7.4三角函数的应用

7.4三角函数的应用【考点梳理】考点一：三角函数的应用1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．考点二：函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义【题型归纳】题型一：三角函数在物理中的应用1．（2022下·浙江杭州·高二统考期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（

）A．2 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，故选：D2．（2022下·山东·高一统考期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（

）【答案】C【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.【详解】由，得.由函数的图象可知函数的周期为，所以，即.故选：C.3．（2021上·江苏·高一专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（

）A．小球在开始振动即时的位置在B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为C．小球往复运动一次所需时间为D．每秒钟小球能往复振动次【答案】D【分析】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置；对于B,由解析式可得振幅，即为所求；对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解；对于D,由频率与周期的关系即可求解．【详解】对于A,由题意可得当时，，故小球在开始振动时的位置在；故A正确；对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；故B正确；对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确；对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确.故选：D．题型二：三角函数在生活中的应用4．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（

）【答案】B【分析】由三角函数的性质结合条件即得.【详解】当时，，由，得，所以(时)；由，得，所以(时).故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.故选：B5．（2023下·山东临沂·高一统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，利用点到水面的距离求出函数的解析式，计算时的值即可．【详解】设，则点到水面的距离，由题可知，与的夹角为，在时间转过的角度为，由图可知，点的纵坐标，因此则点到水面的距离，当时，，所以点到水面的距离为．故选：A6．（2023下·浙江·高一校联考期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设,则.过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则.在直角三角形中，,所以.同理：.所以.因为（当且仅当且时等号成立）.所以.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为,所以.故选：A题型三：几何下的三角函数模型7．（2023上·云南大理·高一统考期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一:用直角三角形较短的直角边长x及α表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方形面积之比为1∶5求得后再求tanα的值.方法二:设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b，由小正方形与大正方形面积之比为1∶5及直角三角形边关系求得,进一步求tanα的值.【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为x，由于，则较长直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，因为小正方形与大正方形面积之比为1∶5，所以，所以，所以，由于，解得．方法二：设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b，，∴，，，∴，，故选：D．8．（2023上·广东东莞·高一统考期末）记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】画出图像，由题意分析得，利用已知条件求解出化简即可.【详解】如图所示：由题意得分针每分钟转rad，则分钟后转了rad，则点到轴的距离与时间t的关系可设为：，当时，点在钟表的12点处，此时，所以，所以可以取，此时，故选：D.9．（2022上·江苏常州·高一校考期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（

）（参考数据：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．7000【答案】C【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小.【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，令，则，∵，，，∴，又，所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.故选：C.题型四：三角函数的应用10．（2023·全国·高一课堂例题）一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：，，第二问精确到）【答案】(1)【分析】设角（）是以为始边，为终边的角，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，结合进而时求得的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为5，即可求得时间；【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设角（）是以为始边，为终边的角，由在内所转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，故P点纵坐标为，则，当时，，可得，因为且，所以，故所求函数关系式为；（2）令，得，取，解得，故点P第一次到达最高点大约需要5.5s.11．（2023上·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象，一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象基本一致且周期为，其中x为时间，为水深．当时，海水上涨至最高，最高为5米．(1)求函数的解析式，并作出函数在上的简图；(2)求海水持续上涨的时间区间．【答案】(1)，作图见解析(2)【分析】（1）根据题意，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，利用描点法作出函数的图象；（2）根据题意转化为海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间，根据三角函数的性质，求得函数的单调递增区间，即可求解.【详解】（1）解：由函数的周期为，可得，当时时，海水上涨至最高，且最高为5米，可得，所以，且，即，可得，即，因为，所以，所以，因为，可得，列表：500描点并连线，得到函数的图象，如图所示，（2）解：由（1）知，函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为，海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间，所以海水持续上涨的时间区间为.12．（2023上·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米）经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】(1)，，(2)5个小时【分析】（1）由表中数据知，然后利用周期公式可求出，再由，和，，可求出，从而可求出解析式，（2）利用余弦函数的性质解即可得答案.【详解】（1）由表中数据知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函数解析式为：.（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，所以，所以，，即，.又因为，故可令得，或，或.所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.【双基达标】一：单选题13．（2023·海南·统考模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，分别求得外圆的半径和内圆的半径，，利用三角函数求解.【详解】解：如图所示：由题意得：外圆的半径为cm，内圆的半径为cm，，所以，则此时指针尖到地面的高度约为：cm，故选：C14．（2023·全国·高三专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（

