2023年高考黑马逆袭数学试卷-广东数学试卷01（高考仿真模拟）（解析版）

2023年高考数学黑马逆袭卷一广东卷01（高考仿真模拟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数?三（i为虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合M满足{2,3}="={1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

4.已知角a的终边过点尸（3a,-4a）（a<0）,则tan（a+45。）的值为（）

5.英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到

e=l+[+]+[++!+厂-（其中e为自然数的底数，其拉格朗日余项

1!2!3!n\+

「

是长刖.可以看出,右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确•若

21

77179近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项4，R”不超过短时，正整数〃的最小

（〃十1J.1000

值是（）

A.5B.6C.7D.8

22

6.已知A（0,4）,双曲线?一q=1的左、右焦点分别为月，F2,点尸是双曲线左支上一

点，则|网+|帆|的最小值为（)

A.5B.7C.9D.11

7.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

34/436,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

811「27811「27641,„

A.18,—B,—C.—D.r18,27

L4J144」143」

Le2

8.已知”=2e&，b=ee,c,试比较a,b,c的大小关系为（）

In2

A.b>c>aB.b>a>c

C.oa>bD.c>b>a

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（）

A.“都是红球”与“都是白球”是互斥事件

B.“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件

C.“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件

D.“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件

10.设函数/（x）=.,则（）

smx4-cosx

A.〃x）的一个周期为兀B.在上单调递增

C.“X）在上有最大值乎D.“X）图象的一条对称轴为直线

11.已知数列｛q｝满足4>0,«„+.=y+-,｛4｝的前〃项和为5,，则下列说法正确的有

乙an

（）

A.对任意4>0,｛q｝不可能为常数数列

B.当4>3时，｛4｝为递减数列

C.若q=l,贝ljq<2+^y

D.若4=1,则％

%a2an4

2222

12.如图，P是椭圆G:二+与=1（。>人>0）与双曲线C,:二-与=1（胆>0.”>0）在第一

a-h-m-n-

象限的交点，且GC共焦点耳序="G，G的离心率分别为巧,eZ,则下列结论不

正确的是（）

13

B.若6=60。，则7+/=4

C.若6=90°,则e；+e；的最小值为2D-.tan—9=一b

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(4,2百)，人=(一则“电-卜卜.

14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》

卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数

之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的

正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛q｝,记数列｛q｝的前〃项和为5“，则

卫理的最小值为.

n

15.在4ABC中，点G是ABC的重心，过点G作直线分别交线段AB,AB于点N,M

S

(M,N不与ABC的顶点重合)，则产处的最小值为.

16.已知函数〃x)的导函数尸(x)满足：f'(x)-f(x)=e2x,且"())=1,则/(x)的R解

析》式为〃x)=；当x>0时，x[/(x)-“]2l+lar恒成立，则实数。的取值

范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知_MC的内角A3,C的对边分别为a,b,c,5为钝角.若一/1BC的面积为

S,且4bs=.(从+。2-〃)

n

(1)证明：B=—I-A；

2

(2)求sinA+sinC的最大值.

18.(12分)对于数列4=(〃+1)2'，〃wN*,的前〃项和，在学习完“错位相减法”后，善

于观察的小周同学发现对于此类“等差x等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是

她的思考过程：

111

①为什么而用二7一可以裂项相消？是因为此数列的第〃+1项有一定关系’即

第n项的后一部分与第n+1项的前一部分和为零

②不妨将%=5+1)2〃，也转化成第小〃+1项有一定关系的数列，因为系数不确

定，所以运用待定系数法可得a“=(P”+4)2"-[p(〃+l)+g]2"M=(〃+l)2",通过化简左侧

并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列q=(〃+1)2",”N,表示成«„=(p〃+q)2"-[p(〃+1)+c/~\2"+,形式，然后运用

“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定耍将基

础的“错位相减法”掌握.

(1)(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法“求｛可｝的前"项和加

(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法"求｛为｝的前〃项和

S-

19.（12分）已知底面为正方形的四棱柱MCD-A'B'C'。，AD=AA=4,E,F,H分别

FP

为A4',AD,CD'的中点，三角形S.E的面积为4,P为直线F"上一动点且一r=2

PH

（1）求证:当）=1时,BPA.AC-,

（2）是否存在2,使得线段8P与平面BC'E夹角余弦值为9.

