2023高考数学基础强化训练（五）（参考答案）

2023高考数学基础强化专题训练(五)

函数与导数

1.(广东省深圳市深圳中学2023届高三上学期第一次阶段测试数学试题)

(多选题)已知定义在区间,，以上的函数产/'(x),/'(X)是"X)的导函数，若存在火(。力)，使得

2)-/(a)=r(R)(b-a).则称」为函数在可上的“中值点”.下列函数，其中在区间［-2,2］

上至少有两个"中值点''的函数为()

A./(x)=sinxB./(x)=ex

C./(x)=ln(x+3)D./(x)=x3-x+1

【答案】AD

【解析】

【分析】求出/'(力，逐项判断方程/'(4)="2)；"一'在看式一2,2］上的根的个数,可得出合适的

选项.

【详解】对于A选项，/(2)-/(-2)=2sin2,/,(x)=cosx,

由/(2)-〃-2)=4f(g)=4cos。，所以，cosj=^^,

当46［—2,2］时，cos2<cos^<l,如下图所示：

sin2

由图可知，直线y=含与曲线y=cosJ在Je［-2,2］上的图象有两个交点，

A选项满足条件；

对于B选项，“2)—/(—2)=e2-5，r(x)=e\

由“2)—2)4”《)=4e"所以，&=^-,

2-2

因为函数,=/在［—2,2］上单调递增，故方程/=在卜2,2］上不可能有两个根，B不满足条件;

T

对于C选项，/(2)-/(-2)=ln5,尸(力=+，

由/(2)—〃-2)=4rq)=ln5,可得白=与，解得"奈一3e[—2,2],

故函数〃x)在[-2,2]上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；

对于D选项，/(2)-/(-2)=12,

由“2)一〃一2)%'(4)=12,可得襄[一],

故函数“X)在[-2,2]上有两个“中值点”，D满足条件.

故选：AD.

2.(河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题)

已知直线/是曲线y=ln2x与曲线>=炉+尢的一条公切线，直线/与曲线y=V+》相切于点

(〃,/+.),则〃满足的关系式为()

A.q-+1—In[a+/]=0B.a~+1+111(4+5]=0

C.a?-l-ln(a+g)=0D.a2-l+ln(a+；)=0

【答案】C

【解析】

【分析】设/与/(X)的切点为他』nA),利用导数的几何意义可得斜率相等，再结合斜率公式得到等式,

将人代入即可得到。满足的关系式.

【详解】记/(x)=ln2x,得/(X)=2X-!-=L记g(x)=d+x,得g，(x)=2x+l,

2xx

设直线/与曲线/(x)=In2x相切于点(Z?,ln2b),

由于/是公切线，故可得攵=/'(b)=g'(a),即!=2a+l,即6=」一，

b2。+1

又因为％=-------——=g(。)，即------------=2。+1,

a-ba-b

2

将b代入，得a?+q_]no2]=(2a+l)(a—21j,即/+a+ln^^=a(2a+l)—l,

整理得a2-i_in(a+g)=0.

故选：c.

3.(福建省福州高级中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题)

设。=W,b=-4T，c=0.9，则()

11e0J

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数f(x)=e'-x-l,利用导数分析函数单调性，/(0.1)=e°'-l.l=---,

ba

/(一0.1)=eCi-0.9=0—c,结合函数单调性，分析即得解.

【详解】由题意，i=—=1+0.1,-=e0J,

a10b

记f{x}=ev-x-l(x>0),则/,(x)=e'-l>0,

故函数fix)在[0,+<»)单调递增，

又/(0.D=e°/_l.]=L_’>/(0)=l_]=0,故

baba

又a>0,b>0,故

又〃=3=e“」,c=0.9=l-0.1,

e

记/(x)=e"—x_l(x<0),则/\x)=ev-1<0,

故函数fM在(-oo,0]单调递减，

故/(-0.1)=e~°」-0.9=〃-c>/(O)=0,

故〃〉c；

综上：c<b<a

故选：A

J

4.(广东省深圳市深圳中学2023届高三上学期第一次阶段测试数学试题)

(多选题)下列大小关系正确的是().

A1.92<219B.22-9<2,92

C.log74<log]27D.log74+log127<V2

【答案】ABC

【解析】

Inx

【分析】构造函数/'(无)=——，利用导数判断其单调性后判断A,利用指数函数性质判断B,利用对数

x

函数性质及基本不等式判断C,根据对数换底公式、对数函数性质判断D.

