2022高考数学代数部分之解答题专项训练（含答案解析）

2022高考数学代数部分之解答题专项训练

1.已知集合4={a,a?},若leA,实数a的值.

2.若集合{%|%2+(/,+2)x+b+1=0,beR}的各元素之和为0,求b的值.

3.已知集合4=(x\a-1<x<2a+3],B=[x\—2<x<4],全集U=R.

(1)当a=2时，求/UB；

(2)若求实数a的取值范围.

4.已知集合4={x|0<x-1<2},R为实数集，B=(x\l<x-a<2a+3].

(1)当a=l时，求4UB及ACCRB；

(2)若/CB。0,求a的取值范围.

5.对于集合4B,我们把集合{(a,b)|aEA,bEB}记作4xB.例如：A={1,2],B={3,4},

则有4xB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},BxA={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},Axr=

{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},BxB={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.据此,试回答下列问题:

(1)已知集合。={a},0={1,2,3},求CxD；

(2)已知4xB={(1,2),(2,2)},求集合4B；

(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定/XB中有多少个元素.

6.已知关于％的不等式装多船东哥篝型小的解集为4

(1)当蟒=询时，“?中三忌”是“犍侬娴荒三瞰J北北懒相邀人的必要条件，求7n的取值范围；

(2)若装尸:鼠，求实数a的取值范围.

7.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部

分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

全月应纳税所得额税率％

不超过1500元的部分3

超过1500元至4500元的10

部分

超过4500元至9000元的20

部分

(1)若某人某月的收入额是6500元，求该人本月应纳税所得额及其应纳的税费;

(2)设个人的月收入额为％元，应纳的税费为y元，当0<xW8000时，试写出y关于％的

函数关系式.

8.已知函数f(%)=f-%e[-1,2]

(x—3,xE(2,5]

(1)在给定的直角坐标系内画出/(%)的图象

(2)写出了(%)的单调递增区间与减区间.

2

9.判断并证明f(%)=表在(0,+8)上的单调性.

10.判断下列函数的奇偶性：f(%)=万三记+疗=1.

11.已知fO)是定义在R上的函数，若对于任意的％,yeR,都有f(x+y)=/(%)+/•(y),

且当n>0时，有f(x)>0.

(1)求证:f(0)=0；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)判断函数f(%)在R上的单调性，并证明你的结论.

12.如图，吊车梁的鱼腹部分40B是一段抛物线，宽为7M，高为0.7机，求这条抛物线的

方程.

I

ly

(2)0嘀整小。；窈@嗓■滔岩fe购领

14.设全集为R,集合/={x\x<3>6),5={x|-2<x<9}.

(1)求/uB,(CRA)nB；

(2)已知C={x|a<%<a+1},若CUB,求实数a的取值范围.

15.已知集合4={x|ax2—x+1=0,a6R,x6R}.

(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；

(2)若/中至多有一个元素，求a的取值范围.

16.设函数y=吆(一/+4%-3)的定义域为4函数丫=看，％e(0,m)的值域为B.

(1)当m=2时，求AnB；

(2)若“％6A”是“xGB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

17.已知集合4={%|-2<%<3],B={x\k—1<x<3—k].

(1)当左=一1时，求4UB；

(2)若=求实数k的取值范围.

18.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假.

(1)存在%,使得％-2W0；

(2)矩形的对角线互相垂直平分;

(3)三角形的两边之和大于第三边；

(4)有些质数是奇数.

19.已知zn,nGR,证明：加“一m=2九2+i成立的充要条件是7n2一九2=1.

20.已知/={%|/+3%-4=0},B={x\ax-l+a=0),且BU/,求所有a的值所

构成的集合M.

21.已知集合A={的,a2,a3,a4),B={0,1,2,3),/是从4到B的映射.

(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？

(2)若f满足f(%)+/(a2)+/(a3)+/(a4)=4,则不同的映射f又有多少个?

