专题1-9 数列性质的综合运用17类题型（解析版）

专题19数列性质的综合运用17类题型近2年考情考题示例考点分析关联考点2023年新2卷，第8题基本量的计算等差数列片段和相关计算2023新高考1卷，第7题等差数列前n项和性质的判断等差数列前n项和解析式特征2023年全国乙卷理数，15题等比数列基本量计算构造方程组求等比数列首项和公比2023年全国甲卷理数，5题等比数列前n项和的基本量计算构造方程求基本量2023新高考1卷，第20题已知等差数列的和求公差等差中项与前n项和的计算TOC\o"13"\n\h\z\u知识点梳理模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和【题型2】等差数列片段和【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算【题型5】等差数列奇偶项和相关运算【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值【题型7】等差数列性质判断与综合运用【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算【题型10】等比数列的基本性质【题型11】等比数列片段和【题型12】等比中项的运用【题型13】等比数列性质判断与综合运用【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值模块三其它综合问题【题型15】周期数列【题型16】数列中的最值问题【题型17】数列新定义问题知识点梳理一、基本量计算方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．二、等差数列重要性质若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质：(1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.三、求等差数列前n项和Sn最值的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．(2)运用二次函数的图象求最值．四、等差数列奇偶项问题(1)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).(2)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).五、等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).六、等比数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则aeq\o\al(2,k)＝am·an.(2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍为等比数列．七、等比数列的前n项和性质1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2.等比数列前n项和的常用性质：(1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于A．13 B．26 C．8 D．162【解答】解：在等差数列中若，则，因为，所以，所以．所以．已知公差不为0的等差数列满足，则0．【答案】0【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，又由，则有，变形可得，即，因为，则，由等差数列的性质得，即，所以两个等差数列，的前项和分别为和，已知，求的值．【解答】两个等差数列，的前项和分别为和，满足，．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】由等差数列的性质可得：，，则，即，2023新高考1卷——基本量计算：利用等差中项简化计算设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.【详解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去）当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.【题型2】等差数列片段和2023新高考2卷T8记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：基本量计算根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．方法二：利用片段和性质计算设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．（2023·广东深圳二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)设等差数列的前项和为，已知，，，其中正整数，则该数列的首项为（

）A．5 B．0 C．3 D．5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可.【详解】，又，两式相减得：，解得：2020年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算已知等差数列的前项和为，，，，则等于A．12 B．14 C．16 D．18【答案】14【解答】解：由题意可得，，，，解得在等差数列中，公差，，，则数列的前9项之和等于．【答案】90【解答】解：由公差，，，，，联立解得：，，故．【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解.【详解】由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个两等差数列和前项和分别为，，且，则．【答案】【解答】解：两等差数列和前项和分别为，，且，已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为.【答案】、、【分析】利用等差数列前项和公式求得的表达式，结合为整数求得正整数的值.【详解】由题意可得，则，由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，因此，正整数的可能取值有、、.【题型5】等差数列奇偶项和相关运算在项数为的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则等于10．【答案】10【解答】解：等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150设奇数项和，数列前项和，，解得：．已知等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于．【答案】10【解答】解：，，，，解得．31．已知等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是4．【解答】解：依题意，，同理，，两式相减得：，故答案为：4．【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依题意，数列是等差数列，其前项和是，，，所以，所以，，所以公差，所以当时，当时，又因为当时，单调递增，单调递减，所以当时，单调递增，所以最大已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为.【答案】【详解】由题意可知，所以，同理得，所以.结合，可得.当时，取得最大值为，要使对恒成立，只需要，即可，所以,，即.所以正整数的值为.若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根据等差数列的前项和公式以及数列的单调性得出结果.【详解】依题意，又，即，则则，且，所以等差数列单调递减，，所以对任意正整数，都有，则．（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断.【详解】对于A，，，，则数列是递增数列，A正确；对于B，，∵，∴不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，B错误；对于C，，∵，∴不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，C错误；对于D，，故数列是递增数列，D正确设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和．（1）求；（2）求，及的最小值．【解答】解：（1）为等差数列，首项为，公差设为，则依题意有，解得，．（2），．设，则，数列是公差为的等差数列，首项为，为数列的前项和，．又图象开口向上，对称轴为，且，或时，．【题型7】等差数列性质判断与综合运用2023新高考1卷·T7——数列性质的判断记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.（雅礼中学月考）（多选）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则是数列的最大项B．若数列有最小项，则C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有D．若对任意的，均有，则数列是递增数列【答案】BD【分析】取特殊数列判断A；由等差数列前项和的函数特性判断B；取特殊数列结合数列的单调性判断C；讨论数列是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，故A错误；对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B正确；对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，故C错误；对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.故若对任意，均有，有数列是递增数列，故D正确（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断.【详解】对于A，，，，则数列是递增数列，A正确；对于B，，∵，∴不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，B错误；对于C，，∵，∴不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，C错误；对于D，，故数列是递增数列，D正确（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【答案】ABC【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是，，，因此，则，成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比，则不成等比数列，D错误.【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算已知是等比数列的前项和，，，则．【答案】【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项和公比，再利用求和公式求.【详解】设等比数列的公比为，由，，可得，，解方程得，或，当时，，当时，，所以.已知等比数列{an}的前n项和为，且，则实数的值为【答案】【解析】首先利用与的关系式，得到，求得公比，首项和第二项，再通过赋值求的值.【详解】当时，，两式相减得，即，并且数列是等比数列，所以，，，当时，，解得.模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算2023乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组已知为等比数列，，，则.【答案】【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则2023年全国甲卷(理)——基本量计算：解一元三次方程设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.2022·全国乙卷（理）——基本量计算已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.【题型10】等比数列的基本性质设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，项和转换，求解即可【详解】由题意，设则已知是等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由与的关系求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，，，又是等比数列，所以，即，解得，所以．当时，，又满足，所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以．在等比数列中，，则.【答案】【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：（2020·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是．【答案】【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.【题型11】等比数列片段和2020年全国Ⅰ卷（文）T10设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.已知等比数列的前n项和为．若，则（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】A【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解.【详解】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研（多选）设数列的前项和为.记命题：“数列为等比数列”，命题：“，，成等比数列”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得.【详解】若数列为等比数列，设公比为，则当时，所以，，显然，所以，，成等比数列，当时，所以，，所以，但是当且当为正偶数时，此时，，则，，不成等比数列，故充分性不成立，若，，成等比数列，当时，，成等比数列，当时，，成等比数列，不妨令，，，，，，显然满足，，成等比数列，但是，，，，，不成等比数列，故必要性不成立，所以是的既不充分也不必要条件（多选）设数列，都是等比数列，则（