【详解】设/(%)=臣，则;(x)=上坐，

XX

Ovxve时，/⑴>0,/(%)递增，

而0<1.9<2<e,所以/(1.9)</(2),即臀〈殍，glgZvlnW

即IS?<219,A正确；

229<23=8<8.41=2.92«B正确；

22

c/iA1nm>i1…(log74+log712)(log748)(log749了,

0<log74<log712,所以啕4.唾712<二^~——=---<--=1,

所以log?4<][=log|27,c正确；

log712

4'°=(210)2=10242>106,77=823543<106<4,,,.

in7

|0

ylog74=log7,4>1,所以log74>—=0.7,

43

74=2401,12^=1728<73所以§log|27=log37">1,log|27>a=0.75,

所以log74+log127>0.7+0.75=1.45>72,D错.

故选：ABC.

5.(河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题)

设。=上，A=0.001e°时，c=-In0.999,则()

999

4

A.b<c<aB,c<h<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，利用作差法，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.

【详解】①—Ina=0.001+InO.OO1+ln999=0.001+In(1—0.001)

1—Y

令f(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.11,则f\x)-1----------------<0,

1―X1—X

故f(x)在(0,0」上单调递减，

可得/(().001)</(0)=0,即ln)一lna<0,所以人<a；

②匕-c=0.00Ie0™11+lnO.999

令g(x)=xe'+ln(l-x),xG(0,0.1],贝Ug'(>)=xe'+e'--—=(1+》)(1二)”,

\-xl—x

令4(x)=(l+x)(l-x)e'-1,所以l(x)=(l-『-2x)6*=-(x+1)'+2e',

当xe(0,0.1]时，Z'(x)>0,

所以左(x)在(0,0」上单调递增,可得依x)>伙0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)(0,0」上单调递增，可得g(O.OOl)>g(O)=O,即b—c>0,所以b>c.

故c<8<a.

故选：B.

6.(河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题)

(多选题)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有'‘数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并

列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数''为:设X€R,用国表示不超过x的最大整数，则>=[A]

称为高斯函数，也称为取整函数.如[L2]=1,[3.9]=3,[-1.5]=-2,以下关于“高斯函数”的性质应用

是真命题的有()

A.HreR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,[x]=[y],则

C.Vx,yeR,[x+y]w[x]+[y]

5

D.若/(x)=[x]的定义域为[0,3],值域为Mg(x)=j2x-Y的定义域为N,则

MuN={x|0<x<2}

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项可举出实例：B选项可进行推导；C选项可举出反例；

D选项求出M={0,1,2,3}和N={x|0Wx<2},从而求出并集.

【详解】x=2时，[2司=[4]=4=2[2]=2国，故A为真命题；

设[%]=3=攵eZ,则左<》<左+1,k<y<k+l,x-y<l,故B真命题；

x=0.5,y=0.6时，有[x]+[y]=0,但[x+y]=[l.l]=l>[x]+[y],故C为假命题.

因为f(x)=[x]的定义域为[0,3],值域为V={0,1,2,3},

g(x)=j2x—d的定义域为：2兀—一20,解得：0WxW2,

所以N={x[0<x<2},对于D,MuN={x|0WxW2}u{3},所以D不正确.

故选：AB

7.(河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题)

(多选题)已知函数“X)及其导数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).若/怎一2%)为偶函数，

+为奇函数，则()

A.O。B.C.g(l)+g(2)=0D.d+gg=。

【答案】BCD

【解析】

31

【分析】分析得到f(x)关于直线x对称，函数g(x)关于点(立,。)对称，结合已知分析即得解.

【详解】解：fg—2x)为偶函数，二可得f(|—2x)=/g+2x),所以/g—x)=/g+x)

3

・・・/(刈关于直线工二万对称，

设/(x)=(x—|y+1,/(1)=1#0,所以选项A错误；

~6

g(g+x)为奇函数，，g(g—x)=-g(g+x)，所以函数g(x)关于点(g,0)对称.

令x=0得g(g)=O.故选项B正确；

f(X)关于直线x=?3对称，所以/G3-x)=/G3+X)

所以"咳-X)]'=[/(1+X)],,BP-/(1-x)=/(1+x)

所以ra)+r(2)=o,所以g(i)+g(2)=o,故选项c正确;

所以r(-；)+/'(g)=o,所以g(-；)+g(g)=o,故选项D正确.

8.(河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题)

设定义域为(0,+8)的单调可导函数/(X),对任意的xe(0,+8),都有扛了(力―log3%]=4,若%是

方程/(x)-2/'(x)=3的一个解，且与e(a,a+l),aeN*，则实数/(。)=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数Ax)的解析式，再借助零点存在性定理推理作答.

