第19讲 函数的单调性、极值与最值（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

第19讲函数的单调性、极值与最值【人教A版2019】·模块一函数的单调性·模块二函数的极值与最值·模块三课后作业模块一模块一函数的单调性1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.图象f'(x)变化规律f'(x)>0

且越来越大f'(x)>0

且越来越小f'(x)<0

且越来越小f'(x)<0

且越来越大函数值变化规律函数值增加

得越来越快函数值增加

得越来越慢函数值减小

得越来越快函数值减小

得越来越慢【考点1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1.1】（2023上·北京通州·高三统考期中）下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（

A．fx=x−1C．fx=−log【解题思路】求导可判断A，根据指数函数以及对数函数的单调性即可判定BC，根据函数图象即可判定D.【解答过程】对于A,f′x=3x−12对于B，由于x>0,fx=2−x=对于C，x>0,fx=−log2x对于D，fx=log12x的图象如下所示：故故选：C.【例1.2】（2023上·甘肃·高三校考阶段练习）函数f(x)=x−lnx的单调递减区间是（A．(−∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞【解题思路】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.【解答过程】函数的定义域为(0,+∞f′(x)=1−1则单调递减区间为(0,1).故选：B.【变式1.1】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数fx=2x−5lnA．0,3 B．3,+∞ C．−∞,【解题思路】求导，根据导函数的正负分析单调性即可.【解答过程】f′x=2−5x，定义域为0,+所以fx在0,故选：D.【变式1.2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在0,+∞上单调递增的函数是（

