2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量微中微平面向量的热点问题角度3与基本不等式结合

角度3与基本不等式结合1．(2023·广州二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，当λ＝________时，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))有最小值为________．解析：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4×2×eq\f(1,2)＝4，又eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－eq\f(λ,2))eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,18λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－eq\f(λ,2))×eq\f(1,18λ)×16＋4λ＋4(eq\f(1,18)＋1－eq\f(λ,2))＝2λ＋eq\f(8,9λ)＋eq\f(34,9)，又2λ＋eq\f(8,9λ)＋eq\f(34,9)≥2eq\r(2λ×\f(8,9λ))＋eq\f(34,9)＝eq\f(58,9)，当且仅当2λ＝eq\f(8,9λ)，即λ＝eq\f(2,3)时取等号，即当λ＝eq\f(2,3)时，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))有最小值为eq\f(58,9).答案：eq\f(2,3)eq\f(58,9)2.(多选题)(2023·广州荔湾区校级模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP＝eq\r(2)，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是()A．eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))为定值B．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的取值范围是[－2，0]C．当AC⊥BD时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))为定值D．|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|的最大值为12解析：如图，设直线PO与圆O于E，F.则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PC,\s\up6(→))|＝－|eq\o(EP,\s\up6(→))||eq\o(PF,\s\up6(→))|＝－(|eq\o(OE,\s\up6(→))|－|eq\o(PO,\s\up6(→))|)(|eq\o(OE,\s\up6(→))|＋|eq\o(PO,\s\up6(→))|)＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(EO,\s\up6(→))|2＝－2，故A正确；取AC的中点为M，连接OM，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→)))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\o(MC,\s\up6(→))2＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－(4－eq\o(OM,\s\up6(→)))2＝2eq\o(OM,\s\up6(→))2－4，而0≤eq\o(OM,\s\up6(→))2≤|OP|2＝2，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的取值范围是[－4，0]，故B错误；当AC⊥BD时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·(eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝－|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(CP,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|＝－2|eq\o(EP,\s\up6(→))||eq\o(PF,\s\up6(→))|＝－4，故C正确；当AC⊥BD时，圆O半径r＝2，取AC中点为M，BD中点为N，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|2·|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4(r2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2)·4(r2－|eq\o(ON,\s\up6(→))|2)≤16·eq\f(（4－|\o(OM,\s\up6(→))|2＋4－|\o(ON,\s\up6(→))|2）2,4)＝4(8－2)2＝144，因为|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ON,\s\up6(→))|2＝|eq\o(ON,\s\up6(→))|2＝2，不等式等号成立，当且仅当|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(ON,\s\up6(→))|2＝1，故D正确．故选ACD.答案：ACD平面向量中与最值