【详解】对任意的X6(0,+8),都有了[/(x)-log3x]=4,且，(X)是(0,+8)上的单调函数，

因此f(x)-log3X为定值，设f=/(x)-log3X,则/(x)=f+log3X,显然/«)=4,

BPf+log3r=4,而函数〃⑺=/+log3,在(0,+8)上单调递增，且力(3)=4,于是得r=3,

从而〃x)=Iog3X+3,求导得r(x)=E^,

2

方程/⑺―2/(x)=3ologx——=0,

3xin3

2

依题意，/是函数g(X)=10g3X------的零点，而函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

xln3

ln2-l2

且g⑵=1呜2-<(M3)=1—>0,

In331n3

即函数g(x)的零点不)e(2,3),又4e(a,a+l),aeN",所以a=2.

故答案为：2

9.(广东省深圳市深圳中学2023届高三上学期第一次阶段测试数学试题)

7

已知函数/(%)=1％3+以，g(x)=x-sinx

6

(1)求函数g(x)在［0,兀］上的最值;

(2)设〃(X)=/(X)-g(X)在区间(0,+o。)上单调递增，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)g(X)min=°，g(X)max=%；(2)«>0.

【解析】

【分析】(1)求导由g'(x)=l-cosx'O,得到g(x)在。兀］上单调递增求解.

(2)根据"X)在区间(0,+8)上单调递增，转化为"(X)20在区间(0,+8)上恒成立求解.

【详解】(1)g(x)=x-sinx,g'(x)=l-cosx20,

所以g(x)在［0,汨上单调递增，

所以g(X)min=g(°)=°，g(以皿=g(%)=兀；

(2)h(x)=/(x)-g(x)=—x3+ax-x+sinx,h'(x)=—x2+cosx+«-l,

62

因为h(x)在区间(0,+8)上单调递增,

所以“(x)20在区间((),+8)上恒成立，

〃"(x)=x-sinx,由(1)知〃"(x)=x-sinx递增，

所以当xe(0,+«>)时，〃"(x)>〃〃(0)=0,

所以〃'(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以“(x)>"(0)=a

所以

【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算

求解的能力，属于中档题.

一类高考导数压轴题原创题(2023届)

(1稿)问题1：已知定义在R上的函数/(x),其导函数为g(x),且满足

Y

2/z(x)+x/(x)>l,求证：/(力-/(0),

8

修正为：(2稿)问题1：已知定义在R上的函数f(x),其导函数为g(x),且满足

Y~

2f'{x}+xg\x)>\,求证:x-[/(x)-/(O)]>—

(1稿)问题2：已知定义在R上的函数/(x),其导函数为g(x),且满足

tan%•[gf(x)-/(x)]>1-2f\x),求证：sinx-/(x)+cosx>/(O)x+1

修正为：(2稿)问题2：已知定义在R上的函数/(x),其导函数为g(x),且满足

sinx-[g,(x)-/(%)]>fl-2/,(x)l-cosx,求证：sinx-f(x)+cosx>/(O)x+1

问题3：已知定义在R上的函数/(x),其导函数为g(x),且满足

(ex-e-')•[f(x)+g'(x)]>[1-2f(x)](ex+e-x),

求证：(ex-e-x)f(x)-(ex+e-x)>2[/(0)x-l]

注：以上3个问题为我们研究中发现的“副产品”，有深刻的出题背景。供大家探究。

说明：问题1,问题2的1稿有误，已在2稿修正。主要问题是1稿的结论两边不能同除以x；2稿的条

件，两边不能同除以cosx。

命题很难一步到位，难免会出错误。保留1稿，并说明修正的问题，也是科学的研究态度。

(刘蒋巍提供)

三角函数

1.(重庆市南开中学2023届高三上学期第二次质量检测数学试题)

若角a40,"匹(0,»),且0+:湍(晨‘a尸’而(。+0=噂，则”()

7T

解：令，=sina+cosa=V^sin[a+?因为a所以。+一£

4

9

则有t2=l+2sinacosa,则有sinacose=------

6sinacosa3(/T)一6(-1)

所以该函数单调递增，所以

(l+sin«)(l+cosa)1+(+产-1^+1

+t+^T

7一加衿*_的范围是他,18—12及)，因为18-12及。1.03,所以;一■6sin：cosa_

(l+sina)(l+cosa)'7(l+sina)(l+cosa)

一,7712一.34

所以解得，=一,BPsina+cosa=-,sinacosa=—,所以sina=—,cosa=—.

