2022年全国高考数学(新高考1卷)真题及答案解析

2022年高考数学(新高考1卷)真题

及答案解析

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.若集合M={%|石<4},N=(x\3x>1],则MnN=()

A.{x|0<x<2}B.{x|^<%<2}C.{x|3<%<16}D.{x|^<%<16}

2.若i(l-z)=l,则z+5=()

A.—2B.—1C.1D.2

3.在△ABC中，点。在边48上，8。=204记万=沅，CD=n，则方=()

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m

时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，

则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(夕。2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109TTI3D.1.6x109m3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

1112

A.B.C.5D.三

6.记函数/⑶=sin(3+》+6(3>0)的最小正周期为T.若督<T<兀，且丁=/(%)

的图像关于点

(学,2)中心对称，则&)=()

A」B.gC*D.3

7.设a=0.1e°\b=g'c=—ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36兀，且

3<Z<3V3,则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.[18,争B.弓,空C.4,引D.[18,27]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知正方体力BCD-&B1C1D1，则()

A.直线BG与所成的角为90°

B.直线BCi与C公所成的角为90°

C.直线Bq与平面BBiAD所成的角为45°

D.直线BG与平面4BC。所成的角为45°

10.已知函数/(无)=/-X+1,则()

A.f(x)有两个极值点

B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2久是曲线y=/(x)的切线

11.已知。为坐标原点，点4(1,1)在抛物线C:/=2py(p>0)上，过点8(0,-1)的直线

交C于P,Q两点，则()

A.C的准线为y=-1B.直线4B与C相切

C.\OP\■\OQ\>|。川2D.\BP\'\BQ\>\BA\2

12.已知函数f(x)及其导函数/''(x)的定义域为R,记g(x)=/'(x).若/(|一2x),g(2+尤)

均为偶函数，贝M)

A./(0)=0B.5(-|)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(1-9)(x+y)8的展开式中/y6的系数为(用数字作答).

14.写出与圆久2+y2=1和(X_3)2+(y_4)2=16都相切的一条直线的方

程.

15.若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

16.已知椭圆C：m+[=l(a>b>0),C的上顶点为4两个焦点为F2,离心率为

也过Fi且垂直于AR的直线与C交于。，E两点，|DE|=6,则AAOE的周长

是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.记又为数列｛an｝的前n项和，已知%=1,修｝是公差为抽等差数列.

(1)求｛即｝的通项公式；

⑵证明:■力•••+为2.

18.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知誉J=「叱

1+sinAl+cos2B

第2页，共19页

⑴若C=t，求B;

(2)求邛的最小值.

19.如图，直三棱柱力BC-aB1C1的体积为4,△&BC的面积为2vl.

(1)求4到平面4BC的距离；

(2)设。为A1。的中点，AAi=AB,平面1平面4BB141，求二面角4-BD-C

的正弦值.

20.一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良

好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组

),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异•

(2)从该地的人群中任选一人，4表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件

“选到的人患有该疾病”，畿与滴的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为R.

(7)证明•R=空巴.”幽•

1JP(川B)，P(洞，

俳)利用该调查数据，给出P(川B),P(AB)的估计值，并利用。)的结果给出R的估计值.

附.K2=____"a8此)2____

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

22

21.已知点4(2,1)在双曲线C:.一»匚=l(a>1)上，直线1交C于P,Q两点，直线4P,

4Q的斜率之和为0.

⑴求1的斜率；

(2)若tan"4Q=2应，求^P4Q的面积.

己知函数/(%)=ex-Q%和g(%)=Q%-Inx有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)证明：存在y=b直线，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并

且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

【解答】

解：因为M={%|0<%<16},N={x\x>|},

故MnN={%6w%V16}.

第4页，共19页

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的四则运算及共甄复数，属基础题.

【解答】

解：z=l+i,z+z=l+i+l—i=2.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题.

【解答】

解：CD=lCA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题.

【解答】

解：依据棱台的体积公式

U=1.(S+S，+yfss7)-h

=|•(140000000+180000000+V14000000X18000000)X9

«1.4X109nl3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题.

【解答】

解：由题可知，总的取法有酷=2\种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6.

所以两个数互质的概率为「=1一曲=?.

213

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.

【解答】

解：由题可知：7=詈6(芸兀)，所以toG(2,3).

又因为y=/(%)的图像关于点(手,2)中心对称，所以b=2,且/(y)=sin(a)x

迎+2)+。=2.

2"

所以3=|("3,kez,所以3=*所以/(x)=sin(|x+5+2.所以/(|)=

1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题.

