2023年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷含解析

2023年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷

一、选择题(本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.一元二次方程4/一2%+；=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2.2020年2月11日，世卫组织在日内瓦召开发布会，宣布将新型冠状病毒肺炎正式命名为

“COV/D-19"；“COVID”中将每一个字母看成一个图形，那么是中心对称图形的个数为

()

A.0B.1C.2D.3

3.已知x=1是关于x的一元二次方程/=0的一个根，则m的值是()

A.-1B.0C.1D.2

4.点P(2,-5)关于原点的对称点的坐标是()

A.(-2,-5)B.(2,5)C.(-2,5)D.(-5,2)

5.一元二次方程/-6x-11=0配方后是()

A.(x—3)2=2B.(%—3)2=20C.(x+3)2=2D.(%+3)2=20

6.下列所给的事件中，是必然事件的是()

A.某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天

B.正方形的对角线互相垂直

C.某抽奖活动的中奖概率是2，那么连续抽10次，必然会中奖

D.2023年的元旦顺德会下雪

7.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两

轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程()

A.1+久=225B.1+x2=225

C.1+x+x2=225D.(1+x)2=225

8.如图，A/IBC和ADEF是以点。为位似中心的位似图形，若。4

AD=2：3,则AABC与△DEF的周长比是()

A.2：3

B.3：2

E'D

C.2：5

9.如图，在00中，AB^AC,若乙4BC=65。，则NBOC的度数为（）A

A.130°

B.100°

C.120°

D.110°

10.二次函数y=--2x-3.若y>-3,则自变量X的取值范围是（）

A.x<0或x>2B.x<1或x>3CL0<x<2D.1<%<3

11.如图，半圆0的直径48=:20,弦4c=12,弦4。平分NB4C,

.二D

力。的长为（）

A.4V5

B.6V5

C.8V5

D.10V5

12.如图是二次函数、=。/+b%+c图象的一部分，图象过点4（一3,0）,对称轴为直线久=

—1>①—4ac>0②4a+cV0③当一3W%W1时，y20④若8（-1,%），。（一5丫2）为

函数图象上的两点，则丫1>、2，以上结论中正确的有（）

X=_1%卜

r

1

1

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13.二次函数y=M-2x+m的图象与％轴只有一个公共点,则m的值为______

14.若a,b是方程2/+4》-3=0的两根，则t^+ab—2b=.

15.如图，4B是。。的弦，C是触的中点，0C交48于点。.若48=8cm,CD=2cm,则O。

的半径为cm.

16.如图，在平面直角坐标系中，点4在y轴的正半轴上，。4=1,将04绕点。顺时针旋转45。

到。义,扫过的面积记为Si，&&■*■。必交》轴于点4；将。&绕点。顺时针旋转45°到。公，

扫过的面积记为52,，。4交V轴于点4；将。4绕点。顺时针旋转45。到045,扫过的面

积记为S3,44，。人5交X轴于点4；.••；按此规律，则52022的值为_____.

三、解答题(本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题分)

解方程：2(x+3)2=x(x+3).

18.(本小题分)

已知二次函数的图象顶点为P(-2,2).且过点为4(0,-2),求该抛物线的解析式.

19.(本小题分)

如图，LCAB=4CBD,AB=4,AC=6,BD=7.5,BC=5.求CD的长.

D

20.(本小题分)

如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐

标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为4(0,3),B(3,4),C(2,2).

(1)画出△ABC关于原点。的中心对称图形并写出点B的对应点次的坐标.

(2)画出将△4BC绕原点。逆时针方向旋转90度后的图形△A"B"C".

21.(本小题分)

某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件

售价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设该商场销售这种商品每天获利w(元).

(1)求y与之间的函数关系式；

(2)求w与x之间的函数关系式；

(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每

件商品的售价应定为多少元？

22.(本小题分)

为了解市区4校落实双减政策的情况，有关部门抽查了4校901班同学，以该班同学参加课外

活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活

动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.

课外活动侑况条形统计图

(1)该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是；

(2)请把图2(条形统计图)补充完整；

(3)该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为；

(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生(分别用E,尸表示)和2位女生(分别用G,

”表示)，现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一

女的概率.

23.(本小题分)

如图，抛物线、=/+加；+＜；经过点＞1(-1,0),点8(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为

D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当0<x<4时，y的取值范围是一；

(3)抛物线上是否存在点P,使APBC的面积是ABCD面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

24.(本小题分)

在RtAABC中，乙4cB=90。，以4c为直径的。。交AB于点。，点E是边BC的中点，连结DE.

(1)求证：CE是。。的切线;

(2)若4。=4,BD=9,求。。的半径.

25.(本小题分)

如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于4(一4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2)若点。为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点。到直线4c的距离的最大值及此

时点。的坐标；

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的

坐标.