20.（12分）2022年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术

亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高

频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位.为了研究该技术的可靠性，现从生产的传

感芯片中随机抽取100个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：Hz）统计后，得到的

频率分布直方图如图所示：

（1）求这批芯片的最高频率的平均值工（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和

方差

（2）根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率〃服从正态分布

用样本平均数提作为〃的估计值〃，用样本标准差作为。的估计值试估

计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率；

（3）若传感芯片的最高频率大于80Hz,则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内

置上（%=1,2,3,4）个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可

以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判

指证、慢动作回放等方式进行裁定.已知每个传感芯片的生产和维护费用约为1万元/场，

因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为12万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个

足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？

219

附:/J(/z-cr<x<//+cr)®/1(/z-2cr<+■卜

320

399

-3cr<x<//+3cr)

400

21.（12分）已知£，K分别为双曲线捺-/"＞。力＞0）左、右焦点，叩夜网在双

曲线上，且PF;PK=4.

（1）求此双曲线的方程；

（2）若双曲线的虚轴端点分别为（号在y轴正半轴上），点A8在双曲线上，且

B2A=/jB2B（^eR）,耳A，耳3,试求直线AB的方程.

22.（12分）已知函数/（x）=alnx+x的图象与x轴有两个交点A（X1,0）,

成天,。8产％）.

（1）求实数”的取值范围；

（2）设点C（x。#）,满足AC=4CB,且/（/）＞°恒成立，求实数义的取值范围

参*考*答*案・・,.一

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.C

R解析X依题意不1=（，+对应的点为在第三象限.

故选：C.

2.C

R解析U因为{2,3}=M={1,2,3,4,5},

所以集合M可以为：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共8个,

故选：C.

3.B

R解析U因为/（-x）=（2'-2-）8S（r）=-（2T-2）co&r=-〃x）,所以为奇函

数，排除A,C选项；又，（2）=（；-4）xcos2>0,所以排除D,

故选：B.

4.B

R解析》因为角a的终边过点P（3a,-4a）（a<0）,则tana=?=-:

tana+tan45°1

所以tan(a+45°)=

1-tancr+tan45°7,

故选:B

5.B

K解析》由题意,可得的品"焉,即（〃+1200。,

当〃=5时，6!=720<2000：

当〃=6时，7!-5040>2000,

所以〃的最小值是6.

故选：B.

6.C

22

R解析』由双曲线二—匕=1,则偏=4,加=5,即。2=/+从=9,且耳(-3,0),由(3,0),

45

由题意，I时卜|「用=2

22

\PA\+\PF2\=\PA\+2a+\PFl\>\AFl\+2a=>j3+4+4=9,

当且仅当AP,4共线时，等号成立.

故选：C.

7.C

K解析》•••球的体积为36兀，所以球的半径R=3,

K方法一也导数法

设正四棱锥的底面边长为2“，高为人,

贝1|尸=2“2+〃2,32=2«2+(3-//)2,

所以6〃=广，2a2=l2-h2

ii2/4/21f/6

所以正四棱锥的体积

333366913M

所以叫卜一卜京性斗

当34/42后时，V'>0,当26</436时，V'<0,

所以当/=2"l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为年64,

27Q1

又/=3时，V=—,/=3后时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为3，

所以该正四棱锥体积的取值范围是y.y

故选：C.

K方法二也基本不等式法

—r3

A21l(12-2力)+/?+/?=必当且

由方法一故所以V=§=§(60-A2)/?=-(12-2〃)〃xQx

3[_3J3

仅当〃=4取到），

当仁|时，得a浮，则嗑“=#■堂x|=*

当/=3百l时，球心在正四棱锥高线上，此时〃=]3+3=]9,

孝。=理=。=整，正四棱锥体积=*答）2xg=?＜与，故该正四棱锥体积的

取值范围是耳，争.