）A．若，则数列也是等比数列B．若，则数列也是等比数列C．若的前项和为，则也成等比数列D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用等比数列定义判断ABD；举例说明判断C作答.【详解】数列，都是等比数列，设公比分别为，对于A，由，得，所以数列为等比数列，A正确；对于B，由，得，所以数列为等比数列，B正确；对于C，令，则，不成等比数列，C错误；对于D，为常数，D正确【题型12】等比中项的运用已知正项数列满足，则数列的前项和为.【答案】【分析】先判断出是等比数列，求得公比，根据等比数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意，正项数列满足，所以数列是等比数列，设其公比为，，由得，由于，所以，由于，所以解得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和为.我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为，则第节的容积是.【答案】【分析】设第节的容积为，根据等比数列的性质可求得的值，【详解】现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，设第节的容积为，则为等比数列，且，上面节的容积之积，下面节的容积之积为，，解得，，第节的容积为：．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】应用等比中项的性质，由为等比数列，解出值，即可判断.【详解】依题，“为等比数列”，所以，得，化简得，解得，则“”是“为等比数列”的充要条件.已知正项数列满足，，若存在m，，使得，则的最小值为．【答案】64【分析】由题意可知为等比数列，利用等比数列求出，然后根据基本不等式求出最值.【详解】因为，所以为等比数列，设的公比为，又因为，所以，解得或，因为，所以，所以，因为，且m，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以．（多选）在正项等比数列中，，则（

）A． B．的最小值为1C． D．的最大值为4【答案】AB【分析】AB选项，先根据等比数列的性质得到，再利用基本不等式进行求解，C选项，先得到，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D选项，平方后利用基本不等式，结合进行求解.【详解】正项等比数列中，，故，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，此时，故A正确；，，由基本不等式得：，当且仅当，，时等号成立，此时公比满足题意，B正确；因为单调递减，所以，当且仅当即，时，等号成立，C错误；因为，，所以，当且仅当时等号成立，故，且，解得：，所以，即的最小值为4，故D错误.故选：AB（多选）公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足,，.则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【分析】推导出，，，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；由数列为正项等比数列可判断C选项的正误；由，可判断D选项的正误.【详解】若，则不合乎题意，所以，，故数列为正项等比数列，，，，，，所以，故A正确；，故B错误；，，所以，数列为各项为正的递减数列，所以，无最大值，故C错误；又，，所以，是数列中的最大项，故D正确.故选：AD.【题型13】等比数列性质判断与综合运用(多选)已知等比数列{an}的公比为q，首项为a，前n项和为Sn，则下列结论错误的是 ()A．若a＞0，则anSn＞0B．若q＞0，则anSn＞0C．若a＜0，则anSn＜0D．若q＜0，则anSn＜0【答案】ACD因为{an}为等比数列，所以a≠0．当q＝1时，an＝a，Sn＝na，故anSn＝na2＞0，当q≠1时，an＝aqn－1，Sn＝a(1－qn)1－若q＞1，则qn－1＞0，1－qn＜0，1－q＜0，故anSn＞0，若0＜q＜1，则qn－1＞0，1－qn＞0，1－q＞0，故anSn＞0，若q＜0，则anSn＝a2qn(1－qn)取－1＜q＜0，则当n为偶数时，a2qn(1－qn)＞0，即anSn＜0，当n为奇数时，a2qn(1－qn)＜0，即anSn＞0，故B中结论正确，A、C、D中结论错误．（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】ABC【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.（多选）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列的通项公式B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是【答案】ABD【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；B：，所以B正确；C：，所以C不正确；D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.故选：ABD.（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（