22.已知函数f(%)=/+2%tan6—1,6G(—p^)-

(1)若f(%)在Xe［-1,8］上为单调函数，求6的取值范围；

(2)若当时，丫=/0)在［-1,何上的最小值为9(6)，求g(。)的表达式.

23.已知定义在R上的偶函数/'(%),当%20时，/(%)=-2x+l.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若/(a)=-7,求实数a的值.

24.已知定义域在R上的函数/'(%)满足f(%+y)=/(X)+f(y)，且当%>0时，f(%)>0.

(1)求/X0),并证明函数是奇函数.

(2)证明函数的单调性并求使不等式/(a?-4)+f(2a+1)<0成立a的范围.

25.如图，在△/BC中，=60°,AB=2,AC=1,BD=2DC,AE=AAC-AB(AeR).

BDC

(1)若AD-AE=-4,求；l的值；

(2)若非零向量m=xAB+yAC(x,yeR),求黑的最小值.

26.已知函数f(x)=2¥+2ax+b,且/'(1)=1，f(2)=y.

(1)求a、b；

(2)判断f。)的奇偶性；

(3)试判断函数在(-8,0］上的单调性，并证明.

X

27.已知集合A={x\2<2<32},B={x\y=log2(3-%)).

(1)求/nB；

(2)若。={£氏2。+1},且求实数a的取值范围.

28.用描述法表示下列集合:

(1)奇数的集合；

(2)正偶数的集合.

29.已知集全U={x|x<4},集合4={%|-2<%<3},B={%|-3W3},求:/

AUB,QuA.

30.已知/={x|-1<x<2},B={x\2x>1}

(1)求4nB和4UB；

(2)若记符号A-B=[x\xJA,且x走B},

①在图中把表示“集合4-B”的部分用阴影涂黑;

②求4-B和B-A.

31.给出下列结论：

(1)某学校从编号依次为001,002,900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一

个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098,则样本中最大的编号为862.

(2)甲组5个数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的

是甲.

(3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1.

(4)对4B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的/种个体有15个,

则样本容量为30.

其中，正确结论的个数是()

A.3B.2C.lD.0

32.(1)求函数f(%)=竟+三不7的定义域；32.

(2)已知一次函数g(x)满足g(2x+3)=14%+20,求g(%)的解析式.

2X+1(%<0)

33.已知函数/'(%)={-2%+2(0<%<1)

log2x(x>1)

(1)画出y=f(x)的简图，并指出函数值域;

(2)结合图象，求当时，％的取值范围.

34.求函数y=1-序J的单调区间.

2

35.求函数y=log2(x+2x+3)的单调递增递减区间及值域.

36.设函数/(%)=霖是奇函数(a,b,c都是整数)且/"(1)=2,/(2)<3.

(1)求a,b,c的值；

(2)当％<0,f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；

(3)当%>0时，求函数/(%)的最小值.

37.若/'(%)=景(％。—1)，求f(0),/(I),—/[/(2)].

38.已知函数y=f(x),若在定义域内存在沏，使得/'(一%0)=成立，则称％o为函

数f(%)的局部对称点.

(1)若a€R,a。0,证明：函数/(%)=a/+%-。必有局部对称点；

(2)若函数/(%)=2X+c在区间［-1,2］内有局部对称点，求实数c的取值范围.

39.(1)比较a2/+i与的大小.39.

(2)aeR,f(%)=a-高若f(%)为奇函数，求/'(%)的值域并判断单调性.

40.已知函数/(%)=2工+2=

(1)求方程f。)=3的根；

(2)求证：f(%)在［0,+8)上是增函数.

参考答案

1.

解：A={a,a2］,由集合元素的互异性得a。az,即且

又164则a?=1,解之得a=1(舍去)，或a=—1.

所以实数a的值为-1.

2.

解：若集合｛%|/+(b+2)%+b+1=0"eR｝的各元素之和为0,

则方程两根的和为0,

即一(b+2)=0,

解得b=-2,

3.

