2022届卓越高中千校联盟高考终极数学押题卷（含答案解析）

2022届卓越高中千校联盟高考终极数学押题卷

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知集合4={却<*43},B={x|2<x<4},则()

A.1x|l<x<21B.1x|2<x<3}

C.{x|3<x<4|D.{x|l<x<4}

2.若复数z满足言=l+i,其中i是虚数单位，则z的共轨复数三（）

A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i

3.设/（x）是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f（x）=e'-2,则方程〃x）=O的

解集为（）

A.{-In2}B.{In2}

C.{-In2,In2}D.{-In2,0,In2}

4.若“出eR,使得sinx-gcosx=a”为假命题，则实数a的取值范围是（）

A.[—2,2]B.（—2,2）

C.（-U[2,+oo）D.2）kJ（2,+<x>）

5.记S“为等差数列{《,}的前〃项和.若4s3=3邑+5「6=5,则4。=（）

A.3B.7C.11D.15

6.抛物线），=土的焦点与圆C：*2+/-8%-2丫+13=0上动点的距离的最小值为

16

（）

A.7B.3C.^^-2D.1

4

7.2022年，上海面临疫情加重的压力.某省一医院从传染科选出5名医生和4名护

士支援上海市的A、B、C三所医院开展防治工作，其中4、B医院都至少需要I名医

生和1名护士，C医院至少需要2名医生和2名护士，则不同的分派方法共有（）

A.2160利1B.1920种C.960种D.600种

8.在中，点尸为线段8c上任一点（不含端点），若

_________]2

AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）f则（+]的最小值为（）

A.9B.8C.4D.2

9.如图为某儿何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是()

A.B.4拒C.12万D.16万

10.若关于x的不等式/-(机+2)尢+2”<()的解集中恰有4个整数，则实数机的取值

范围为()

A.(6,7]B.[-3,-2)

C.[-3,-2)U(6,7]D.[-3,7]

11.公元1202年意大利数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即4=%=1，4="“T+%一2(〃43,〃£N*)止匕

数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记

2=4；1-44+2("€川)，数列物,｝的前”项和为S"，则Szg=()

A.-1B.0C.2021D.2022

12.已知l<a<b<e,有以下结论：①d<b"；②〃">谓；③”。<谭；④/(谭，

(X/V*C*V-L<-sx.G

则其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

13.函数f(x)=Gsin(x+g)-sin(x-^)的最大值为.

14.若数列｛4｝前"项和为S“=；q,+2,则数列｛a,,｝的通项公式是4,=.

15.已知直三棱柱A8C-A8G中，ZABC=\20°,A8=2,8C=CG=1，则异面直

线AB｝与BC,所成角的余弦值为.

16.一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危

险.现给某病人静脉注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰

减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时内向病人的血液补

充这种药，才能保持疗效.(附：1g2=0.3010,1g3^0.4771,精确到O.lh)

三、解答题

17.从①A=。，②a=3&sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解

答.

已知锐角中，a,6,c分别是内角A,B,C所对的边，且

sin2B=sin2A+sin，C-V2sinAsinC.

⑴求角B；

(2)已知b=6，且,求sinC的值及AABC的面积.

18.2022年春节期间，《长津湖之水门桥》、《狙击手》、《奇迹•笨小孩》三大片集体上

映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民

中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有

49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹•笨小孩》的有34人，统计图如

(2)在已抽取的这100人中，文化局从只观看了其中两部大片的观众中采用分层抽样抽

取了7人，调查了解其是否会看未看的第三部影片.调查得知他们均表示要观看其未

看的第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《长津湖

之水门桥》的人数，求X的分布列及数学期望和方差.

19.如图，平面ABCC,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB=AD=\,

AE=BC=2,CF=\.

(1)求证：BD工DF；

(2)求直线8E与平面CDE所成角的正弦值；

(3)求二面角力一8£)-尸的余弦值.

20.已知耳行分别是长轴长为4的椭圆C「■+[=l(a>6>0)的左右焦点，A，4

是椭圆C的左右顶点，尸为椭圆上异于A，4的一个动点，。为坐标原点，点M为线段

尸人的中点，且直线P4与OM的斜率的积恒为.

(1)求椭圆C的方程

(2)设过点K且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆于4,B两点，线段4B的垂直平分线与

x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是卜孝,。)，求线段AB长的取值范围.

21.已知函数/(x)=e=a(x+2).

⑴当a=2时，讨论〃x)的单调性；

⑵若“X)有零点，求。的取值范围.

22.在直角坐标系my中，曲线。的参数方程为1二2sinJ-百为参数)，以坐标

原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2/Jcos。-有osin。+11=0

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线/距离的最大值.

