江苏省九年级上学期【第一次月考卷】（解析版）

江苏省九年级上学期【第一次月考卷】（测试时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章-第2章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（2022秋•金坛区校级月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；B．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；C．ax2+bx+c＝0，a＝0，b≠0时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；D．该方程整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．（2021秋•东台市月考）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2021秋•丰县校级月考）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2020秋•滨海县月考）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【分析】由关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0且k≠0，解之可得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0且k≠0，解得k＞﹣1且k≠0，故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•邗江区月考）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．6．（2022秋•洪泽区校级月考）若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．65°【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解答】解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．（2021秋•灌云县月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）A．2016 B．2020 C．2025 D．2026【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，所以a+b＝﹣5，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．（2021秋•工业园区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（）A．30° B．40° C．35° D．50°【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得结论．【解答】解：如图，连接OD，BD．∵＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，∴∠OBD＝∠ODB＝20°，∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．9．（2022秋•江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C． D．2【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，解直角三角形求出BC即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴BC＝AC＝2，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键．10．（2022秋•洪泽区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A． B． C． D．【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝，所以A（，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝∴A（，0），B（0，2），∴D点坐标为（，1）．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．（2020秋•宿城区校级月考）已知方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则＝15．【分析】根据方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，得出x1+x2＝5，x12﹣5x1＝2，再把要求的式子变形为x12﹣5x1+x1+x2+8，最后代入计算即可．【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝5，x12﹣5x1﹣2＝0，∴x12﹣5x1＝2，∴x12﹣4x1+x2+8＝x12﹣5x1+x1+x2+8＝2+5+8＝15；故答案为：15．【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝．12．（2022秋•沭阳县月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为200（1+x）2＝242．【分析】利用第三天揽件数量＝第一天揽件数量×（1+设该快递店揽件日平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得200（1+x）2＝242．故答案为：200（1+x）2＝242．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2020秋•沭阳县校级月考）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为12πcm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，然后解关于a的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2022秋•浦口区校级月考）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为﹣5．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝，x2＝，∴x1x2＝•＝＝＝﹣15，∵代数式的值为3，∴代数式的值为﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．16．（2022秋•江都区月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别在边AD、BC上，分别从A、C同时出发以相同的速度向终点D、B移动，连接EF，O是EF中点，过点D作DG⊥EF于点G，连接AG，则线段AG长的最小值是﹣．【分析】连接AC、BD，由正方形的对称性可知，O为AC，BD的交点，取OD中点M，连接AM，GM，则AM，GM为定长，利用三角形三边关系解决问题即可．【解答】解：连接AC，BD，取OD的中点M，连接AM，GM，如图：由正方形的对称性可知，O为AC，BD的交点，∵正方形ABCD的边长是4，∴OD＝OA＝2，∠AOM＝90°，∵M是OD中点，∴OM＝，∴AM＝＝＝，∵DG⊥EF，∴△DGO是直角三角形，∴GM＝OD＝，在△AGM中，AG＞AM﹣GM，即AG＞﹣，∴当A，G，M不能构成三角形，即A，G，M共线时，AG最小，如图：此时AG＝AM﹣GM＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了正方形的性质，构造定长线段AM和GM，利用三角形三边关系解决问题是解决本题的关键．17．（2023•宿迁模拟）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的度数为40°．【分析】连接OA，根据切线的性质，结合等腰三角形的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．18．（2023春•亭湖区校级期末）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则EO的最小值为﹣1．【分析】首先证明△ACD是等边三角形，再证明AE⊥CE，求出OF，EF，可得结论．【解答】解：连接OA和OB，作OF⊥AB．连接AE，EF．由题知：沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，∴OF＝OA＝OB，∴∠AOF＝∠BOF＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝120°，∠D＝∠AOB＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°，∴△ACD是等边三角形，∵E是CD中点，∴AE⊥BD，又∵OF⊥AB，∴F是AB中点，即，EF是△ABE斜边中线，∴AF＝EF＝BF，即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，当E、O、F在同一直线时，OE长度最，此时，AE＝EF，AE⊥EF，∵⊙O的半径是2，即OA＝2，OF＝1，∴AF＝（勾股定理），∴OE＝EF﹣OF＝AF﹣OF＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．（2023秋•鼓楼区校级月考）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．（2022秋•滨海县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的平方和为10，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）利用根与系数的关系可求出答案．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，∴（4m）2﹣2×3m2＝10，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．21．（2022秋•盐都区月考）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．【分析】设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD，设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，∴BD＝AB＝12，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+122＝R2，解得R＝16.9≈17，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理．解题的关键是方程思想的应用．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．22．（2022秋•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）＝4k2+4k+1﹣16k+12＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，∵（2k﹣3）2≥0，∴Δ＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，而AB2+BC2＝AC2＝（）2，∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，∴k的值为3，∴AB+BC＝7，∴矩形ABCD的周长为14．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．23．（2022秋•靖江市校级月考）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到40件，每天共盈利1800元；（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；故答案为：40，1800；（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，解得：x＝15或x＝20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x＝20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200，整理得到：x2﹣35x+350＝0．由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0，所以该方程无解．故商场日盈利不可以达到2200元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．24．（2022秋•兴化市月考）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为．25．（2021春•邗江区月考）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，求出∠AOC＝∠OBC＝90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AP，求出