552555

又因为a+6与)，且sin(a+力)=：需>0,所以a+4£(0,").

所以cos(a+〃)=一?/

又因为sin(a+4)<sina,a+fi>a,所以a+/w

3乃

所以cosp=cos[(a+/?)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina=---,所以1=彳.

2.（重庆市南开中学2023届高三上学期第二次质量检测数学试题）

（多选题）已知函数/'（x）=sin（Gx+o）@>0,夕£,直线x=三和点一*0是/（x）的图

12I

象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x+W）为偶函数B.函数/（x）的图象关于点（-菖,0）对称

C.函数“X）在区间-（上为单调函数D.函数/（x）在区间0,早上有23个零点

2x—+0=攵〃+一

122

解：由题可知“X）的最小正周期为乃，所以⑦=2,由<=>9=上乃+。，所以9=5

=sin12x+工

/(x)=sinl2x+|j,对于A,=cos(2x),故A正

I2J

确;

=sin(-^-)=0故B正确;

10

当一代三时，一工+至，所以函数/(x)区间-三:上不单调，故C错误.

34336八，134」

对于D选项：2x+工=%万=x=%一工4池n女44,分析可得D正确.

32633

3.(福建省福州高级中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题)

已知在二A3c中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,满足bcosC=(2"-c)cos3.

C

V

A

(1)求B；

(2)如图，若。="，在.ABC外取点。.且A0=G，CD=1.求四边形ABC。面积的最大值.

71

【答案】(1)-

3

⑵26

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；

(2)根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

,/8cosC=(2a—c)cosB,

由正弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB,

2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,

2sinAcosB=sin(B+C).

根据三角形内角和定理A+3+C=;z^^2sinAcos3=sin("—A)=sinA,

•0<A<zr,,•sinAw0,«•cosB=一,

2

71

•；0<B<7T,:.B=—.

3

TT

12

tanZADC-tan—373-----

由已知tanZADB-tan(ZAZ)C--)=---------------=--------

61+tanZADCtan-1+3后也

63

所以A8=AOtan4D8=2后x毡=逑；

33

【小问2详解】

设ZAT>3=e,则=ZC=ZADC=0+-,ZDBC=--0,

cos。cos。63

2^2

由正弦定理图~=—―一得—C9S0=—坐—

sinCsinZDBC.TT...2TI小

sm(/8N+—)sm(----0)

63

2sin(6+cos2=sin(—-2),2(-^-sin^+—cos0)cos0=sin(—-0)=sin(6+—)，

632233

sin(6+马=V5sin。cos0+cos20=—sin2^+—cos2^+—=sin(26+—)+—

322262

=sin(2^+—--)+-=-cos2(2^+—)+-=2sin2(^+-)-l+-,

3223232

2sin2(^+y)-sin(^+y)-1=0,

，是锐角，sin(^+|)>0,故解得sin(6+?)=笥叵，

—CD0历

CDBC

BC=—%-----=——-——=2回-2V2

2471

sin(--^)sin—sin(--6>)sin(6>+-)

由正弦定理36所以33

解析几何

1.（福建省福州高级中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题）

二ABC中，ZB=y,A,B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（84+8C）-AC=0,则E的

离心率为（）

13

B.6+1C.妇D,2^+1

A.V5-1

22

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，根据垂•直向量的数量积性质，结合三角函数，整理齐次方程，可得答案.

【详解】由题意得，点C'在双曲线的右支上.

设AC的中点为。，由(BA+BC)AC=0得3OJ_AC,

所以|刚=忸C|=2c,E白双曲线的定义得|C4|=|CB|+2a=2c+2a.

71

在△ABO中，BDA.A1D,AABD=~,

A£>+c

.sin^_ll_«所6a+c

3\AB\2c22c

整理得e=£=3里.

a2

故选：D.

2.(湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题)

设抛物线G：y2=2»(p>0)|的焦点为尸(1,0),点尸(2,2).已知以点EP为焦点的椭圆C2与抛物线G有公共点，

则该椭圆的离心率的最大:值为()

A④

A.-----B.-C.—D.6

2332

【答案】C

【解析】

14

【分析】求出椭圆长轴长的最小值，利用离心率定义可得解.

【详解】由题意，抛物线方程为V=4x,准线方程为x=—1,椭圆焦距2c=6，

由抛物线的定义可得抛物线上的点。到EP的距离和的最小值为点尸到抛物线准线的距离3,即椭圆长

轴的最小值为2。=3,所以椭圆的离心率的最大值为好.