）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．【答案】AC【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A：利用公比的定义直接判断；对于B：由及前n项和的定义即可判断；对于C：前项积为的定义即可判断；对于D：先求出，由即可判断.【详解】由可得：和异号，即或.而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.对于A：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A正确；对于B：因为，所以，所以.故B错误；对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项.故C正确；对于D：因为，所以，即.故D错误.故选：AC（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（

）A． B．C．是数列中的最大项 D．【答案】AD【分析】由题意可推出等比数列公比，判断A；结合题意判断，即可判断B；判断等比数列的增减性，结合前项积为，可判断C；利用等比数列性质可判断D.【详解】由题意知，即，因为，可得，即等比数列的各项都为正值，又，故若，结合可知，则不成立，故，即数列为递减数列，则，A错误；因为，故，B正确；由以上分析可知，故是数列中的最大项，C正确；由等比数列性质可得，，故，D错误【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值已知－2，a1，a2，－8成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵－2，a1，a2，－8成等差数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＝－2＋a2，,2a2＝a1－8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,a2＝－6.))又∵－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，∴beq\o\al(2,2)＝－2×(－8)＝16，∴b2＝4或b2＝－4.由等比数列隔项同号可得b2＝－4，∴eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－6－(－4),－4)＝eq\f(1,2).有四个实数，前3个数成等比数列，且它们的积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．【答案】9，6，4，2【解答】解：设此前3个数分别为：，，，，，解得．设后三个数分别为：，，．，解得．，，解得，．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.若数列的前项和，则的值为.【答案】6【分析】设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】解：设数列和的前项和分别为，则（），若，则，则，显然没有出现，所以，所以，由两边的对应项相等可得，解得，所以模块三其它综合问题【题型15】周期数列（重庆·西南大学附中校联考）在首项为1的数列中，满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【详解】由可得，由于，所以，，因此为周期数列，且周期为3，故（重庆巴蜀中学校考）已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题意数列满足，则，故由，得，由此可知数列的周期为4，故（2023·哈师大附中校考期中）在数列中，若，，，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【详解】由题意知数列中，若，，，故，，，，，则为周期为6的周期数列，故已知数列满足，，当时，，则数列的前2023项的和为（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查数列的递推关系、数列的周期性及数列求和，由递推公式得到，再求出前六项的和为零，最后由周期性求出结果.【详解】由题意，得，∴，∴，∴，∴数列是周期为6的周期数列．设数列的前n项和为，依题意得数列的前6项依次为3，2，－1，－3，－2，1，∴，∴．数列满足若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以.数列满足，，其前项积为，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，，.【题型16】数列中的最值问题已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S82S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】变换得到S8S4=S4+5，根据等比数列性质知S4(S12S8)=(S8S4)2，，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12S8，由S82S4=5，可得S8S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4，S8S4，S12S8成等比数列，则S4(S12S8)=(S8S4)2.当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.（2023秋·重庆巴蜀中学校考）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，此时，即，则；若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，此时，，即，则，综上可得：的取值范围是已知各项为正的数列的前项和为，满足，则通项公式；且的最小值为.【答案】【分析】利用与的关系式，得到，即可判断数列是等差数列，然后利用等差数列的通项公式、前项和公式结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由各项为正的数列，，，，时，，化为：，，，又，解得.数列是等差数列，首项为1，公差为2.，，，当且仅当时取等号.正项等比数列满足：，若存在两项、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比数列的性质，结合求得，再由可得，结合基本不等式“1”的妙用可求当、时，取得最小值，则需逐一验证值，进而得出最值.【详解】设数列的公比为，∵，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴，∴，当且仅当，即，即、时，取得最小值，又，∴，只能逐一验证，当、时，；当、时，；当、时，；当、时，；当、时，，∴的最小值为.【题型17】数列新定义问题2021新高考2卷T12（多选）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.