A．fx=xlnC．fx=e【解题思路】对于A，说明fx=xlnx不是偶函数即可；对于B，说明fx=ln【解答过程】对于A，因为fx=xlnx的定义域为故A选项不符合题意；对于B，因为∀x∈R,x2+1−x>但fx+f−x故B选项不符合题意；对于C，因为fx=ex+所以fx又f′x=ex所以此时f′x=ex故C选项符合题意；对于D，因为fx=ex−所以fx故D选项不符合题意.故选：C.【考点2由函数的单调性求参数】【例2.1】（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数fx=2−xex−ax在A．−∞,2e B．e,+∞ 【解题思路】求导，根据导函数的符号求解.【解答过程】f'x=1−xex−a令gx=1−xex故选：D.【例2.2】（2023下·四川成都·高二校联考期中）若函数f(x)=x3−3kx+1的单调递减区间为(−1,1)，则实数kA．1 B．−1 C．3 D．−3【解题思路】求导得到导函数，确定−1，1是3x【解答过程】由f′(x)=3x2−3k故−1，1是3x2−3k=0的两根，−1×1=−k故选：A.【变式2.1】（2023上·广东汕头·高三统考期中）设a∈0,1，若函数fx=ax+(1+a)x在A．5−12,5+12 B．5【解题思路】把函数fx在0,+∞递增利用导数转化为1+aax≥−【解答过程】因为函数fx=a所以f′x=则(1+a)xln(1+a)≥−ax由函数y=1+aax又a∈0,1，所以a+1∈1,2，所以所以lna+1≥−lna0<a<1所以a的取值范围是5−1故选：B.【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=ax3−3A．3,+∞ B．−∞,3 C．−【解题思路】根据导函数有两个不等根计算即可.【解答过程】由题意得函数fx的定义域为R，f要使函数fx则f′x=0有两个不相等的实数根，∴a≠0Δ=36−12a>0故实数a的取值范围为−∞故选：C.模块模块二函数的极值与最值1．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2．函数的最值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.【考点3利用导数求函数的极值】【例3.1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间−A．π2+1，−π2+1C．3π2−1，−π2【解题思路】求出f′x，由f′【解答过程】由题意，得f′当x∈−π2,−π当x∈−π4,π所以f(x)在−π2,−π4当x=−π4时，f(x)取得极小值，为当x=π4时，f(x)取得极大值，为故选：D．【例3.2】（2023上·山西临汾·高三校联考期中）已知函数fx=x2−ax−lnx+2a∈R在区间A．2 B．1 C．0 D．1【解题思路】由单调性可得f′(1)=0，求得【解答过程】函数fx=由f(x)在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞则函数在x=1处取极小值，所以有f′(1)=0，由得1−a=0，解得a=1，则有f′由x>0，得f′(x)=0只有一个根且当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有极小值，且极小值f(1)=3−a=2.故选：A.【变式3.1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，且f′xA．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点【解题思路】设gx=fxex，求导后，构造ℎx=gx+x【解答过程】令gx=f故f′令ℎx所以ℎ′当x∈−∞,−1当x∈−1,0时，ℎ当x∈0,+∞时，所以ℎx的极小值为ℎℎx的极大值为ℎ所以当x∈−∞,−1时，ℎ当ℎx在区间−则ℎx≥0，f′x=当ℎx在区间−可设为x0，则当x∈−∞,x当x∈x0,+∞时，所以fx有且只有一个极小值点x综上，fx故选：C.【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）设函数fx=exsinx−cosA．eπ1−e1010π1−eπ 【解题思路】由题意先求出0≤x≤2020π【解答过程】函数fx=e当x∈2kπ,2kπ+π时，当x∈2kπ,2k故当x=2kπ+π其极大值为f2k又0≤x≤2020π∴函数fx的各极大值之和S=故选：C．【考点4根据极值（点）求参数】【例4.1】（2023上·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数fx=xx−m2在A．1 B．2 C．3 D．1或3【解题思路】根据题意，列出方程求得m的值，然后检验即可得到结果.【解答过程】∵f′x∴m=1或m=3，当m=1时，f′令f′x>0，得x<13或x>1从而fx在−∞,13所以fx在x=1当m=3时，经检验，满足题意；综上，m=3.故选：C.【例4.2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数fx=ax+lnxb+1在A．0 B．12 C．1 【解题思路】根据极值点的意义，列式求解即可.【解答过程】f′所以f1=a+1=0f经检验，a=−1,b=1满足题意，所以a+b=0.故选：A.【变式4.1】（2023下·山东烟台·高二校考开学考试）已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a≠0)的两个极值点分别为−A．−2 B．0 C．2 D．4【解题思路】对函数进行求导，通过两个极值点可得到a=2b,c=−b，然后分a>0和a<0【解答过程】由f(x)=ax2因为函数f(x)的两个极值点分别为−12和2，所以−1故−12和2是−ax2+(2a−b)x+b−c=0的实数根，∴−当a>0，即b>0时，当x∈−∞,−12∪(2,+函数f(x)在−∞,−1此时极大值为f(2)=9be2=1，当a<0，即b<0当x∈−∞,−12∪(2,+函数f(x)在−∞,−1此时极大值为f−12=−b∴只要a≠0，无论a取何值，a+2b+4c=0始终成立，故选：B．