3

故选：C.

3.（重庆市南开中学2023届高三上学期第二次质量检测数学试题）

r221

已知椭圆。：彳+彳v=1（。>6>0）的左、右焦点分别是京，工，斜率为；的直线/经过左焦点E且交C

于A,3两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为「△8片鸟的内切圆半径为弓，若工=3,

ri

则椭圆的离心率0=.

如图所示，由椭圆定义可得|蝴|+|悟|=2a,忸耳|+|巡|=外,

设△4耳鸟的面积为S/△BRK的面积为S?

；（2a+2cHSRex以

由题意得j----------=^-=----------=£=

5（2a+2c九邑-x2cx（-yB）乃九

设直线/:x=2y-c,则联立椭圆方程与直线/,可得

[72>；2=/=（/+好万一4%一*0,小％=^^，*"

令，=上.>],则2一h+_1]=（2±±2^=4^=^^=*，

r2y\yy如+枷5a--4c-_A

BABr40

e~

当-^-=2=3时，有2—（3+，]=—3=—=>e2=—=>e=,故答案为：

r2k3j34__51644

15

4.（福建省福州高级中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题）

已知RjABC中，A（-l,0）,3（1,0）,NC4B=90。，AC=手，曲线E过C点，动点P在E上运

动，且保持1PH+归目的值不变.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点（1,0）的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点。，使得QM-QN的值为定

值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

r2

【答案】（1）—+/=1

2-

（2）存在点使得QATQN为定值一《

【解析】

【分析】（1）根据条件可知动点P运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果.

（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.

【小问1详解】

解：由题意，可得|P4|+|尸同=|C4|+|C@=2VL

而［4即=2<2及，

所以点尸的轨迹为以A,3为焦点，长轴长为20的椭圆，

由2a=2及，c=l，得a=6,b=l,

所以曲线E的方程为土+V=i.

2

【小问2详解】

当直线/的斜率为不为。时，设直线/的方程为x=my+l,设定点Q（r,0）

16

「'消'可得（心“+2%-1=0,

联立方程组《

设N（孙必），

2m1

可得X+%E"2

m2+2

所以QM-QN=（王一，）（与一，）+y％=（叼1+1-/）（6%+1-,）+乂％

21、-I3\-2m7x2（2Z-3）/772-Iz\2

%?+2i〜2+2v）加2+2、）

要使上式为定值，则2,一3=-,，解得，=』

24

此时QM-QN=—g+[l7

16

当直线/的斜率为0时，M（-V2,0）,N出0）,此时，QM.QN=—\也符合.

7

所以，存在点Q（：,。），使得QM.QN为定值q.

16

5.（重庆市南开中学2023届高三上学期第二次质量检测数学试题）

v-2v2

己知双曲线-—4=1（。>0）的右焦点为尸（2,0）,过右焦点/作斜率为正的直线/，直线/交双曲线的

a"a

右支于「，。两点，分别交两条渐近线于A,B两点,点A,P在第一象限，。为原点.

（I）求直线/斜率的取值范围；

S

（2）设△。4尸，△03P,/XOPQ的面积分别是SNAP，SAOBP，SMPQ,求——任丝一的范围.

〃QAP■S&OBP

解：（I）由题可知：双曲线的方程为：土—二=1……2分

22

?-1^0

2=2=

（/2-1）y2+4/y+2=0=><A>0=>t2<I

ty-x—2

y•必<°

所以：0<r<l,即直线/的斜率范围为4=2e（l,+oo）……4分

（2）方法一：设尸（玉,y）,渐近线方程为y=±x,则尸到两条渐近线的距离4,4满足:

17

dd厘.9=匠1吼=1……6分

'2V2722

Jy=x22\y=-x2-2

[ty=x-2A1-t-A\-t\ty=x-2B1+r,1+r

所以％”-S△刚=MoA\.dl\OB\-dngCjg亚士d@=七……8分

ziz2zi—r，i+zi—r

由」-=>(/2-1)/+4ry+2=0

SM”Q=S4OMP+S^OMQ=g|0F||力一为|={(%+%)2-4外坨=...io分

所以：：Q<r<l,.•.e(0,2)……12分

S70一"

S&OAP'S&OKPS&OAP'S^OBP

法二：设直线/:x=)+2,则有re(O,l),分别联立双曲线与渐近线有：

产—1/0

,:二:：吊--1)丁+4。+2=0=>,

4=8仔+l)>0n0<产<1,所以

力>。<0

27^772回2+i)