解:(1)当a=2时,A={x|l<x<7},B={x|-2<x<4},

则ZUB={x[—2<%<7}；

(2)VAQB=A,：.AQB,

①若A=0,则a—2a+3,解得aW-4；

a—1V2a+3,

a-1>-2,

(2a+3W4,

解得：—1Wa45

综上:a的取值范围是(—8,—4]U[—1,|].

4.

解：(1)4={x|0<%-1<2}={x|l<x<3}

a=1则B={x|l<x—l<2xl+3}={x\2<x<6}9

A\JB=[x\l<x<6},CRB={x\x<2或%>6},

...AnCRB={x|l<x<2}.

(2)由已知得A={%|1<%<3},B={x\a+1<%<3a+3]

・.•>1nS0,

a+1V3,

3a+3>1,

{a+1V3a+3,

解得—：v。v

则a的取值范围(一泉2).

5.

解:(1)C={a},D={1,2,3),

:.CxD={(a,1),(a,2),(a,3)}.

(2)VAxB={(a,b)\aeAtbEB),

AXB={(1,2),(2,2)},

A中有元素1,2,B中含有元素2,

即A={1,2},B={2}.

(3)由题意可知/XB中元素的个数与集合4和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个

元素与B中的任何一个元素对应后，得到/xB中的一个新元素.

若/中有6个元素，B中有几个元素，则AxB中应有znX几个元素.

于是，若集合/中有3个元素，集合B中有4个元素，则AXB中有12个元素.

6.

(1)当a=0时，由％+220,得工?—2,所以A=[-2,+8)

因为％=A是；xE{x\m—1<x<m+l,mER}”的必要条件，

所以[m—1,zn+1]U[—2,+8),所以m—12—2,得tn>—1

故实数小的取值范围为[-L+8)

(2)1°.当a=0时，不等式即为％+220),不符合题意.

2°.当a=0时，因为a/+%+220的解集为R,

所以整3"。,解得心：

综上，实数a的取值范围是©+8)

8

7.

解：(1)6500-3500=3000(元)，则由表可知，1500x3%+1500X10%=195(元)，

则他应缴纳税款195元；

(2)当3000工久W3500,y=0；当3500<xW5000,y=0.03(%-3500)；

当5000<%<8000,y=0.03x1500+0.1(%-5000),

0,0<%<3500

则有y=p.03x-105,3500<x<5000；

,0.1%-455,5000<%<8000

8.

解：(1)函数f(%)的图象如下图

(2)当2］时，/1(%)=3—％2,

知f(x)在［-1,0］上递增;在［0,2］上递减，

又f(%)=%-3在(2,5］上是增函数，

因此函数f。)的增区间是［一1,0］和(2,5］；减区间是［0,2］.

9.

解：函数f(%)在区间(0,+8)上是增函数，

证明如下：f(%)=县=1-$；,

J%2+1%'+1

任取％I，%2W(0,+00),且％1<%2,

则fa)—f3)=(i—^)—(i—金)

11

一好+1一0+1

_(>1-丫2)(久1+丫2)

—(*+1)(蟾+1)；

当时，%1+%2>0，*+1>0，X2+1>

-3)<0，

即f(%i)</(小)；

，函数f(x)在区间(0,+8)上是增函数.

10.

解：由｛；二得即/=，解得％=或%=，

211—1即定义域为｛-1.1｝,

此时/"(X)=VF二声+o,则函数既是奇函数也是偶函数;

11.

(1)证明：由f(x+y)=/(%)+f(y)，

令％=y=0,则f(0)=2/(0),

/(0)=0.

(2)解:由/(K+y)=f(%)+/(y),

令y=-x,

则f(0)=/(%)+/(-x)=0,

即/(t)=~/(x),

f(%)是奇函数.

(3)f(x)在R上是增函数.