）A． B．4mC． D．【答案】A【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】由题图可得，，则，当时，取得最小值，即，解得，∵函数的图象过点，∴，又，则，所以，∴，∴．当时，，即估计当天的水深为．故选：A.15．（2023上·高一课时练习）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F（单位：辆/分钟）与时间t（单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出函数的单调递增区间，根据选项进行判断即可.【详解】令，得，因为，所以当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．因为，所以车流量在时间段内是增加的，故选：C.t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112sA．， B．C． D．，【答案】D【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解.【详解】设简谐振动的解析式为，其中由表格可知：振幅，周期，过点，由周期，且，可得，由过点，可得，即，则，可得，所以简谐振动的解析式为.故选：D.17．（2023下·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（

）（参考数据：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量【答案】A【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案.【详解】由题意可得，可得，解得，所以，当时，（量）.故选：A.18．（2023下·广东韶关·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，根据图形表示即可.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，因为圆的半径为则点的纵坐标为，又因为筒车的轴心到水面的距离为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：D【高分突破】一、单选题19．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（

）（参考数据：，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接,,，进而在中求，最后利用弧长公式求得彩虹长度.【详解】在中，由勾股定理，可得：，连接PO，则在中，，连接OB，OC，OM，则在中，，故，，则彩虹（）的长度约为.故选：A20．（2023下·北京丰台·高一统考期中）半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（

）A．s B．s C．s D．10s【答案】B【分析】由题意求得周期，进而得到，由水轮的圆心距离水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案.【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，因为，可得，，所以，当水轮上点P从水中浮出时x=0s开始计时，令，解得，点P第一次到达最高点需要.故选：B.21．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg

②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值

④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式，又因为，所以，即，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数，其最小正周期（min），则此人的心跳为次/分，故④正确；故选：C22．（2023下·湖北黄冈·高一校联考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为，由，结合，求得x，再利用三角函数定义求解.【详解】解：设直角三角形的最短直角边为x，则最长直角边为，由题意得，由，解得，所以，故选：A23．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（

）cm．（精确到0.1cm）A．12.7 B．25.3 【答案】B【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】因为线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，，且取，又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函数的最小正周期为，即，解得，即线长约为cm.故选：B.24．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（

）A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月【答案】B【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可.【详解】由题意，得，，由，得，所以.因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，故.由，得，则，所以，当时，，又，所以，7，8，9，10，即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5.故选：B.二、多选题25．（2023下·福建漳州·高一校考期中）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（

）A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点【答案】BD【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A错误；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；对于C，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；对于D，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.故选：BD.26．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（

）A．点第一次到达最高点需要秒B．点第一次到达最低点需要秒C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米【答案】ACD【分析】设，利用最值、最小正周期和可求得解析式；利用、可求得AB正误；由可求得的范围，由此知C正确；由可知D正确.【详解】设点距离水面的高度与时间的函数解析式为，由题意知：，，最小正周期，，，，，即，又，，；对于A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要秒，A正确；对于B，令，解得：，即点第一次到达最低点需要秒，B错误；对于C，，，令，即，，解得：，水轮转动一圈内，点在水面下方的时间为秒，C正确；对于D，，当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米，D正确.故选：ACD.27．（2023上·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（

）A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，【答案】AD【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，，，所以，则，又点，此时代入可得，解得，又，所以，故A正确；因为，当时，，所以函数先增后减，故B错误；当时，所以，则，则，故C错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确；故选：AD28．（2023下·河北衡水·高一河北武邑中学校考期末）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A．太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据题意求出甲地的日影长，从而可求出乙地的日影长，进而可求出甲地日影长与乙地日影长的比.【详解】依题意，甲地的日影长为寸，因为甲、乙两地之间的距离约为20千里，所以乙地的日影长为寸或寸，因为，，所以甲地日影长是乙地日影长的或．故选：AC．29．（2023下·陕西安康·高一统考期末）凤凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年（1704年），是中国历史文化名城，国家AAAA级景区，与山西平遥古城媲美，享有“北平遥､南凤凰”的美誉.在其母亲河沱江上有一个水车，半径为4米（示意图如图所示），水车圆心距离水面2米，已知水车每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水车上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（