备用图

答案和解析

1.【答案】A

解：△=(-2)2—4x4x；=0,

所以方程有两个相等的实数根.

故选：A.

计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程aM+取+c=0(a40)的根与△=b2-4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方

程无实数根.

2.【答案】C

解：“C”、"V”、“D”不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重

合，所以不是中心对称图形，

“0”、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形，

所以是中心对称图形的个数为2个.

故选：C.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程.

把x=1代入方程/+„^=0,得出一个关于小的方程，解方程即可.

【解答】

解：把x=1代入方程》?+mx-0得：1+m=0,

解得：m=—1.

故选:A.

4.【答案】C

解：因为点P(2,-5)关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，

所以对称点的坐标是(-2,5),

故选：C.

根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数可得答案.

此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

5.【答案】B

解：X2-6x=11,

x2-6x+9=20,

(x-3)2=20.

故选：B.

先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(X+6)2=71的形式，再利用直接开平

方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

6.【答案】B

解：4某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，故本选项不符合题意；

B.正方形的对角线互相垂直，是必然事件，故本选项符合题意；

C某抽奖活动的中奖概率是看，那么连续抽10次，必然会中奖，是随机事件，故本选项不符合题

意；

D2023年的元旦顺德会下雪，是随机事件，故本选项不符合题意.

故选：B.

根据对必然事件的概念，即可求解.

本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不

确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染(x+1)人，第二轮共感染x(x+l)+x+l=(%+

l)(x+1)人，根据题意列方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是

解决问题的关键.

【解答】

解：设1人平均感染工人，

依题意可列方程：l+x+(l+x)x=225,

即(x+1)2=225.

故选：D.

8.【答案】C

解：与ADEF是位似图形，点。为位似中心，

月

•・•OA：AD=2：3,

又AABCfDEF,

*C^ABC：C^DEF=AC：DF=2：5

故选：C.

先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为。4AD,再利用比例性质得到。40D=2：5,

然后利用相似三角形的性质即可求出答案.

本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题.

9.【答案】B

解：­：AB=AC,/.ABC=65°,

^ACB=/ABC=65°,

NA=180°-/.ABC-LACB=50°,

由圆周角定理得：NBOC=2乙4=100。，

故选七

根据等腰三角形性质求出N4CB,根据三角形内角和定理求出乙4,根据圆周角定理即可求出NBOC

的度数.

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等

知识点，能求出的度数和根据定理得出N80C=244是解此题的关键.

10.【答案】A

解：••,二次函数y=x2-2x-3=(x-I)2-4,

••.该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=l,

令x=0,贝!]y=-3,

••・抛物线与y轴的交点是(0,3),

・・•点(0,3)关于对称轴的对称点为(2,3),

.•.当y>-3时，自变量x的取值范围是久<0或x>2.

故选：A.

把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,求得抛物线与y轴的交

点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y>-3时》的取值范围.

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

11.【答案】C

解：连接BC,OD,相交于点E,连接BD,

•••AB是半。。的直径,

4ACB=AADB=90°,

•：AB=20,AC=12,

•••BC=y/AB2-AC2=V202-122=16,

vAD平分NBAC,

/-CAB=2/-DAB,

•・•乙DOB=2乙DAB,

:.乙DOB=Z.CAB,

：.AC//DO,

・•・Z.OEB=乙ACB=90°,

CE=BE=^BC=8,

OE是A/CB的中位线，

•.OE=^AC=6,

•••OD=^AB=10,

DE=OD-OE=10-6=4,

在Rt△OEB中，DB=yjDE2+BE2=V42+82=4前，

在Rt△/WB中，AD=7AB2-DB2=J2O2-(4V5)2=8V5>

故选：C.

连接BC,OD,相交于点E,连接BD,根据直径所对的圆周角是直角可得/ACB=44DB=90。，

从而在RtAACB中，利用勾股定理求出BC的长，再利用角平分线的定义和圆周角定理可得

乙DOB=「CAB,从而可得4C〃D。，然后利用平行线的性质可得NOEB=N4CB=90。，从而利用

垂径定理可得CE=BE=；BC=8,进而可得OE是AaCB的中位线，再利用三角形的中位线定理

可得OE=：AC=6,从而求出DE的长，最后在Rt^DEB中，利用勾股定理求出BD的长，再在Rt△

40B中，利用勾股定理求出4D的长，进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

12.【答案】C

解：由题意可知二次函数图象与x轴有两个交点，即方程a/+bx+c=0有两个不相等的实数根，

・•.b2-4ac>0,故①正确；

由函数图象对称性可得函数图象经过(-3,0)和(1,0)两点，

・•・9a—3b+c=0①，Q+b+c=0②，

①+②x3并化简得：3Q+C=0,

・•・4a+c=a+3a+c=aV0,故②正确;

•••由函数图象对称性可得函数图象经过(-3,0)和(1,0)两点，

••・由函数整个图象可得当一3SxW1时，y20,故③正确；

设“=-|时，函数值为丫3，则由函数图象的对称性可得：y2=y3>

5,3,，

.•・由函数的增减性可得：丫1<丫3，

y\<72>故④错误;

故正确的有①②③，共3个，

故选：c.