证明：在R上任取%1，%2，并且%1>%2，

/(%1-%2)=f(K1)-f3)，

％，

*/X1>X2»即2>°且当久>0时，f(X)>0,

/(X1-X2)=f(Xi)-f(x2)>0,

•*,f(xl)>f(%2)，

.../(x)在R上是增函数.

12.

解：根据图形，设抛物线的方程为y=a/(a>0),

则该是过点0.7),

a.(|)2=0.7,

解得a=,

该抛物线的方程为y=^2.xe[—3].

13.

(1)长-客+V0I25-(V2-V3)

+-J0.53-(V2-V3)

-1

=0.5

(2)(llog434-log33)•(log22+log22)

=0og23+1)-(1+1)

1

=2(-log23+1

=2+log23

14.

解：由图一知:AUB=R；由图二知：(CR/)nB={%|3<%<6}.

B

A二-----------]A

-3QQ\4Bn78Q16

图-

图二

解：•••CUB,••.两者的关系在数轴上表示出来大致如图三所示，由图三知：{2二2

{:=2n回一24”8}

B

C

~Q*"i*767d~~8Q16

a图三a+1

15.

解：(1)由题意，本题分为两类求解

当a=0时，A中只有一个元素，这个元素为1；

当a=0时，令4=1-4a=0=a=；,/中只有一个元素，这个元素为2.

(2)4中只有一个元素说明A中有一个元素或者没有元素，故

若A中只有一个元素，由(1)可知：a=0或a=3

若/中没有元素，即/=0,则°n=>a>p

M=1-4aV04

综上，a=0或a>

4

16.

解：(1)由一％2+4x—3>0,解得：即/=(1,3).

又函数y=高在区间(0,m)上单调递减,

/.yG(―,2),即8=(—2).

‘vm+l'Sn+1，,

当m=2时，B=(|,2),

，AHB=(1,2).

(2)首先由题意得zn>0,

而“％6A”是“％GB”的必要不充分条件，

・•・B-4即(高，2)S(L3),

从而-2>1,解得：0<m工1.

m+l

17.

解：当k=-1时，B=[x\—2<x<4},则AU5={x|-2<%<4]

解:■■AC\B=B,则BcA.

当B=0时，即上一123-鼠解得A22,符合题意；

k<2

当BK0时，由BUA得伙一1二一2,解得0Wk<2.

3—/c<3

综上，k的取值范围是[0,+8).

18.

命题：”存在%,使得％-2W0”是存在量词命题，8=0成立；

命题：”矩形的对角线互相垂直平分”是全称量词命题，

因为邻边不相等的矩形对角线不互相垂直，所以它是假命题；

命题：”三角形的两边之和大于第三边”是全称量词命题，

因为任意三角形中都有两边之和大于第三边，所以它是真命题；

命题：”有些质数是奇数”是存在量词命题，

因为3是质数，是也是奇数.

19.

证明：m4—n4=2n2+1,

等价于m4=n4+2n2+1,

等价于m4=(n2+1)2,

等价于[62-(n2+l)][m2+(n2+1)]=0,

2

等价于加2-n=1.

m4—n4=2n2+1成立的充要条件是m?—n2=1.

20.

解：由已知得：A=[x\x2+3x-4=0}

A={x|(x+4)(%—1)=0}

A={-4,1},

,/BQA,

当B=0时，a=0；

当B={—4}时，a=—1；

当3={1}时，a=1.

21.

解：(1)根据题意，B中每一元素都有原象，

则从4到B的映射;"是一一对应的，

故不同的映射f共有用=24个

(2)根据题意，分为如下四种情况讨论：

1、4中每一元素都与1对应，有1种方法；

2、4中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素与0对应，有盘朗=12种方法;

3、4中有两个元素对应2,另两个元素对应0,有禺=6种方法；

4、A中两个元素与0对应，有一个元素对应1,令一个元素对应3,有废4号=12种方法;

则不同的映射有：1+12+6+12=31个.