8.B

K解析X先证明两个不等式:

(1)21nx<x--(x>1),^/(x)=21nx-x+—(%>1),贝lj

XX

==\<O(X>1),即/(x)在(Lw)上单调递减，故

XX~yXJ

/(x)</(l)=O,即21nx<J(x>l)成立

X

(2)P(x>l),设g(x)=lnx_2(/D(x>]),贝lj

X+lX4-1

14(r-n2

g'(X)=±_zA^=：即煎工)在(L”)上单调递增，故

X(x+1)x(x+l)

g(x)>g(l)=O,即Inx>^^(x>l)成立

x+l

再说明一个基本事实，显然3＜兀＜3.24,于是1.73＜石＜五＜1.8.

由(1)可得，取x=2,可得21n2<1.5oln2<0.75oe"”>2；

由(2)可得，取x=2,可得ln2>；2,再取x=]4,nJWln4->12>0.27,即

e027<±=e为27>3.

34

c

hP6-&e-1.80.75

-=-V=-->-—>—>1,显然。>0,于是方”；

a2e«222

e2

c_In2_e*■"3e-\"2-^t-o.27_1.73-Vn0_1,显然。>0,于是c<〃.故b>a>c.

-=—T=-=--<--------------<e=e<e=i

a2e^2In24

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AB

K解析U“都是红球”与“都是白球”不能同时发生，是互斥事件，A对；

“至少有一个红球'’与"都是白球''不能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，B对；

“恰有一个白球''与"恰有一个红球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，C错；

“至少有一个红球,，与“至少有一个白球,，能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，D

错

故选：AB.

10.BD

sin2（x+n）sin（2x+2;t）_sinlx

K解析1对A：/（X+7T）=

sin（x+7t）+cos（x+n）-sinx-cosxsinx+cosx

故兀不是的周期，A错误;

对B：令.=$出苫+85犬=&$亩|x+f|,如Jsin2x=2sinxcosx=/-1,

'则x+：€（°，"|），sin（x+：）e（O,l）'

.•.r=V^in卜+：）在（o.?上单调递增，且r=^sin（x+?e（0,匈，

又•••）=・；在（0,+8）上单调递增，故"X）在（-：,；）上单调递增，B正确;

对c：卜:中｝则》+3（。,兀），

sin[x+：）£（0,l],则f=V5sin（x+：）£（O,0],

又♦.0=/-；在（0,应]上单调递增，且儿=&=叵-1y/2

.•.y"；在(0,何上最大值为日，

即〃x)在上有最大值4，C错误;

sin(?c-2x)_sin2x

对D：=〃x),故f(x)图象

cosx+sinxsinx+cosx

的一条对称轴为直线V，D正确.

故选：BD.

11.BCD

K解析U因为4>0,4角=?+2，故%>0.

Nan

对于A,当q=2时，an=2,即数列®｝为常数数列，故A错误;

对于B,当4>3时,

a.2

若存在〃“，使得等号成立，则。“=2,故2=矢+—,故a,z=2,

a

乙n-l

依次有4=2,矛盾，故。“>2,

则4+「4=2—之=£卢<0,即《:<%，所以｛4,｝为递减数列，故B正确;

a„22an

对于C,由q=1得生=g+2=|>2,由A,B知，当”22时，4,>2,

故一4+1"4+1(〃22),则为一2<：(%—2)<〈与(出-2)=与,

故勺<2+击，当"=2时，％=|=2+击，此时等号成立，故C正确；

对于D,由题有八吟=，S“=q+/++«„,则今=g+g++%两式相减得

Na.2222

222S“+a〃一24

—+—++---=———----L,

a

4。2n-\2

11,1_S“+i+4+i-2qS+2%+i-2%5“+a

所以一+一+H-------------------n--------------<---n---

%an444

一cc4c

(K提示H：2%-2q=4+---2<%),故D正确.

故选：BCD.

12.ACD

]PFt\+\PF2\=2a

K解析H依题意,1|P用一俨4=2机解得附=a+加附|=a-mA不正确;

令叱|=2c,由余弦定理得:

cos〃_|P」F+|/Yj-|T』|2_(〃+­)2+3-+)2_4,2_/+加一2c?