【变式4.2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）函数fx=ax3+2x2+ax+1在−1,+∞上存在极大值fA．0,233 B．23,2【解题思路】分三种情况考虑，列出不等式组，即可确定a的取值范围.【解答过程】由题可得，f′当a>0时，方程f′x=0在−1,+∞上有两个不同的实根则Δ=16−12a2当a=0时，f′当a<0时，f′x的图象开口向下，若方程f′x=0在−1,+∞上有两个不同的实根x综上所述，1<a<2故选:C.【考点5利用导数求函数的最值】【例5.1】（2023·全国·模拟预测）函数fx=x2sinA．π24，−2π B．π24，−π24 C．【解题思路】利用导数讨论函数单调性，然后可得最值.【解答过程】由题意，得f′当x∈−π2,π当x∈π2,π时，f又因为fπ2=π2所以fx的最大值与最小值分别为π24故选：A．【例5.2】（2023上·江苏无锡·高三统考期中）当x=2时，函数fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【解题思路】先利用极值点的定义求得b=0，再利用导数求得fx【解答过程】因为fx=x又f(x)在x=2取极值，所以f′所以f(x)=x3−12x，f令f′(x)>0，得−4≤x<−2或2≤x≤4；令f′所以f(x)在[−4,−2]和[2,4]上单调递增，在[−2,2]上单调递减，故b=0满足题意，又f(−2)=−8+24=16,f(4)=64−48=16，故f(x)故选：C．【变式5.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）函数fx=2sinA．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数；且最大值为332【解题思路】先利用函数奇偶性定义得到fx=2sinx−sin2x为奇函数，排除BD，再得到x=2π【解答过程】fx且f−x故fx由于fx+2所以x=2π是f要想求解fx=2sinf′当x∈0,2π3时，f′当x∈2π3,4π3当x∈4π3,2π时，f′故fx=2sinf2又f2故fx=2sin故选：C.【变式5.2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在A．1 B．−4 C．−3 D．5【解题思路】分类参数可得a=2x+1x2x>0，构造函数ℎx=2x+1x2【解答过程】函数f(x)=2x3−a即方程f(x)=2x3−a分离参数可得a=2x+1令ℎx则函数y=ℎxℎ′当0<x<1时，ℎ′x<0，当x>1所以函数ℎx在0,1上单调递减，在1,+所以ℎx又当x→0时，ℎx→+∞，当x→+如图，作出函数ℎx由图可知a=3，所以f(x)=2x3−3当−1<x<0时，f′x>0，当0<x<1所以函数fx在−1,0上单调递增，在0,1又f−1所以f(x)在[−1,1]上的最大值为1，最小值为−4，所有f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值之和为1−4=−3.故选：C.【考点6已知函数最值求参数】【例6.1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx=13x3+12A．−2,12 C．−74,【解题思路】利用导数确定函数fx的单调区间及极小值为f1=−16，再令f【解答过程】解：因为fx所以f′令f′x=0，解得x=−2所以fx在−∞,−2，1,+所以极小值为f1令fx=−1所以f−由题意得−7所以a的取值范围为−7故选:C．【例6.2】（2023下·重庆江北·高二校考阶段练习）若函数fx=e2xx在区间1A．14<a≤1C．12≤a≤1 【解题思路】求出fx的单调性，结合f【解答过程】f′x=(2x−x∈[14,12x∈(12,+∞)而f12=2e，所以函数必有12∈1故选：B.【变式6.1】（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数fx=ax−a+3x3在区间−1,1上的最小值为−3A．−92,+∞ B．−∞,9【解题思路】分−3≤a≤0，a>0和a<−3三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围.【解答过程】当−3≤a≤0时，fx故fx在x=1处取得最小值，最小值为f当a>0或a<−3时，f′令f′x=0得x=−当a>0时，a3a+9故表格如下：x−1,−−−aaf−0+0−f↘极小值↗极大值↘故fx在x=−且f−a3a+9要想fx=ax−a+3x3则要−2a3a令ℎa=4a当a>92时，ℎ′a>0，ℎa单调递增，当且ℎ0=−81，故4a3−243a−729≤0a<−3时，令a3a+9=1可得当−92≤a<−3令f′x<0故fx在−1,1故fx在x=1处取得最小值，最小值为f当a<−92时，故表格如下：x−1,−−−aaf+0−0+f↗极大值↘极小值↗故fx在x=且fa3a+9=a要想fx=ax−a+3x3则要2a3a3a+9令wa=4aa<−92时，w′又w−92=0，故综上：实数a的取值范围是−9故选：C.【变式6.2】（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知函数fx=x3−ax2+3x在R上单调递增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3【解题思路】根据函数fx在R上单调递增，利用函数导数性质求出a的取值范围，在由gx在区间1,2上既有最大值又有最小值求出【解答过程】fx=x若fx在R上单调递增，则f′x即3x2−2ax+3≥0恒成立，则Δgx=x+a①当a≤2时，g′x>0对任意x∈1,2恒成立，所以此时只有最大值，没有最小值不满足题意；②当a≥8时，g′x≤0对任意x∈1,2恒成立，所以此时只有最小值，没有最大值不满足题意；③当2<a<8时，令g′x>0，解得a2<x≤2则gx在a2,2单调递增，在1,若gx在1,2则g2≥g1⇔2+a综上所述：2<a≤3．