2023年高二数学等差数列及前n项和题型归纳（学生）

等差数列及前n项和题型归纳题型一：等差数列及前n项和基本量运算（五个量知三求其二）知识储备：1.等差通项公式：，2.前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；方向1：等差通项公式基本量运算例题1：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于变式一：在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.变式二：等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．－8方向2：等差数列及前n项和基本量综合运算例题2：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于()A．－6B．－4C．－2D．2变式二：记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1变式三：中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（）A．71 B．72 C．89 D．90变式四：米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）A．米 B．米 C．米 D．米题型二：等差数列的判定与证明知识储备：1，定义法：(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；2，等差中项法：3，通项公式法：(n≥1，n∈N*)方向1：定义(n≥1，n∈N*)的应用例1：在数列中，，，则的值为__________.方向2：等差中项法：的应用例2：在数列中，，，，求方向3：通项公式法：(n≥1，n∈N*)的应用例3：数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？变式一：已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列变式二：已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项变式三：设数列满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．变式四：已知数列，满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列的通项公式．【拓展2】．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列是否是等差数列．变式五：已知数列满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．变式六：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列？并求其前n项和.题型三：等差数列性质及应用知识储备：1.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且（1）当时,则有，特别地，当时，则有.（2）设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列2.数列是等差数列，则为等差数列.3.若是等差数列，，…也成等差数列.4.数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5.等差数列的前n项和的最值数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．①若p＋q为偶数，则当n＝eq\f(p＋q,2)时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)时，Sn最大．方向1.设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列.例1：设数列，都是等差数列，且，，，则等于（）A．0 B．37 C．100 D．方向2：①当时,则有，特别地，当时，则有例2：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于变式1：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝。变式2．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.，求数列{an}的通项公式an；方向3：数列是等差数列，则为等差数列.例3：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，则S10＝________.变式一：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，则S2020＝________.变式二：已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________.变式三：等差数列的前项和为，若，，则（）A．12 B．18 C．21 D．27变式四：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.变式五：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.方向4：若是等差数列，，…也成等差数列.例4．已知表示等差数列的前n项和，且，那么等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,3)[变式一：已知等差数列{an}的前n项和为n.若，，则＝________.变式二：等差数列的前项和为，若，，则（）A．12 B．18 C．21 D．27变式三：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.方向5：.数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．例5.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则()A．2B．3C．4D．5变式一：设等差数列的前n项和为,,则等于()A．10 B．12 C．15 D．30变式二：已知数列为等差数列且，则其前9项和=___________.变式三：设是等差数列的前项和，若，则=__________.变式四：（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（）A． B．C． D．变式五：在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（）A．44 B． C．66 D．变式六：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－1,2n＋3)，则eq\f(a10,b10)＝________.变式七：设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（）A． B． C． D．变式八：等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A． B． C． D．变式九：已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________．题型四：等差数列的单调性及前n项和的最值问题知识储备：1.等差数列的通向公式与函数的关系()可看做是关于的一次型函数，设．当时单调递增，当时单调递增2等差数列的前n项和公式与函数的关系.数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．①若p＋q为偶数，则当n＝eq\f(p＋q,2)时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)时，Sn最大．方向一：等差数列的单调性.例1：等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是__________．变式一：（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．变式二：首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.变式三：已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.方向2：等差数列前n项和的最值问题例1：已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（）A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值变式一：（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大 C． D．变式二：等差数列的前项和为，且，，当______时，最大.变式三：.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n变式四：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，则S9的取值范围是__________。变式五：在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．巩固练习1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A.5B.6 C.7 2．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2017B．2018C．4034 D．40353．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C． D．4.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝_