龙格库塔法推导

2023/12/241得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式

y'=f(x,y)(a≤x≤b)

中的

f(x,y)

充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开，若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。例如：取前两项可得到9.4龙格－库塔方法2023/12/242其中P阶泰勒方法若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到2023/12/243显然p=1时,

yi+1=y

i+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的，尤其当f(x,y)较复杂时，其高阶导数会很复杂。因此，利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2023/12/2449.4.1龙格-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成

则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta

方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2023/12/245同理，改进Euler公式可改写成

上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,

且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。局部截断误差为O(h3)2023/12/246

于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。一般龙格－库塔方法的形式为2023/12/247其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格－库塔方法。8Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x)，在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有即2023/12/249引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2023/12/2410如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2023/12/249.4.2二阶龙格—库塔法

在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即

式中:K1为xi点处的切线斜率值

K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)

K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1，即可得

2023/12/2411确定系数c1、c2、a2、b21

，可得到有2阶精度的算法格式2023/12/2412因此

将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开：

将在x=xi处进行Taylor展开：

2023/12/2413K1=hf(xi,yi)2023/12/2414这里有4个未知数，3个方程。存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。令

对应项的系数相等，得到

2023/12/2415注意到，就是二阶龙格-库塔公式，也就是改进的欧拉法。

因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格—库塔法中的一种特殊格式。若取，就是另一种形式的二阶龙格-库塔公式。2023/12/2416此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中为区间的中点。也称中点公式。

Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？2023/12/2417

二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个函数值。由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2,

b21，可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶精度。能否在计算函数值次数不变的情况下,通过选择不同的参数值,使得二阶R-K方法的精度再提高呢?

答案是否定的！无论四个参数怎样选择,都不能使公式的局部截断误差提高到三阶。

这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数值的次数。9.4.3三阶龙格—库塔法2023/12/2418为进一步提高精度，在区间[xi,xi+1]上除两点xi和xi+a2=xi+a2h,以外，再增加一点xi+a3=xi

+a3h

，用这三点处的斜率值K1、K2和K3的加权平均得出平均斜率K*的近似值K，这时计算格式具有形式:

2023/12/2419同理推导二阶公式，将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进行Taylor展开，使局部截断误差达到O(h4)，使对应项的系数相等，得到系数方程组：参数的选择不唯一，从而构成一类不同的三阶R-K公式，下面给出一种常用的三阶R-K公式，形似simpson公式：2023/12/24202023/12/24219.4.4四阶(经典)龙格—库塔法

如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。推导过程与前面类似，由于过程复杂，这里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格—库塔公式。

2023/12/2422

K1=hf

(xi,yi)

K2=hf

(xi+a2h,yi+b21K1)

K3=hf

(xi+a3h,yi+b31K1+b32K2)

K4=hf

(xi+a4h,yi+b41K1+b42K2+b43K3)

其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均为待定系数。这里K1、K2、K3、K4为四个不同点上的函数值，分别设其为设yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K42023/12/2423

类似于前面的讨论，把K2、K3、K4分别在xi点展成h的幂级数，代入线性组合式中，将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较，使其两式右端直到h4的系数相等，经过较复杂的解方程过程便可得到关于ci，ai，bij的一组特解

a2=a3=b21=b32=1/2

b31=b41=b42=0

a4=b43=1

c1=c4=1/6

c2=c3=1/324

四阶(经典)Runge-Kutta方法2023/12/2425例1.使用高阶R-K方法计算初值问题解:(1)使用三阶R-K方法2023/12/2426其余结果如下:(2)如果使用四阶R-K方法

ixik1k2k3

yi1.00000.10000.10000.11030.12561.11112.00000.20000.12350.13760.15951.24993.00000.30000.15620.17640.20921.42844.00000.40000.20400.23420.28661.66645.00000.50000.27770.32590.41631.99932023/12/2427其余结果如下:

ixik1k2k3k4

yi1.00000.10000.10000.11030.11130.12351.11112.00000.20000.12350.13760.13920.15631.25003.00000.30000.15620.17640.17910.20421.42864.00000.40000.20400.23420.23890.27811.66675.00000.50000.27770.32590.33480.40062.00002023/12/242023/12/2428由上节分析常微分方程数值解法稳定性问题的方法，可得到各阶Runge-Kutta公式的稳定性条件：二阶与欧拉预估－校正公式一致三阶四阶9.4.5龙格－库塔方法的稳定性条件2023/12/2429

龙格—库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格—库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应当针对问题的具体特点选择合适的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h

取小。

2023/12/2430

前面已经看到,二阶、四阶R-K方法可分别达到最高阶数2阶、4阶，但是N阶R-K方法的最高阶却不一定是N阶。R-K方法的级数表