【解答】

解：a=O.le。，，b=-^7-7，c=—ln(l—0.1),

1—0.1

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=%4-ln(l—x),xG(0,0.1］,

则f(x)=l--L=^<0,

故/(x)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nb<0,所以QVb；

②a—c=O.le01+ln(l—0.1),

xeX

令9(x)=+ln(l—x)txE.(0,0.1］,

贝Ug'(x)=xeX+ex--二里型3匚，

令fc(x)=(14-x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—%2—2x)ex>0,

所以fc(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>fc(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a-c>0,所以a>

c.

故cVaVb.

8.【答案】C

第6页，共19页

【解析】

【分析】

本题考查了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属

较难题.

【解答】

解：方法（1）:

设正四棱锥P-ABCD的高为P01=h,底面边长为a,球心为0,由已知易得球

半径为R=3,

V2-2+2-9

2-

所

以3)(6h=I2

V222因为3W/W3^3=>9<6/i<

-2+[a=2(6h—ft)

2h2

9

故所以V=|a2/i=|（6/i—九2）八=|（12—2ti）hxft<|x［-12—+/l+-］3=g（当且仅

当h=4取到），

当仁|时，得a=^，则％说=朝仁"罢）2*|=与；

当Z=3遮时，球心在正四棱锥高线上，止匕时％=升3=>

^a=%=a=¥,正四棱锥体积匕=42/1="¥）2工2=皂〈丝，故该正四棱

锥体积的取值范围是［彳,弓］.

方法⑵

2392

但

所以

知

由

方法

-<九<y-

----一

3(62--23(6

帅2在［|,旬上单调递增，在［4勺上单调递减，所以嘘ax=八4）,Kmin=

min伍|）,嗯）｝=喝）=孑，故该正四棱锥体积的取值范围是住,今

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题.

【解答】

解：如图，因为BCi1B［C,B\C"DA\,所以BCi1,故A正确；

对于选项B:因为直线Bg1平面CD&Bi,且u平面CD481,所以直线

BG_LC4i,故8正确；

对于选项C:连接41G与BD交于点名,则N018C1即为直线BG与平面

BBRD所成的角，

sinzOiBC1=螯=：,所以4O]BC]=30。，故C错误；

对于选项D:直线Bg与平面ABCD所成的角即为4GBe=45。，所以D正确.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，

考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题.

【解答】

解：/（X）=X3—X+1=>-3x2—1,令f'（x）=0得：X-+-y>

.（x）>0nx<-当或X>[;f'[X）<0=>-y<X<y,

所以/（X）在（-00,-^）上单调递增，在（一日,日）上单调递减，在（9,+8）上单调

递增，

所以/（X）有两个极值点Q=为极大值点，x为极小值点），故A正确

>

+1=1>0

又/（-y）=-y-（-T）+1=1+v>0'/（T）=T-T-¥'

所以/（%）仅有1个零点（如图所示），故8错；

第8页，共19页

又/(-x)=-x3*+%+1=/(-%)+/(%)=2,所以/(%)关于(0,1)对称，故C正

确；

对于D选项，设切点P3),yo),在P处的切线为y-(瑶一出+1)=(3将-1)(%-

/),

即y=(3%o—1)%—2XQ4-1,

若y=2x是其切线，则［合，方程组无解，所以D错.

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题.

【解答】

解：点4(1,1)在抛物线C:x*2=2py(p>0)上，即1=2p=C:/=y,所以准线

为y=-：，所以4错；

直线AB:y=2x—1代入/=y得：/—2x+1=0=(x—=0=x=0,所

以AB与C相切，故B正确.

由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线PQ-.y=kx-l,P(%,yi),

(v-kx1

Q(x,y)，则|_=>%2—kx4-1=0,4=k2-4>°=攵<-2或

22\,y=x2

2,

22

叶时俨i+x2=k(yr+y2=xl+xl=(xx+x2)-2xtx2=k-2

=1'(yi%=就据-1

\OP\'\OQ\=+%2)«+*)=J5+犬)(丫2+资)=

\/。1'2)2+01丫2)(乃+丫2)+%丫2=J2+_2)=V/C7>2=1。川2,故C正确；

2222

\BP\'|BQ|=V1+/c|Xi-O|V1+fc|x2-0|=(1+k}\xxx2\=(1+fc)>5=

\BA\2,故D正确.

O

1

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.

【解答】

解：由f(|一2x)为偶函数可知/(x)关于直线x=|对称，

由g(2+乃为偶函数可知g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=/'(%),根据g(%)关于直线％=2对称可知/(%)关于点(2,t)对称，

根据/(X)关于直线X=女寸称可知：g(x)关于点(|,0)对称，

综上，函数/(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有〃0)="2)=3所以4不正确

>

/(-1)=/(1),/(4)=/(2),/(1)=/(2),故〃-1)=/(4),所以C正确•

g(-9=g(|)=o,g(-I)=g(i),所以8正确；

又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以。不正确.

