2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：椭圆、双曲线与抛物线（原卷版）

专题10椭圆、双曲线与抛物线

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知椭圆+50〃，i的上顶点为h,两个焦点为L，12,离心率为g,过L且垂直

于帘2的直线与i交于LI两点，；向=6,则△hlT的周长是.

卜母题题文】已知L为坐标原点，点h〃,〃在抛物线iI2=2yW®>0)上，过点上0,-〃的直线交i于］,N两点，

则()

A.i的准线为W=-1B.直线hi与i相切

C.|L］|.\W\>廿|2D.|I1|.|I1M|>|Ih|2

【母题来源】2022年新高考H卷

卜母题题文】已知直线q与椭圆二+卑=1在第一象限交于h,1两点，q与•轴3轴分别相交于K，K两点，且晌=

63

向|,网=2道,则直线q的方程为_____.

【母题题文】已知L为坐标原点，过抛物线］.•02=29-8>0川勺焦点用勺直线与1交于11,i两点，点h在第一象

限，点KG，少,若同|=|/,则()

A,直线hi的斜率为2GB.IUI=IUI

C.|hl|>4|U|D.4帖+4k<180°

回题雨回

【命题意图】

考察椭圆、抛物线的定义，标准方程，儿何性质和综合应用.考察运算能力，逻辑推导素养，数形结思想,

化归和转化的数学思想。考察分析与解决问题的能力.

【命题方向】

椭圆、抛物线，双曲线的方程、定义和性质，是高考的必考内容之一，多以小题形式出现，试题可以是常

规题，中等难题，或者压轴小题难度，也是考试学生丢分点之一.

【得分要点】

圆锥曲线三大定义

一、三大曲线第一定义

椭圆第一定义：|P耳|+|P6|=2a

双曲线第一定义：IIWI-I尸工||=2a

抛物线定义：|PE|=d

解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离.

二椭圆双曲线曲线第二定义：

1.平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e,即单=«

d

2.焦半径公式：

椭圆焦半径：户用=巴士a

双曲线焦半径：.户在左支：|「打=-用士a*右支:|PR|=ex0±a

抛物线焦半径：|尸口=%+](或为+9

3.焦半径范围

椭圆焦半径范围：a-c<|PF|<a+c

双曲线焦半径范围：.|PF|Nc-a,或"户c+a

抛物线焦半径范围：|尸尸^

4.解题技巧：

焦半径角度公式.其中，e为焦半径与焦点轴所成的角p为焦点到对应准线的距离

椭圆焦半径夹角公式：|尸曰=:吟,|呜=:生1

1'」l-ecos^1石।1+ecosS

双曲线焦半径左焦点夹角公式：.=-e-P\PF)\=---eP

111-ecos^111+ecosS,

抛物线焦半径夹角公式：IPFI=一^;

11i-cose

三、第三定义

i.第三定义，又叫中点弦定理

x2y2_

-T+-7T=h1

(1)AB是椭圆b-的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则自必次"二一一r=e2-l.

H

(2)AB是双曲线4。-4b-=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则《“=/=e?-1.

(3)AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则丫。,38二尸

2.扩展推论

/+必_]

(1)AB是椭圆/b2的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

KpAKpB_2

a

22

(2)AB是双曲线0-白=1的关于原点对称的两点，P双曲线上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

ab~

《PAkpB—2

a

四、焦点三角形

1.焦点三角形

(1)焦点三角形面积

椭圆：S.F=b2tan幺"

urn,

L2

双曲线：s©g=/FPF

2

p-

AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，8为直线倾斜角，则“。”=一

2sin8

2.顶角

(1).椭圆顶角在短轴顶点处最大.

(2)双曲线顶角无最大最小

3.与余弦定理结合

x2v2

⑴设椭圆r+==l(a>0,b>0)的两个焦点为R、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在aPFR

ab

cinnc

中，记/与尸乙=Q,4PF\F2=B，/F\FF=Y，则有[-------=-=e.

sin|/+sin/>a

22

(2)设双曲线0-白=1(a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在

ab

Qinrtr

△PF1F2中，记/月产工=4,4PF1F)=B、纽F?P=Y，则有一-----；—=—=e.

|siny-sin回a

一、单选题

22

1.（2022•河北衡水•高三阶段练习）已知椭圆c：2+g=1（〃>6>0）的左、右焦点分别为耳,椭圆上

点尸（xj）到焦点工的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为（）

B.好

D.2

2c空

2.（2023・全国•高三专题练习）双曲线E与椭圆C:二+己=1焦点相同且离心率是椭圆C离心率的百倍,

62

则双曲线E的标准方程为（）

A.x2-^-=lB.y2-2x2=1C.--^=1D.—~y2=\

3J223

3.（2023•全国•高三专题练习（理））设F为抛物线C：F=4X的焦点，点4在C上,点8（3,0）,若川=忸川,

则|阳=（）

A.2B.2拒C.3D.3亚

4.（2022•湖北武汉•高三开学考试）已知椭圆「：0+乌=1（。>/>>0）的两个焦点为耳，F],过玛的直线

ab，

与「交于4B两点.若I典1=3离同，|明=2|/周,则「的离心率为（）

A.-B.—C.叵D.—

5555

5.（2022•新疆三模（理））已知双曲线。三-4=1（。>0,j0）的左、右焦点分别为月，入，过点耳且斜率

a~b~

为-3s的直线与双曲线在第二象限交于点a/为/心的中点，且百元.赤2=o,则双曲线c的渐近线方

程是（）

A.y=±V3xB.y=±^-x

125

C.y=±—xD.y=±—x

512

6.（2022•山西・怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知抛物线C：y2=ax（a>0）的焦点为尸，点A为（0,-6）,

若射线E4与抛物线C相交于点B,与准线相交于点。，且|必|:忸D|=I:6,则4的值为（）

A.275B.2下>C.GD.75

7.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆支+广=1的左、右焦点分别为耳、F2,第一象限内的点M在椭

253

圆上，且满足点N在线段耳、心上，设乂=翻，将△〃鸟巴沿阴呼翻折，使得平面脑阴与

\NF2\

平面小垂直，要使翻折后归用的长度最小，则4=（）

22

8.（2023•江苏•南京市中华中学高三阶段练习）如图所示，耳，乃是双曲线C：［一二=i（a>0,b>0）的

a-b~

左、右焦点，过百的直线与C的左、右两支分别交于a8两点.若|4叫:怛巴卜|/8|=3:4:5,则双曲线的离

心率为（）

B.小

C.V13

D.G

9.（2022•全国•高三专题练习）已知点F为抛物线V=4x的焦点，，点M为抛物线上一动点，当瑞

最小时，点M恰好在以4尸为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（）

A"B2+2&C.3+26D.呻

10.（2020・全国•高三专题练习（文））已知点4是抛物线/=41的对称轴与准线的交点，点R为抛物线

的焦点，尸在抛物线上且满足忸斗=哪喈I，当”;取最大值时，点尸恰好在以4日为焦点的双曲线上，则

双曲线的离心率为

-s/5—1

c.^2-1D.在—1

22

11.（2022・全国•高三专题练习（理））耳生是双曲线C:-r-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点，直线1为双

ab“

曲线C的一条渐近线，耳关于直线1的对称点为尺，且点尺在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，

则双曲线C的离心率为

A.V2B.逐C.2D.百

12.（2021•河北•正定中学高三开学考试）过点尸作抛物线C:/=2y的切线心4,切点分别为〃，N,若

的重心坐标为（1,1）,且尸在抛物线。:丁=〃式上，则。的焦点坐标