根据二次函数的图象与性质解答.

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题.

13.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=a/+bx+c(a,b,c是常数，a40),△=b2-

4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac>0时，抛物线与久轴有2个交点；△=b2-4ac=0

时，抛物线与％轴有1个交点；△=b2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.根据△=-4ac=0

时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(一2/一4m=0,然后解关于?n的方程即可.

【解答】

解：根据题意得△=(-2)2—4m=0,

解得m=1.

故答案为1.

14.【答案】4

解：ra,b是方程2/+4x-3=0的两根，

3

•**a+/?=-2,ccb=-5，

:.a2ab-2b=a(a+b)—2b

=—2a—2b

=-2(a+b)

=4.

故答案为：4.

根据根与系数的关系得出a+b=-2,ab=~l，再变形后代入，即可求出答案.

本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键.

15.【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查垂径定理的运用，掌握圆中常见辅助线的作法是解题的关键.先根据垂径定理得出各线段

之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可.

【解答】

解：如图，连接。4

•••C是触的中点,

:.0C1AB,40团8。团4cm,

•・•。/团0C,CD02cm,

・・・OD^OC-CD^iOA-CD,

在Rt△0/W中，

OA2SAD2+0D2,口|1。42回16+(04-2)2,

解得。4团5cm,

故答案为：5.

16.【答案】22。187r

解：由题意△410&、△&。44、△/。。、…、都是等腰直角三角形，

0人2=，。人4=2,。人6=2-^2*…,

c457rxi21„457rx(底)21_457rx2?1„45TTX(2V2)2

..•工=^^=§兀'S2=-36b=4n，S3=』-=5兀'S'=-荻-

n-4

:.Sn=27T,

••・S=22018兀，

*2022，

故答案为:2201既，

根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径,写出部分无的值,根据数的变化找出变化规律又=

2"-47n依此规律即可得出结论.

本题考查了坐标与图形性质-旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找

出规律％=2n-4n.

17.【答案】解：•••2(x+3)2=x(x+3),

•••2(x+3)2—x(x+3)=0,

•••(x+3)(2x+6—x)=0,

•*,X,y—3,%2=6.

【解析】首先移项后提取公因式(久+3),即可得到(x+3)(2x+6—x)=0,然后解两个一元一次

方程即可.

本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是把解一元二次方程转化为

解一元一次方程，此题难度不大.

18.【答案】解：设抛物线的解析式为y=a(x+27+2,

把4(0,-2)代入得4a+2=-2,解得a=-l,

所以抛物线的解析式为y=-(x+2)2+2.

【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a(x+2)2+2,然后把(0,—2)代入求出a即可.

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据

题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三

点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，

常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来

求解.

19.【答案】解：•••AB=4,AC=6,BD=7.5,BC=5,

,ACAB4

••,

BDBC5

•・•Z-CAB=乙CBD,

BCD,

BC4

:.——=—,

CD5

sq2s

・•・CD=1BC=|X5=年.

故CD的长为学.

4

【解析】由NCAB=NCBD,AB=4,AC=6,BD=7.5,BC=5,即可证得△BCD,然

后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长.

此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

20.【答案】解：(1)如图，△4‘8'C'即为所求，点夕的坐标(一3,-4)；

(2)画如图,A4®'C”即为所求.

yA

【解析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.

(1)利用中心对称变换的性质分别作出4,B,C的对应点A,B',C’即可；

(2)利用旋转变换的性质分别作出4B,C的对应点A",B",C"即可.

21.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(/co0),

山所给函数图象可知：｛舞"工：，

解得忆潟

故丫与％的函数关系式为y=—2x+120；

(2)vy=-2x4-120,

w=(x-20)y=(x-20)(—2x+120)=-2x2+160x—2400,

即w与x之间的函数关系式为w=-2x2+160%—2400；

(3)根据题意得:600=-2x2+160%-2400,

•••jq=30,x2=50(舍)，

v20<x<38,

:.x=30.

答：每件商品的售价应定为30元.

【解析】(1)直接根据待定系数法求解析式即可；

(2)根据题意列函数关系式即可；

(3)将600代入w计算即可.

本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出解析式是解题的关键.

