKxo)(X2□Xo)鼠2/(X2)£22/(向)+fK^o虑(即一向)

,故.

A*

虾（招）£，（沏）+。（司）（％二X0）轨,f(x“)£k“f(R)+fKxo)k„(x„□沏)

相加得左/(X|)+k2/(X2)+

+Z/(X“)£，(Xo)。

/a)=1,证明：y(x)sxo

X

【例题5】设/(x)(7(□□,+□)，#(x)〉0,且lim

由0

【解答】由limf8=1得y（0）=0J2（0）=1,

JCOx

因为川（九）＞0，所以/（x）£/（X（））+/2（沏）（xXo），取x（）=0，则有，（x）£x。

题型九：中值定理证明不等式问题

【例题1】f（x）□C[a,b]）在（a,份内可导,/（a）=/（份，且/（%）不是常数，证明：存

在〔□3力），使得1（〔）＞0。

【解答】因为/3）=/3）且/（X）不为常数，所以存在3,份，使得/©）⑷，不

妨设/（c）＞/（a）,由拉格朗日中值定理，存在〔口（a,c）□3力），使得

/!（[）=/（c）/（a）＞0。

cUa

【例题21设/。）口。口,可，在3份内可导，且曲线y=/（x）非直线，证明：存在

I□（a,b）,使得‘⑸了⑷。

bUa

盘鼬直线为y=/（a）+,⑷

（xDa）,令

n=8口4）,明显口（a）=nS）=o，因为/（x）不为直线,

bUa

所以存在。口他,份，使得n（c）不妨设n（c）＞o。

9

由拉格朗日中值定理，存在L□3,c),〔2□(C,b)，使得

口2(1"⑹山细！K力岁二n%,

cQab\Jc

而n=，所以小〔1)〉/3)/(")JK2