）A．点P第一次到达最高点需要10秒B．当水车转动35秒时，点P距离水面2米C．当水车转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为【答案】ACD【分析】根据函数的性质求出解析式为，即可结合选项代入验证求解.【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为由题意得解得，故D正确；对于A，令，即，即，解得，故A对；对于B，令，代入，解得，故B错误；对于C，令，代入，解得，故C对.故选:ACD.三、填空题30．（2023下·江西萍乡·高一统考期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则．【答案】【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】

令，，则，，不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示，因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形，所以，所以，所以，即.故答案为：31．（2023上·高一课前预习）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是.【答案】.【分析】由题意得到,再由动点每秒钟逆时针转过，得到t秒后求解.【详解】解：因为时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，所以,又因为动点每秒钟逆时针转过，所以t秒后，则，所以则盛水筒的高度与时间的关系是，故答案为：32．（2023下·北京石景山·高一统考期末）水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点.给出下列结论：①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒；②当时，点距水面的最大距离为米；③当秒时，；其中所有正确结论的序号是.【答案】①③【分析】设经过秒后，点的高度为，根据题意求出，得，由可得，①正确；由，得②错误；根据秒时，，为正三角形，可得③正确.【详解】设经过秒后，点的高度为，则，解得，，因为水轮每分钟转动1圈，所以，所以，由，得，因为，所以，所以.对于①，由，得，得，，得，，又因为，所以，，所以在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒.故①正确；对于②，，故②错误；对于③，当秒时，，又，所以为正三角形，所以米，故③正确.故答案为：①③.33．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意求得，由区间的区间长度个周期，分区间在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因为，所以，所以，由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得则，因为，可得，当或时，取最小值；当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，此时函数在上先增后减，此时，不妨设，则，.综上可得，最小值为.故答案为：.34．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过s能到达距离水面的位置．【答案】【分析】计算，得到，取，解得答案.【详解】当时，，即，，故，，故，故，取，即，设盛水筒第一次达到的时间为，则，解得.故答案为：四、解答题35．（2023·全国·高一课堂例题）某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月3日2:00.(1)若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系；(2)求10月3日4:00水的深度；(3)求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间.【答案】(1)(2)7.1m(3)【分析】（1）设，利用低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，求出，再利用相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，以及一次高潮发生在10月3日2:00可以求出，进而求得水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系.（2）将代入（1）中的表达式即可求解.（3）由题意，结合（1）中求得的不等式即可求解.【详解】（1）设，则由题意有，解得，又因为，所以，而当时，有，所以，所以.（2）当时，，所以10月3日4:00水的深度约为7.1米.（3）由题意，即，解不等式可知：10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间为.36，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.求：(1)物体对平衡位置的位移x（单位：）和时间t（单位：s）之间的函数关系；(2)该物体在时的位置.【答案】(1)(2)该物体在时的位置是在O点的左侧且距O处.【分析】（1）由题意设，由公式可以求出，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，由此可以求出.（2）把代入（1）中所求得的表达式即可求解.【详解】（1）设x和t之间的函数关系为（，）.则由，可得.当时，有，即.又，可得.因此所求函数关系为，即.（2）令，得，故该物体在时的位置是在O点的左侧且距O处.37．（2023·全国·高一课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0:009:0018:003:0012:0021:06:0015:0024:00(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【答案】(1)，答案见解析(2)该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港(3)6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.【分析】（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；（2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解；（3）表示出x时刻的吃水深度，结合题意得，利用图像，数形结合，即可求得答案.【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则由已知数据结合图象可得，，，，故.由表中数据可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等时刻的水深分别是5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m；在整点时的水深近似为；1:00，5:00，13:00，17:00为6.3m；2:00，4:00，14:00，16:00为7.2m；7:00，11:00，19:00，23:00为3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8m.（2）由，得，画出的图象（如图），由图象可得