高考人教数学（理）一轮课件第二章第十一节第二课时导数与函数的极值最值

第二课时导数与函数的

极值、最值1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧__________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．都小f′(x)＜0

f′(x)＞0

(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．都大

f′(x)＞0

f′(x)＜0

2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的____．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中____的一个是最大值，____的一个是最小值．连续不断

极值

端点处的函数值f(a)，f(b)

最大

最小1．注意两种条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．分清极值与最值的关系(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．(2)若函数f(x)的图象连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．1．(基础知识：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个AA

3．(基本能力：极小值点)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．答案：24．(基本方法：极值与最值的关系)函数y＝xex的最小值是________．5．(基本应用：利用导数求极大值)现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．D

解析：由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，

f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．类型2求已知函数的极值[例2]已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．类型3已知极值点求参数[例3]

(1)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－1)12．判断极值点的个数首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．3．根据函数极值情况求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：求解后验证根的合理性．[题组突破]1．(2021·河北冀州中学模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．(－1，0)解析：若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1，0).2．已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．方法总结

1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．

[对点训练]设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k＝1时，求f(x)在[0，2]上的最值．解析：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln2＞0.由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln2.由f′(x)＜0，得0＜x＜ln2.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调减区间为(0，ln2).(2)由(1)可知x＝0和x＝ln2是f(x)的极值点，且0∈[0，2]，ln2∈[0，2]，f(0)＝－1，f(ln2)＝(ln2－1)·eln2－(ln2)2＝2(ln2－1)－(ln2)2，由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，在(ln2，＋∞)上f(x)为增函数，∴f(2)＞f(1)＞f(ln2)，∴f(x)的最大值为f(2)＝e2－4.f(x)的最小值为f(ln2)＝2ln2－2－(ln2)2.(2019·高考全