22.【答案】30%126

解：(1)本次调查的总人数为10+25%=40(人)，

・••参加音乐类活动的学生人数为40x17.5%=7人，参加球类活动的人数的百分比为余X100%=

30%,

故答案为：30%；

(2)补全条形图如下:

图1

⑶720+40x7=126人;

(4)如表：

第一人

EFGH

第二人

EF,EG,EH,E

FE,FG,FH,F

GF,GF,GH,G

HE,HF,HG,H

P(一男一女)=w=I,

答：恰好选中一男一女的概率是|.

(1)先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；

(2)根据(1)中所求数据即可补全条形图；

(3)总人数乘以棋类活动的百分比可得；

(4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

23.【答案】-4Wy<5

解：⑴「抛物线y=/+bx+c经过点点8(2,-3),

.—b+c=0

'U+2b+c=-3‘

解得:=

lc=-3

抛物线的解析式：y=M—2x—3；

(2)vy=%2—2x-3=(X—l)2—4,

又1>0,

・・.抛物线开口向上，当％=1时.，y有最小值一4,

当％=0时，y=-3,

当％=4时，y=5,

・•・当0<xV4时，—44yV5,

故答案为：-4<y<5；

(3)存在，理由如下:

vy=%2—2%—3=(%—I)2—4,

・・・。点坐标为(1,一4),

令K=0,则y=%2—2%—3=-3,

・・・。点坐标为(0,-3),

又•・,8点坐标为(2,—3),

・・・8。〃%轴，

•*,S^BCD=2*2'1=1，

设抛物线上的点P坐标为(771,62-2m-3),

SABC=|x2x\m2—2m—3—(―3)|=\m2—2m\,

当Im?-2m\=4x1时,

解得加=1±圾,

当TH=1+而时，Hl?-2巾-3=1,

当m=1-近时，m2-2m-3=1,

综上，P点坐标为(1+后,1)或(1一遍,1).

(1)待定系数法求解析式即可；

(2)当％=0,求出y值，当无=4求出y值，再结合二次函数最小值，即可得出当0<%<4时，y的

取值范围；

(3)设抛物线上的点P坐标为(孙根2一一3),结合方程思想和三角形面积公式列方程求解.

本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标

特征，利用方程思想解题是关键.

24.【答案】（1）证明：连接OD,CD,

•・・Z,ACB=90°,

/.Z.ACD+Z.DCB=90°,

•・•OC=OD,

・•・Z-OCD=Z.ODC,

•・,4C是。。的直径，

・・・Z,ADC=90°,

・•・Z.CDB=180°-Z.ADC=90°,

•点E是边BC的中点，

•••DE=CE=^BC,

・••Z.DCE=Z.CDE,

・・•乙ODC+乙CDE=90°,

・・・乙ODE=90°,

•・・。。是。。的半径，

・•.CE是。。的切线；

(2)解：AD=4,BD=9,

■■AB=AD+BD=4+9=13,

•••Z.ACB-/.ADC-90°,Z.A-z.A,

.•■^ACB-'^ADC,

.••生=丝，

ADAC

AC2=AD-AB=4x13=52,

•••AC=2V13.

•1•O。的半径为VT5.

【解析】(1)连接OD，CD，根据已知可得4ACD+乙DCB=90。,利用等腰三角形的性质可得乙。。£>=

aDC,根据直径所对的圆周角是直角可得NCDA=90。，从而利用直角三角形斜边上的中线可得

DE=CE,进而可得NDCE=NCDE,然后可得乙。。。+4CDE=90。，即可解答；

(2)利用(1)的结论可证△ACBsAAOC,从而利用相似三角形的性质可求出4C的长，即可解答.

本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟

练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键.

(1)证明：连接。。，CD,

■：^ACB=90°,

•••^ACD+Z.DCB=90°,

•••OC=OD,

・•・Z-OCD=Z.ODCf

•・・/c是。。的直径，

・・・AADC=90°,

・•・乙CDB=180°-(ADC=90°,

・・・点E是边8C的中点，

1

・・・DE=CE=”C,

・••Z-DCE=乙CDE,

・・・Z.ODC+乙CDE=90°,

・・•Z.ODE=90°,

0。是。。的半径，

••.DE是。。的切线；

(2)解：：AD=4,BD=9,

•••4B=AD+BD=4+9=13,

VZ-ACB=乙ADC=90°,=乙4,

**•△ACB^^ADC,

_A£_AB

"而=而’

；.AC2=AD-AB=4X13=52,

AC=2V13,

・•・O。的半径为g.

25.【答案】解：(1)抛物线y=a/+bx+c与x轴交于4(一4,0),8(2,0),与y轴交于点C(0,2).

16a—4b+c=0

4a+2b+c=0,

c=2

11

X2X+2

••・抛物线的解析式为y=4--2-

(2)过点。作DH148于4,交直线4C于点G,过点。作DE_L4C于E,如图.

设直线4C的解析式为y