13.【答案】-28

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.

【解答】

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88rr

解：因为(x+y)展开式的通项Tr+1=CgX~y,

令r=5,则x3y5的系数为Cg=56；令r=6,则x2y6的系数为Cg=28,

所以x2y6的系数为-56+28=-28.

14.【答案】x+l=O7x-24y-25=03x+4y-5=0(填一条即可)

【解析】

【分析】

本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，

属较难题.

【解答】

解：方法1:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+by+c=0,于是

=1|3+4b+c|=

y/1+b2-'y/1+b2-0

故c?=1+炉①，|3+4b+c|=\4c\.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=

(b=-^(b=-

-4c,再结合①解得F：?或《2々或〈35,所以直线方程有三条，

C=1(C=~-[C=-3

分别为x+l=0，7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

(填一条即可)

方法2:设圆x2+y2=1的圆心。(0,0),半径为6=1,圆(x-3尸+(y—4)2=

16的圆心C(3,4)，半径上=4,则\OC\=5=ri+r2,因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然％+1=0符合题意；

又由方程(x-3)2+(y-4产=16和/+y2=1相减可得方程3%+4y-5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4%-3y=0,

直线OC与直线x+1=0的交点为(-1,一§，设过该点的直线为y+g=k(x+

1)，则紧=1，解得k=A，

^/k2+T24

从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)

15.【答案】(-8,-4)U(0,+8)

【解析】

【分析】

本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题.

【解答】

解：y/=(x+a+l)ex,设切点为Q。,%)，故合=Qo+a+1)/。，即回吐贮=

"0XQ

(Xo+a+l)ex°.由题意可得，方程x+a=x(x+a+1)在(―oo,0)U(0,+oo)上有

两个不相等的实数根.化简得，x2+ax-a=0,△=a2+4a>0,解得a<-4或

a>0,显然此时0不是根，故满足题意.

16.【答案】13

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考

查了运算求解能力，属于中档题.

【解答】

解：由椭圆离心率为|,可得a=2c,则b=yja2—c2=V3c，

:

则0+=1'4(0,V^c)>&(-c,0),F2(C,0)>

易得^AF2-y——\/3x+\/3c>IED：y=-y(x+c)>

可解得AF2与DE的交点M6,当)，

故直线OE垂直平分AF2,即EA=EF2,DA=DF2>

%2y2(81

---7=1IX。+Xf=——

2

4c才=13x+8cx—32c2=0=*<2

{y=T(x+c)(X”E=一篝

第12页，共19页

\DE\=11+^|x-x|=6=>(x+x)2-4XX=27=c=葛>

、3DED£DEo

所以△ADE的周长AD+AE+DE=DF2+EF2+DFr+EF1=4a=8c=13.

17.【答案】解：⑴[="5-1)=千"=彳每①;

a】J<5J

n4-3八

'Sn+1=—-—Qyi+l®；

,z-x口n+3n+2an+2

由②一①得：an+l=~an+l---~an~n~+1=~>

JJtt.yjII

.•・当n》2且n”时,"公•.谭*=—吟泊=蟹=册

n(7i+l)

2

又5=1也符合上式，因此与=丝/⑺eN*)；

,*■>、12c/11、

⑵・寸许=2q一£)，

*+2+…+2=2(；后+:抖…+；一右)=2(1-^)<2,

即原不等式成立.

【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据

数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题.

cos4_sin2B

【答案】解:

18.l+sin?ll+cos2B，津黑七=田冲…。

cosA--si.nA-1-t„anA-

22sinB

AAA=tanB,・•・tan(^—1)=tanF,

cos^+sin-cosB1+tan-

22

又巳_建(_炉)，”-=B.

4,BG(0,TT),4214'"42

又..・C=?,,・・/+B=g.・.8=?.

3oo

siMA+siMB_siM/i+siMe-9

(2)由正弦定理号=b肃，得营

sinBsin2c-sin2(A+卜今

l-COS2A,1-COS2(J-y).

-+~_l-cos2/1+1-sinA_2sin"/1-sinA+\

1-cos21+sinA1+sinA'

2

(A6(0.7T)

=86(0,兀)=46(°()'令t=1+sinAe(1,2),

则y=2(D：(t-i)+i=2t_5+、，te(1,2),

y=2t-5+g在te(1,&)时递减，在tg(鱼,2)时递增,

因止匕t=遮时，ymin=4V2-5.

