2019高中数学竞赛试卷及答案

2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.己知正实数a满足/=（9。「，则log“（3a）的值为.

2.若实数集合｛1,2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值

为.

3.平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足。・e=2,且W5a+/e对任意实数/

成立，则，的取值范围为.

4.设4,8为椭圆「的长轴顶点，瓦厂为「的两个焦点，|力例=4,|/广|=2+石，P为F

上一点，满足|依卜|尸尸|=2,则"£户的面积为.

5.在I,2,3,…，10中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,…，-10中随机选出一个数从

则/+方被3整除的概率为.

6.对任意闭区间/,用",表示函数y=sinx在/上的最大值.若正数a满足

加州0=2Mm2“，则。的值为-

7.如图，正方体力BC0—EFGH的一个截面经过顶点4C及棱EE匕一点K,且将正方

FK

体分成体积比为3:1的两部分，则——的值为.

KF

8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生

的不同的8位数的个数为.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）在A48C中，8C=a,C4=b,Z8=c.若〃是a与c的等比中项，且

sinA是sin（B-Z）与sinC的等差中项，求cos8的值。

10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xQv中，圆。与抛物线「：/=4x恰有一个公共

点，且圆C与x轴相切与「的焦点产，求圆。的半径。

11.（本题满分20分）称一个复数数列｛z.｝为“有趣的"，若%|=1,且对任意止整数〃，均

有423+22/0+2：=（）,求最大的常数。，使得对一切有趣的数列｛z,,｝及任意正整数

m,均有[z]+Z2++zJ2C.

2019年全国高中数学联合竞赛加试试题A卷

一、（本题满分40分）如图，在锐角^ABC中，M是BC边的中点。点P地^ABC内，使得AP平分N

BACo直线MP与AABP,Z\ACP的外接圆分别相交于不同点P的两点D,E。证明：若DE=MP,则BC=2BP。

（答题时请将图画在答题纸上）

一、（本题满分40分）设整数4再2,…,a2019为分1=3]=Sv=*'*=32019=99

•f=（3t+a?+...+32019）—（3]a?+a2a1+3aa$+...+3201732019）•

求/的最小值fo,并确定使/=/o成立的数组（a,,a2,a2o,9）的个数。

三、（本题满分50分）设m为整数，岛|叁2。整数数列ara?,...,满足：a”a?不全为零，且对任意正

整数n均有3n-2=a0,「ma,

证明：若存在整数r,s（r>s叁2）使得ar=as=ai,则r-s叁|m|。

四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面，某些点之间连有

线段，设E为这些线段构成的集合。试求最小的正整数n,满足条件：若E至少有n个元素，则E—

定含有908个二元子集，其中每从此二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为

空集。

2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷答案

2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)答案

一、填空题

9

1.—

16

aa—(9。)"=。=8。log“9〃

177

由・・・log,9a=-=>log。9=一三nlog13=

OOlo

9

Iogu3a=loga3+1=—

In

2.-1

2

3

由题意知，x为负值，二3-x=l+2+3+xnx=——

2

3.[75,275]

设忖=x,原题转化为/<25,+?+4/)

=25(/+4/)>x4-25x2<=>-100>x4-25x2

=>5<x2<20=>V5<|a|<275

4,1

由题意知该椭圆可设为土•+必=1。/¥'+产后=4,£/=25/上由余弦定理，

4

PF2+PE2-2P£：•PFcosZEPF=EF212-4cosZEPF=12

所以cosNEPF=0,sinZEPF=1nSAph.F=：PE-PFcosZEPF=1

37

5、ioo

若aw{l,2,4,5,7,8,10},a2=lmod3

若『+6^0mod3nb=-1mod3nbe{-l,-4,-7,-10}

若aw{3,6,9}a~=0mod3

若a'+b三0mod3=>a=0mod3nbe{-3,-6,-9)

7x4+3x337

+b为3的倍数的概率为

loo--Too

,5万-13万

6.-或----

612

由图像分析得“=包或者2“=也

66

7.空=〃截面与RG交于J

EF

=+

^ABCKFJ=^ABCF+AKFJ+AFJC'7'7^

666

1Tm=。,解得人与心宇（舍去）

EK2-(V3-l)3-V3

"一V3-1一百一］一

8、解析：

所有首位非。的8位数：6!-5!

