4.4.2第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 导学案正文

第2课时对数函数的图象及其性质的应用【学习目标】1.了解指数函数与对数函数互为反函数;会根据指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关系,直观发现它们互为反函数,并知道它们的图象关于直线y=x对称.2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性等相关问题.◆知识点一反函数的概念一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数.若两个函数互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称.

【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=log4x与y=x4互为反函数. ()(2)y=ax(a>0,且a≠1)与x=logay(a>0,且a≠1)的图象相同. ()2.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系?◆知识点二y=logaf(x)型函数性质的研究1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.2.值域:先由函数y=logaf(x)的定义域确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数y=logaf(x)的值域.3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据法则判定.(或运用单调性的定义判定)

4.奇偶性:根据奇、偶函数的定义判定.5.最值:先在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)y=log2x2在(0,+∞)上单调递增. ()(2)函数y=log12(x2+1)的值域为[0,+∞). (◆探究点一反函数例1(1)函数y=32x(x≥0)的反函数为,其反函数的值域为(2)函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的反函数的图象过定点.

变式若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),其反函数g(x)的图象过点(16,2),则函数g(x)=.

[素养小结](1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(2)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.◆探究点二对数函数图象、性质的综合应用角度一与对数函数有关的复合函数的单调性例2(1)函数y=log12(x2+4x3)的单调递减区间为 (A.(∞,2) B.(2,+∞)C.(1,2) D.(2,3)(2)函数f(x)=lg(x22axa)在区间(∞,3)上单调递减,则a的取值范围是 ()A.(2,+∞) B.-C.[2,+∞) D.45,+∞变式(1)[2023·人大附中高一月考]设函数f(x)=|lgx|,则下列说法正确的是 ()A.f(x)在(0,+∞)上是增函数B.f(x)在(0,+∞)上是减函数C.f(x)在[1,+∞)上单调递增D.f(x)在(0,1]上单调递增(2)(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=log2(x+1)B.y=log2xC.y=log0.21D.y=log13(x24[素养小结](1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定要树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域.(2)求此类型函数单调区间的两种思路:①利用定义求证;②借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=logat在定义域内的单调性,从而判定y=logaf(x)的单调性.角度二与对数函数有关的复合函数的值域或最值例3设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)的定义域为14,4,求函数f(x)的最小值和最大值,并求出取最值时对应的x的值变式1函数y=log13(9x2)的值域是 (A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(2,+∞) D.[2,+∞)变式2已知函数f(x)=lg(2+x)lg(2x).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)若f(x)≤0,求x的取值范围;