22.

解：(1)f(x)的对称轴为％=-tan。；

由f(x)在［-1,8］上为单调函数得：

—tan。＜—1,或—tan。＞V3；

即tan6＞1,或tan。＜—V3；

又ee(-9》

eeg,》或『-J

。的取值范围为（—],—

(2)ee[-pg时，—tanOe[—b，V3]；

，①当一gw—tanow—l,即Wwowg时，/(%)在上单调递增;

g⑻=/(-I)=-2tan0；

②当—1<—tan0<V3,即一；W。<孑时，g(。)=/(—tan0)=—tan20—1；

—tan20—1——<6<—

/.g(e)=/j

-2tan0-<Q<-

43

23.

解：(1)设x<0,则-%>0,所以f(一x)=2x+1.

又因为f(%)为偶函数，所以/'(%)=/(-%)=2x+l(x<0).

所以加南1函

(2)当a20时，f(a)=-2a+1=-7,解得a=4；

当a<0时，/(a)=2a+1=—7,解得a=-4.

所以a=±4.

24.

证明：(1)取％=y=0,则/'(())=2f(0),解得f(0)=0.

对任意％GR,取y=—x,

由已知函数f(x)满足/'(x+y)=f(x)+f(y),

则f[久+(-%)]=f(x)+/(-x)=/(0)=0,BP/(-x)=

所以函数f(%)是R上的奇函数.

(2)任意取x2GR>且.<x2>

则％2=与+4%(其中4%>0),

所以f(%2)=f(%i+』%)=f(X。+/⑷),

则/'(%2)-/■)=f(4%)>0，即/(%2)>/(一)，

所以函数/'(%)是R上的增函数.

由已知f(a2—4)+/(2a+1)<0,

则/'(2a+1)<―/(a2—4)=/(4—a2),

即2a+1<4—a2,

整理得a?+2a-3<0,

解得一3<a<1.

25.

解：(1)AD=AB+BD

T2T—

=AB+-(AC-AB)

1T2T

=-3AB3+-AC,

*.•\AB\=2,\AC\=1,AB-AC=1,

—>1T2T—T

AD-AE=(；AB+・(；14c-AB)

2/t—Tl1-7r22TT、22TTT

=-AB•AC--AB2+-XAC2--AC-AB

3333

=A-2

=—4,

(2)|m|2=(xAB+yAC)

=X2AB2+2xyAB•AC+y2AC2

22

=4%+2xy+y9

回4x2+2xy+yz

M

%rX

4(一)2+2—F1

yy

当土=—工，即y=—4%时，

y4，

—*L

罂取得最小值，最小值为

|y|2

26.

a+b

，：=2+2(n_1

解：(1)由已知得：%；,解得(「二•

1Z4+22a+b(b=0

(4=1

(2)由(1)知：/(x)=2X+2-Z.任取％6R,贝行(一%)=27+2-<T)=f(x),所以

f(x)为偶函数.

(3)函数f。)在(一8,0]上为减函数.

证明：设小、%2e(-8,0],且<x2,贝(I

11

/(%])—/(%2)=(2肛+2，)一(2■+2T2)=(2^1-2^)+(--—)

2412人2

_(2X1-2冷)(242次-1)

―2h2工z

,?<%2<0，/.0<2工1<2工2<1,，2牝2乂2>0,,，2如一2次<0,,?.

2小2血-1<0,

•••/(x1)-/(%2)>0,即/(尤1)>“不)，

，函数f(%)在(一8,0]上为减函数.

27.

解：(1)由集合4中的不等式2W2*W32,

变形得：21<2X<25,

解得：1WxW5,

即A={x[l<x<5},

令3—%>0,得％<3,

得到B=(x\x<3},

则AOB={x\l<x<3}；

(2)/nB={x|l<%<3],C={x\x>a+1],

若(/nB)uc,

...a+1<1,

解得：a<0.