【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问

题，属于中档题.

19.【答案】解：(1)设4到平面48C的距离为d,

因为直三棱柱4BC-4B1G的体积为4,即可得".Be•AAt=4,

故%1-4BC_gSfBc,441_J>

又%1-ABC=^A-AtBC=,SA4[BC'd=,X2&xd=

解得d=y/2,所以4到平面&BC的距离为血；

(2)连接因为直三棱柱ABC-&BC中，AAr=AB,

故A4$iB为正方形，即4B1148,

又平面&BC_L平面4BB141，平面&BCn平面288送1=ArB,ABru平面ABB1人,

故4Bi1平面AiBC,所以力Bil.BC,

又因为4411BC,力Bi，A4iu平面HAB1QAB1=A,

故BC1平面ABBiAi,则BC1AB,

所以三条直线两两垂直，

故如图可以以B为原点建立空间直角坐标系，

设441-AB-a,BC=b,则=V2a,

-axbxa=4

{1缶xk2收解得忆:,

则B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),&(0,2,2),41c的中点。(1,1,1),

所以市=(0,2,0)，前=(1,1,1),=(2,0,0)

设平面48。的一个法向量为与=(%,y,z),

可-BA=0(2y=0

田•前=00&+、+2=°取方=

第14页，共19页

同理可求得平面BCD的一个法向量为五=(0,1,-1)

所以苏，黑"=_1

|cos<n?>|==21

\nlV\n2\

所以二面角力-BD-C的正弦值为式.

2

【解析】本题考查了平面与平面所成角的空间向量求法、点到面的距离的儿何求法、儿

何体的体积公式，考查了空间中的垂直关系的证明与应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)得到2x2联表如下：

不够良好良好总计

病例组4060100

对照组1090100

总计50150200

200x(40X90-60X10)2

—…~———=24>10,828

100x100X50x150

・•.有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;

(2)⑴证明："(814)=瑞，p(万|4)=需,

P(B©=黯，「西不=黯，

P34)P(Bl)

P(B|4)二P(B|A)_二__P_(_不_______P__(_B_4_)___P_宙__彳__)

：•R=

P(B\A),P(B\A)~P(瓦1).P(万彳)-P(BA)P^BA)

P(4)P(A)

又㈠⑷B)=瑞，P(1|B)=靖，P硒=需,

P(丽=鬻

___P(AB)P(Z互)

.P(川B).P(彳|万)_P@)P®_PQ4B)P(彳亘)_P(B4)P(亘彳)

**P(A\B)*P(4画)—P>8)P(@)-P(AB)P(4万)-P(BA)P(BA)'

P(B)P(B)

P(4|B)P(A\B)

・,•R=——z=------------=-;

P(Z|B)P(A|8)

(ii)・••P(4|B)=需1005,⑺P(B)1005，产(句⑴P(F)10010

一P(4B)10_1

P(A\B)=_

P(8)10010

29

P(A\B)P(彳|互)争斗=6

P(A\B)P(A\B)

5io

d徵•舞H

即PQ4|B)=g,P(A|瓦)=套，R的估计值为6.

【解析】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属中档题.

21.【答案】解：⑴将点4代入双曲线方程得2L化简得a,-4a2+4=0得:

a2=2,故双曲线方程为9-y2=i；

由题显然直线2的斜率存在,设，:y=kx+m,设PQi，%)，＜2(x2,y2),则联立直线与双

曲线得:

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(2k2—l)%2+4kmx+2m2+2=0,△>0,

2m

故与+x22k2"X1X2=2k2T

化简得：2kx1x2+(m—1—2k)(%i+x2)-4(m—1)=0,

故^^§^+g—1—21)(一黑)一4(m—1)=。,

即(k+l)(m+2fc-1)=0,而直线2不过4点，故/c=-1.

(2)设直线AP的倾斜角为a,由tan/PAQ=2VL得tang^=乎，

由2a+z_P4Q=7T,得k”=tana=a，即靠卷=夜，

联立安=企，及［―衣=1得/=¥，％=容，

同理，&=等且，丫2=昔三

故+上=g,XiX2=Y

而14Pl=6|%-2|,MQ|=遮口2—21

由tanzJMQ=2近，得sin/PAQ=手，

故SAPAQ=l\AP\\AQ\sin^PAQ=V2\X1x2-2(/+x2)+4|=竽・

【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题.

22.【答案】解：(1)由题知(。)=蜡一。，g'(x)=a-^,

①当a40时，/"(%)>0,,g'(x)<0,则两函数均无最小值，不符题意；

②当a>0时，/(%)在(-8,Ina)单调递减，在(