2,0相邻的不同8位数：-

2

51_率

1、9相邻的不同8位数：

2

4>

2、0与I、9均相邻的不同8位数：—

2⑵

故所求的8位数个数为：（‘6!-5!、）-士5'一5'二-4'+士4'=498

二、解答题

9、由题意ac=/

2sin/=sin（8-4）+sinC=sin（8-4）+sin（8+4）=2sin5cosA,

整理即sin8=tan/

sin~A

对ac=//利用正弦定理并结合三项的等差数列得sin/sinC=sin28=—S,即

cosA

2

sinJ=sinCeosA

于是

tan4=sinCcos/=sin8=sin(/+C)=sinAcosC+cos4sinC,

乃

即sinAcosC=0,C=—

2

cosB

sinB=tanJ=cot5=------,cos5=sin2B=1-cos2B,令cos8=x,则

sinB

x2+x-l=0,解得cosB=x=———■—

2

10、解析：

设圆的半径为/?,圆心为(1,/?)或(―1,H),则圆的方程可写作(x—1)2+3-&)2=火2

不妨设圆与抛物线相切于点(X。,%),则过该切点(%,比)的切线方程为

以圆为对象，得G—1)(/_1)+&-/?)(%―/?)=火2

以抛物线为对象，得v%=2(x+x。)

于是可得2=—2^二L①

R

%y0-

2丫_比夫+X。—1⑸

-x

o------R--②

y0y0-

2

又切点(x。,%)在抛物线/=4x上，y(1=4xn③

由①得夫=电汕.，由②得/?=%,+、。)'。=-"。+"。'

2%一+2x06x0

于是解得x0=；,%=竽，H=竽，故所求圆半径为竽。

【另解】

如图，/为准线，尸为焦点，。为圆心，S为公共点，"_L/于"，SGLGPG,

ST洋分/GSF,则由抛物线性质可得GS=FS,OS1ST,从而NTSF=NTFS

不妨设S/=x,则由勾股定理及G〃=Y3sb知

2

344

(2-城+x=/,即2——4X+4=0,解得x=4或一，又x<2,故x=—

2433

百_4V3

OS=—,x=----

39

i174

ASGT全等于ASfT,从而HT=-GT=—TF=—,从而x=—

2233

11.一方面，取Z]=122.=G,Z2“+I=1,2,...),其中69=-------

则h111匕+22+—+2”,|=*,故。由

另一方面，由条件可得z”+1=N0扫，

不失一般性，可不妨设4=1(否则可用z；=」代替Zj)

Z]

及Z2=5(否则可用Z；=Z,代替Z(.).

设Zw=王M,其中4=0,6=L勺一/-1=±1。=2,3,...)

记集合Aj={n|an=/(mod3),1<n<m},i=0,1,2,...

并设4={"”“2,…，"J，其中"I<“2/

则u{>3,ui-M(_1>2(/=2,3,...,/)

故%N2i+l(i=l,2,...J)

因此

Tny/3-I十nV3-Z—14-y[3iy/3-I-1-y/~3i

=XRe^^+ZRe-^——^-+XRe-7；——「

/isAQ4*4NNneA2/乙

=2*+工。+滂

,坛4）乙恒人neA2

即。4显

'max3

2019年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）答案

-、

%）+（〃2一。4）+…+（“2017—“2019）+〃1+“2+。2018+。2019

2（%一%）+（。2一“4）+…+（。2015一°2017）+（。2016-02017）+（。2017-。2019）+1+。2+。2017+99〜

2a2017—1+〃2017一。2+（。2017—99）+1+4?+。2017+99"

2

>2〃“）」-196a如7+2*99>14800

取最小值时02017=49,%=1，。2018=49,

每个%+2一%=0或L«=1,2,..,2016

设卬吗，…，"lx中，〃有£个（〃=1,2,..,49）

则任意〃=1,2,..,49,xn>2

+

令X>=x“一1,贝如1+y2—+yn=2018-49=1969

由隔板法凹，％…以的解数为。禽.

因此所求（%,%，…，。加9）有G黑个，最小值为=7400

若(q,g)〉1,记(q,g)=d

则对任意正整数〃，d\an,考虑数列居=区，可得同样结论。故不妨设(卬,。,)=1,

d

由。”+2=。"+1一M明，mod|/?/|可知。”+2m%+[(mod]，H),即对任意大于2的正整数〃，

an=n,(mod|n?|)

若q不满足q三a2(mod|w|),则不存在尸＞5＞2使得q=a,=q

故不妨设q三”2(mod|加,由互质性(4祠)=1

设%=1,2,...则6“为整数数列，4=0,bn+2=bn+l-ax-bn*m,

mod网可知bn+2=bll+i-a1(mod|/n|),若存在整数尸＞s22使得%.=见=q,则

br=bx=0,

而4三4一(一5)*°](010(1网),故〃?|("5•，由(4祠)=1知m|r-s,故r-sN同,

证毕。

四、

引理：简单连通图〃有〃个顶点，〃7条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，

二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。

证明：归纳对〃中〃=1,2,3,显然成立

设结论对用4人成立，k>3,则m=A+l时，考虑所有叶子顶点4,4,…,4,若有两片