1

"''2\PFt\\PF2\―2(a+m)(a-m)~~a-nr-，

j3

222

当。=60。时，a+3OT=4c,即(与2+3(')2=4,因此r+r=4,B正确；

ccqq

当6=90°时，a2+nr=2c2,即(与2+(丝了=2,有二+三=2,

ccq4

而0<e；<l<e；,则有d+4=20；<2(且爱)2,解得e：+e；>2,C不正确;

a2+in2-2c2(a2-c2)-(c2-m2)

cosO=

a2-nr(a2-c2)+(c2-trr)

0,0

cos2--sin2l-tan"2—1-tan2—l-(-)2

cos^cos^-sin^=

21=______2于是得------J=-J

222

cos2-+sin2-1I+tan2。1+tan-l+(令2

222

解得，*=铲而吟畤>。，因此tang=2,D不正确.

2b

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.0

K解析》«.6-1/,|=(4,2>/3)•(-1,V3)-^(-1)2+(V3)2=-4+6-2=0,

故K答案》为：0

一61

14.—

2

K解析员被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为

8,公差为15的等差数列{%},贝|JS“=8〃+殁辿xl5=?/+g〃

.S“+3015”।30।I*J15”‘3O।1_61

*'—n一~~T+~^+2~+2

当且仅当学=理，即n=2时，等号成立，

2n

...鼠史的最小值为日.

n2

故K答案》为：V-

15.1+近

2

K解析》设4M=X4C，AN=“B,2,〃e（。」）.因为G是一ABC的重心,

所以AG=；(AB+AC).由M,G,N三点共线可知，

AG=kAM+(]-k)AN=kAAC+(]-k)pAB(O<k<\).

U=-

3解得4=J

由平面向量基本定理可知'/Z-3(1-A:)J

(一)〃=;3k

q

所以沁L:AN"CMG-

-----=A=也…=］」

J△/t8GAB3(1-〃)'S^ACGAC3k

所以S〉ANG

3(一)

因为G是ABC的重心，所以S4CG=S^BG,故

1

5*_3(1/_%_1>17+石

SACMGJ_-L-3K+44-1-3^--1+44-2A/32

3kk

当且仅当女=1(0<%<1),即出邛时,等号成立.

故K答案》为：1+且.

2

16.e2r3，2]

K解析》设8(力=竽，则g，⑺J(”/(x)§=e]故g(x)=e'+c,

则〃x)=(e'+c)e*,又因为〃0)=1,即l+c=l,

所以c=0,f(x)=e2',x(e2A-a)>1+Inx,

因为xe(0,4w),所以a4J-lnx=Hlnx在了6(0,内)上恒成立,

xx

其中e2kM.2x+lnx+l,

理由如下：构造0(x)=e'—x—l,则”(x)=e'—1,

令"(x)=0得：%=0,当x>0得：0'(力>0,

当XV。得：d(x)vO,

故e(X)在x=0处取的极小值，也是最小值,«?(%)>^(0)=0,从而得证.

.fg*-A+,nx_]2x4-lnx+l—1—Inx.,,_

故------------>-----------------=2,故aW2,

xx

即实数a的取值范围为(f,2]

故K答案》为：e2，，(F,2].

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)证明：由余弦定理cosA=3■二一匕得3ccosA=^+c2—

2bc

4bs〜4h1.八

-----=2bccosAA=—x—acsinB,

aa2

cosA=sinB,

cosA=cos^B-^,

TT

8为钝角，则A3--均为锐角，

2

兀71

:,B--=Af即5=々+4；

22

(2)解：sinA+sinC=sinBj+sinBB-yj

=—cosB—cos2B=—2cos~B—cos3+1，

令8sB=f,B为钝角，则，

9

+

8-

1i9

当/二一一，E[JcosB=一一时，sinA+sinC取最大值，且为一.