28.

解：（1）奇数的集合表示为：{%|%=2k+LkeZ}.

（2）正偶数的集合表示为：{x|x=2n,九eN*}.

29.

解：•••全集U=(x\x<4],

集合/={%|-2<x<3},B={x\—3<x<3},

AC\B={x\-2<x<3},

A\JB=[x\-3<x<3],

CuA={x\x<-2或3<x<4).

30.

解：(1)由2丫>1得%>0,即8={x区>0},

二AQB=(0,2),

AUB=(-1,+8).

(2)①“集合A-B”的部分用阴影涂黑：如图

（2）A={x\—1<x<2},B={x\x>0]

A-B=（-1,0]；B—A=[2,+8）

31.

,样本中有两个相邻的编号分别为053,098,可得间隔为45,053为第二组中的，

则样本中最大的编号为053+18x45=863,故

错误；

对于

,甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,可得平均数为7,方差为4.4,

那么这两组数据中较稳定的是乙，故

错误；

对于（1）,若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故（2）错误;

对于（3）,/、B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，

若抽取的4种个体有15个，可得抽取的B种个体有5个，C种个体有10个，

则样本容量为30,故(4)正确.

故选：C.

32.

解：(1)因为/(%)="+三不7,

所以卜+2H0,解得了-2；

V3%+720,x—,

3

所以/(%)的定义域为［一—2)U(―2,+oo).

(2)因为g(%)是一次函数,所以可设g(x)=kx+b(k丰0),

则g(2x+3)=k(2x+3)+b=14%+20,

则，2k=14,

{3k+b=20,

解得k=7,b=-1,

即g(x)=7x—1.

33.

解：作出图像如图：则函数值域为［0,+8)

解：由图像知当f(x)>1时，％的取值范围为％<1或%>2,即或r>2}

34.

解：解3—2%—x2>0得：—3<%V1；

-(X+1)

(V3-2X-X2)3'

-3<x<-1时，y'>0,二函数y=1-/】:在(-3,-1)上单调递增，(-3,-1)是

V3—2x-xz

它的单调增区间；

一1<%<1时，/<0,所以原函数在［—1,1)上单调递减，［一L1)是它的单调减区间.

35.

解：令t=/+2%+3>0,求得函数的定义域为R,且y=logzt，

,/函数t=(%+1)2+2,

...函数t的增区间为［一1,+8),

从而得到函数y的增区间为［-1,+8).

再根据t22,可得y21,即函数y的值域为［1,+8).

36.

解：(1)由f(x)=签^是奇函数，得/'(-%)=-门%)对定义域内％恒成立，则鼠二

ax2+l

bx+c

-bx+c=-(bx+c)对定义域内％恒成立，

即c=0；(或由定义域关于原点对称得。=0)

又f(l)=2,f(2)<3,

P=2①”

,也<3②由①得0=^~1代入②得等<°,

/.0<b<|,又a,b,c是整数，得b=a=1.

(2)由(1)知，/(%)=子=%+：,当％<0,/(%)在(一8,—1］上单调递增，在

上单调递减.下用定义证明之.

设％1<%2W—1，贝Uf(%1)-f(%2)=+}—(%2+})=X1—％2—V?=(%1一%2)(1-

—)，

因为X］<%2——1*1-%2<0，1----->0,

XiX2

/(%1)-f(%2)<。，

故f(%)在(-8,-“上单调递增；

同理，可证f。)在［-1,0)上单调递减.

(3)Vf(x)=X+5为奇函数，由(2)可知,/(%)在(-8,-1］上单调递增,fQ)在［一1,0)

上单调递减,

/(%)在(0,1］上单调递减，f(x)在［1,+8)上单调递增,

当%>0时，求函数f(x)的最小值为f(l)=1+1=2.

37.

解：=/(%)=—

/(0)=1,

f⑴=0,

f(l-a)=±(aH2),

1