故选：B.模块模块三课后作业1．（2022下·湖北·高二统考期末）函数fx=1A．−1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【解题思路】求导，令f′【解答过程】解：因为fx所以f′令f′x<0所以fx的单调递减区间为0,1故选：B.2．（2022上·陕西安康·高二校考期末）函数f(x)在R的导数为f′(x)，且f′A．ef1>C．e2f1【解题思路】令F(x)=f(x)ex，求导可得F′(x)=【解答过程】令F(x)=f(x)F′因为f′所以f′所以F′所以F(x)在R上单调递减，所以F1所以f(1)e所以e2故选：B．3．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数y=fx的图象如图所示，y=f′x为函数y=fxA．(−3,−1) B．(0,1)C．(−3,−1)∪(0,1) D．(−【解题思路】先判断f′x的符号，由此求得不等式【解答过程】由图象可知，在区间−∞,−3,在区间−3,−1,1,+∞所以不等式f′xx故选：C.4．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知f′x是函数fx的导函数，若函数y=efA．a B．b C．c D．d【解题思路】由指数函数的性质判断f′x的符号，进而确定【解答过程】由y=e当x∈−∞,a时，e当x∈a,d时，ef′当x∈d,+∞时，ef故fx的单调递增区间为a,d，单调递减区间为−∞,a故fx的极大值点为d故选：D.5．（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数fx=aex−lnxA．2e−2 B．e C．e−1【解题思路】根据f′x=a【解答过程】依题可知，f′x=a显然a>0，所以xe设gx=xex,x∈2,3，所以gx>g2=2e2，故2e2故选：D．6．（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数fx=32xA．0 B．12 C．1 D．【解题思路】求导得到fx【解答过程】f′x=3x−令f′x>0，解得x>3，令f所以fx在3,+∞上单调递增，所以fx在区间1,2上的最大值为f故选：D.7．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知x=a是函数f(x)=12x2−(a+1)x+aA．(−∞,1) B．(1,+∞)【解题思路】求导后，得导函数的零点a,1，比较两数的大小，分别判断在x=a两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x=a处取到极大值，即可求得a的范围.【解答过程】f(x)=12x2−(a+1)x+a当a∈(0,1)时，令f′(x)>0得0<x<a或x>1此时f(x)在区间(0,a)上单调递增，a,1上单调递减，1,+∞符合x=a是函数f(x)的极大值点；当a=1时，f′(x)=x−1当a∈(1,+∞)时，令f′(x)>0得0<x<1或x>a此时f(x)在区间(0,1)上单调递增，1,a上单调递减，a,+∞符合x=a是函数f(x)的极小值点，不符合题意；综上，要使函数f(x)在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是(0,1故选：C.8．（2023上·宁夏固原·高三校考阶段练习）已知函数fx=eA．函数fx极小值为B．函数fx在−1,+C．当x∈−2,2时，函数fxD．当k<3e时，方程【解题思路】求导得到fx的单调性，即可判断AB选项；分别求出−2,2上的极大值和端点处的函数值，通过比较大小得到最大值，即可判断C选项；将方程fx=k的根的个数可以转化为函数f【解答过程】f′x=exx2+x=ex所以fx在−∞,−1，0,+fx在x=0f−2=7e2，f−1=3efx方程fx=k的根的个数可以转化为函数fx由图可知，当1<k<3e时，图象有3个交点，即方程故选：C.9．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线y=ax+a与曲线y=lnx+b相切，则5a−b的最小值为（A．2ln2 B．2ln2−1 C．【解题思路】设出切点，利用导数的几何意义找出a,b所满足的关系式，然后利用导数工具求5a−b的最小值.【解答过程】设切点为x0,lnx0所以5a−b=5x0−1+令g′x>0，解得x>4，令g所以gx在0,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，所以故选：A.10．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−mx2有两个极值点x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e C．M>e2+1【解题思路】解法一：求出函数的导函数，则x1，x2是方程exx=2m的两个实数根，x3，x4是方程xlnx=2m，即eln解法二：求导可得x1，x2是y=ex与y=2mx图象交点的横坐标；x3，x4是y=lnx与【解答过程】解法一：由fx=ex−mx2可得f由gx=xlnx−14mx2−x即eln设ℎx=e当0<x<1时ℎ′x<0，当x>1故ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则ℎx在x=1因为x1，x2是方程exx=2m的两个实数根，x且0<x1<x2，0<x3则x3=ex1所以M=x又y=x+1x在1,+∞解法二