448

18.解：(1)因为q=(〃+1)2〃

所以S〃=q+生+〃3++an=2x2'+3x2?+4x2、+(〃+1)2”①

贝lj2s“=2x22+3x2,+4x2,+…+(〃+1)2'用②

所以①-②得：-S„=2X2'+(22+23++2")-(〃+l)2"i=4+^^—-(，?+1)2向=-n-2"+,

所以S“=〃2”；

(2)因为%=(〃+1)2”,设

4,=(8+4)2"-［。("+1)+小*'=(-川-<7-2。)2",

比较系数得：［：：［,=1，得［：］二，所以%=(-〃+1)2"-(-〃)27

a

所以Sn=q+2+。3++n

=0X2'-(-1)X22+(-1)X22-(-2)X23++(-«+1)2H-(-Z2)2n+l=n-2"+|

19.(1)证明：连接BRBTT,

因为S=,A£.A8•sinNBAE=4sinZBAE=4,

1/tAoc.2

7T

所以sin/B4£=l,所以=即

又AO_LA4',ADr>AB=A,AD,ABu平面A8C£>,故A4,J_平面ABC。，

FP

当4=1时，——=4=1,则尸为"7中点，P在夕少上，

PH

；平面ABC。，ACu平面ABC。，._LAC,

又AC_L8O,DD'BD=D,DD',BDu平面BDD8,

，AC_L平面比)/55,

又BPu平面BZMJE,，BP_LAC；

(2)解：以。为原点，2M所在直线为x轴，OC所在直线为旷轴，所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

A0(0,0,0),3(4,4,0),E(4,0⑵，C'(0,4,4),设尸(62-4,4),

所以砒=(O,T,2),3C'=(T0,4),BP=(a-4,-a-2,4),

设平面BC'£的法向量。=(x,%2),

n-BE=0［―2y+z=0,、

则(，即《八，令z=2,则>=Lx=2,/.n=(2,1,2),

n-BC=0［r+z=0

若线段BP与平面8C'E夹角余弦值为9,

8

则上os(B尸,〃

BPHa2_V35

/.|cOS^SP,/7\-\

BP^n3J2a2—4〃+36=~6~,

•*.33a2-62a+622=0,

A=(-62)2-4x33x622=-78260<0,方程无解,

不存在%，使得线段BP与平面BCE夹角余弦值为!.

7=72.5x0.045+77.5x0.105+82.5x0.25+87.5x0.385+92.5x0.135+97.5x0.08=86，

­=(72.5—86)2X0Q45+(77.5_86)2x0.105+(82.5-86)2x0.25+(87.5-86)2x0.385

+(92.5-86)2x0.135+(97.5-86)2x0.08=36.

(2)解：由题意可得〃=86,a=6,则

/X1P(U-CT<X<Z/+cr)5

P(X>80)=尸(X=-+—--------------------〃-.

因此，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率约为3・

(3)解：(i)左=1时，足球可以满足赛事要求的概率为四=:，

6

5117

期望成本W(l)=lx?+12x：==；

(ii)%=2时，足球可以满足赛事要求的概率为。2=(耳+C]”=史,

\6J6636

QC1QO

期望成本w⑵=2x9+12x9=3=41

36363618

(iii)左=3时，足球可以满足赛事要求的概率为03=图+砥<图卷.

7S9QQ11

期望成本W⑶=3x万+12X万=5=彳；

(iv)%=4时，足球可以满足赛事要求的概率为

期望成本卬(4)=4*慧425+12'73=223

3T

所以，w(z)(i=1,2,3,4)中，W(2)最小.

综上，k=2,成本最低.

21.解：(1)设6(-c,0),马(c,0)(c>0),则/^=卜0-2亚,-6),

PF?=(c_26，曲,

2

:.PFlPF2=8-c+5=4,解得：c=3,;./+y=9;

又尸在双曲线上，则W=l，"=4,6=5,

，双曲线的方程为：—-^=1.

45

（2）由（1）得：B,（0,-75）,B,（0,>/5）,

8/=〃与8(〃€2，三点共线,

直线A8斜率显然存在，可设48:丫="+石，A(X|,yJ,^(马,%),

y=kx+45

由，丁/得：（5_4r）/_8石齿—40=0,

---=1

45

5-4rW0

即/且d3,

A=80（10-4J12）>024

8旧k40

X]+x=-

2-5-4万5-4公

.•.BTABIB=U,又与4=（不乂+石），B,B=（x2,y2+75）,

.,.4A•g3=芭超+（y+6）（y2