一4，2

则有>〃+y2=；^，yy,PQ=J*+i.

t—1PQ?-1l-t2

22

2",=>(/—l)y+4/y+4=0=>A2=16r-16(r-1)=16,

EI*-4f44n7白咨…6分

则有力+%=7^7，yy=-^-：'AB=ylr+l-

t—[ABt—1|r2-l|\-t2

设M为线段PQ的中点，因为》+%=%+%，所以”也为线段45的中点,

4

1「，7-i2(1-/)

则有()()12^-\AB2-PQ2\^——g.……9分

APBP=MA-MPMB+MP=MA-MP4L」M_iV

2

设%为原点。到直线AB的距离，则有［。=-7二，所以:

J产+1

SMPQ=铲4=2PQ=8P。2

=^2(r+l),11分

22

SAOAP，SAOBP-AP<i-BPdAP-BP-d。^AB-PQ~^-d0

2o2。

18

s

因为Ovr<l,所以——处丝一e(V2,2).……12分

S^OAP,S4OBP

排列组合

1.（2022•江苏常州期中）

已知（1—2x）2021=ao+0xH---142021/021,则£+||+||T----

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【考点】二项式定理的应用

【解析】由题意可知，当x=0时，解得ao=1,当x=；时，解得0=卬+?+景+lid---亨翁，则

夕+会+学+…+巽=一劭=一1，故答案选B.

2.（2022•江苏连云港期中）

高三（1）班某天安排语文、数学、外语、物理、化学、生物各一节课.若要求语文课比外语课先上，数学课

与物理课不相邻，则编排方案共有▲种.

【答案】240

【考点】排列组合问题

【解析】由题意可得,因为数学课与物理课不相邻，所以先排除数学、物理课之外的其他课程，则有月,

而有5个空，需要让数学、物理课插空，则有《，又语文课比外语课先上，且语文、外语课的前后顺序共

两类，则最后编排方案共有十=240种

3.（2022•江苏南京市第一中学期中）

在二项式（x+；）”的展开式中，各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概

yjx

率为（）

A±R3&_L

A.35D-4J1414

【答案】D

【考点】二项式定理展开式与概率的应用

19

7_立

【解析】由题意可知，2"=128,解得〃=7,则二项式展开式的通式可设为「+尸2,所以当r=0,2,

A4/i

4,6时，为有理项，所以所求概率2=齐=言，故答案选D.

4.（2022•江苏南京市中华中学期中）

已知（l-2x）"的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含炉的系数为（）

A.-312B.312C.-220D.220

【答案】D

【考点】二项式定理展开式的应用

【解析】由题意可知，二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，所以《=优，解得"=2+9=11,

则展开式的通项公式〃+1=3（-2x）（令k=2,则展开式中含x2的系数为6|X4=220,即展开式中含/

的系数为220,故答案选D.

5.（2022•江苏南师附中期中）

2021年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现

有5名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有（）

A.12种B.30种C.18种D.15种

【答案】B

【解析】两种方案①4+1,②3+2；

①有CC屈=10个结果，②有C《G=20个结果.共有30个结果.

6.（2022•江苏南通如皋市期中）（多选题）

已知（1—2¥严21=〃0+〃]X+〃加2+・・・+〃202112021,则

A.展开式中所有项的系数和为一1B.展开式中二项系数最大项为第1010项

C.----H第=-1D.ai+2a2+3a3-\---1-202U2021=2021

【答案】AC

【考点】二项式定理展开式的应用

【解析】由题意，在所给的等式中，令x=l,可得展开式中所有项的系数和为（1—2）2必=-1,故选项A

正确；展开式中第r+1项的二项式系数为G021，则Go212ao2；，且GM'GU，解得lOlOWrW1011,所

以展开式中二项系数最大项为第1011和1012项，故选项B错误；

2D

在所给的等式中，令x=0,可得40=1,令x=g,可得40+与+岩----1■砥盘=0,

所以卜关+工+…+翁=一1,故选项C正确，对已知关系式两边同时求导可得：2021(1一统严°义(一

2020

2)=a1+2«2x+•••+2021a2()2ix,令x=l,则2021(1—2产20><(_2)=m+2a2+…+2021“202i，所以m

+2。2+3。3+…+2021a2021=—4042,故选项D错误；综上，答案选AC.

统计概率

1.(福建省福州高级中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题)

世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人通俗点说就是存在