第一步：对函数求导，将问题进行转化；由fx=ex−mx2可得f′x=e由gx=xlnx−14mx2−x可得g′x第二步：构造函数，求得m的取值范围；由ex=2mx可得2m=exx易得ℎx在x=1处取得极小值，且ℎ1=e，当x→0+时，所以由方程ex=2mxx>0有两个实数根可得2m>（点拨：因为y=ex与y=lnx互为反函数，且所以当y=ex与y=2mx的图象有两个交点时，y=ln第三步：利用反函数的概念对变量进行代换，即可得解；设Ax1,ex1，由y=ex与y=lnx互为反函数，且可得A与C，B与D分别关于直线y=x对称，则x3=e则M=x又y=x+1x在1,+∞故选：C.11．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若对于任意的x1,x2∈0,1，且【解题思路】（1）求导后，根据导函数的正负情况对实数a进行分类讨论；（2）不妨设x1<x2，原不等式分离得到fx1−2x1【解答过程】（1）fx的定义域为0,+当a≤0时，f′x<0当a>0时，令f′x>0，得x>1a，f(x)单调递增；令f综上所述：当a≤0时，fx的单调递减区间为0,+当a>0时，fx的单调递增区间为1a,+（2）不妨设x1<x即fx令gx=fx−2x，则函数则g′x=所以a≤1x+2x在0,1因为y=2x+1x在0,22上单调递减，在所以实数a的取值范围为−∞12．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)若a=0，求函数fx(2)若对∀x∈R，fx>0，且fx在x=0【解题思路】（1）求出导函数f′(x)，由f′（2）首先由f(x)>0恒成立得出a>1，然后求出f′(x)，求出【解答过程】（1）当a=0时，fx=ef′令f′x=0当x变化时，fx和fx−−1,000,+f0+f单调递减单调递减单调递增故函数fx的单调递减区间为−∞,−1，−1,0（2）因为fx=exax2显然a=0⇒4x+4>0不恒成立，不合题意，则a>0Δ=42f令f′x=0，可得x=0当a=2时，2−4因为f′x=2e所以函数fx在R当1<a<2时，2−4fx和fx−2−2−00,+f+00+f单调递增单调递减单调递增函数fx在x=0当a>2时，2−4a>0，fx−00,2−2−2−f+00+f单调递增单调递减单调递增函数fx在x=0综上，实数a的取值范围为(1,2).13．（2023上·上海徐汇·高三校考期中）已知函数fx=a(1)当a=0时，求曲线fx在点0,f(2)当a=2时，求fx在−2,2(3)若函数fx在−2,2上是严格递增函数，求a【解题思路】(1)求出函数的导函数，计算f′0=3(2)利用导数判断函数fx(3)依题意，转化为ax2+【解答过程】（1）(1)当a=0时，fx=x+2故f′0=3由导数的几何意义知,曲线fx在点0,2即y=3x+2.（2）（2）当a=2时，fx所以f′因为x∈−2,2由f′x>0由f′x<0所以函数fx在[−2,−32)上单调递增，在则f−2=8−2+2f−1=2−1+2故fx（3）（3）因为fx所以f′因为函数fx在−2,2上是严格递增函数,所以f又因为ex>0恒成立，即ax令gx当a=0时，gx=x+3，显然在−2,当a>0时，则gx的对称轴x=−当−1−12a≤−2，即0<a≤12所以gx的最小值为g−2=4a−2当−2<−1−12a<0，即a>12则Δ=2a+12−12a≤0,即又a>12，所以综上所述：a的取值范围为0≤a≤1+32，即14．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx恰有三个极值点x1，x2，x3（x1【解题思路】（1）求导得f′x=ex（2）构造函数kt=t+1【