23.已知函数f(x)=k-a[+|2x-(a+3)].

(1)当a=2时，求不等式f(x)26的解集

(2)若"x)W6恒成立，求实数〃的取值范围.

参考答案:

I.D

【解析】

【分析】

利用并集运算法则进行计算.

【详解】

=<x<3|<x<4|=I<x<4j

故选：D

2.B

【解析】

【分析】

根据复数运算法则进行化简计算，进而求出z的共规复数.

【详解】

z=(l+i)(l-2i)-i=l-i+2-i=3-2i,故I=3+2i.

故选：B

3.D

【解析】

【分析】

先令f(x)=e'-2=0解出x=ln2,结合/")是定义域为R的奇函数，求出另外两个根,

求出答案.

【详解】

当x>0时，令/(x)=e*—2=0,解得：x=ln2,经检验满足题意，

因为/(x)是定义域为R的奇函数，所以〃—ln2)=—〃ln2)=0,且"0)=0,

故方程/(%)=0的解集为{—In2,0,In2}

故选:D

4.D

【解析】

【分析】

答案第1页，共18页

写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出“X）4-2,2],从而求出实数a的取值范围.

【详解】

因为“HreR,使得sinx-Gcosx=4''为假命题，

则“VreR,使得sinx—抬cos尤片a”为真命题，

因为/（x）=sinx-A/3COSx=2sinfx-^je[-2,2],

所以实数a的取值范围是（-",-2）U（2,+8）

故选：D

5.D

【解析】

【分析】

由题干条件得到方程组，求出首项和公差，求出％=20-5=15.

【详解】

由4邑=352+$4得：24+34=0,

由%=5得：4+41=5

联立两式可得：q=-3,d=2,

所以a”=-3+2（n-l）=2n-5,

所以4。=20-5=15

故选：D

6.B

【解析】

【分析】

确定抛物线的焦点坐标，以及圆的圆心和半径，根据抛物线y=L的焦点与圆C：

16

£+y2-8x-2y+13=0上动点的距离的最小值为：\FC\-2，求得答案.

【详解】

2

抛物线y吒的焦点为尸（0,4）,

答案第2页，共18页

圆C：x2+y2-8x-2>>+13=OBP(x-4)2+(y-l)2=4,圆心为C(4,l)，半径「=2,

2

则抛物线y=器r的焦点与圆C：f+V-8x-2y+13=0上动点的距离的最小值为：

|FC|-2=7(4-O)2+(l-4)2-2=3,

故选：B

7.C

【解析】

【分析】

根据题意，分两步依次分析4名护士和5名医生的分派方法，由分步乘法原理计算可得答

案.

【详解】

根据题意，分2步完成，

第一步从4名护士中选2名安排到C医院，有Cj=6种方法，

再将剩下的2名护士分派到A、8医院，有A：=2种方法，

故护士的分派方法共有6x2=12种；

第二步将5名医生分派到3所医院，

若C医院安排3名，则有C；A；=20种方法，

若C医院安排2名，则有C；C；A；=60种方法，

故医生的分派方法共有20+60=80种方法，

则不同的分派方法共有12x80=960种，

故选;C

8.A

【解析】

【分析】

根据向量共线定理得推论得到x+2y=l,再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】

因为点F为线段BC上任一点(不含端点)，

所以x+2y=l,

答案第3页，共18页

,,I2f12Y汽\i2ylx.uc12ylx

故一+—=—+—(x+2y]=\+—+—+4>5+2-...=9n,

xy(xy)xy

当且仅当幺=N,即x=y=:时等号成立，

xy3

故选：A

9.C

【解析】

【分析】

从三视图还原直观图，求解出外接球半径，从而求出外接球表面积.

【详解】

从三视图可以还原直观图，如图：三棱锥A-8C。即为直观图，

可以看出该几何体的外接球即为正方体的外接球，

设外接球半径为R,则2R=@+22+22=26，所以R=G，

故外接球的表面积为4兀店=12兀.

故选：C

10.C

【解析】

【分析】

讨论，联与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值

范围.

【详解】

不等式W-(W+2)X+2/M<0BP(x-2)(x-m)<0,

答案第4页，共18页

当m>2时，不等式解集为(2,〃?)，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是3,4,5,6,故6(用47,

当机=2时，不等式解集为0,此时不符合题意；

当加<2时，不等式解集为(九2),此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是-2,-1,0,1,故-3Mm<-2,,

故实数m的取值范围为[-3,-2)U(6,7],

故选：C

11.B

【解析】

【分析】

用递推式可得^1=-1,所以他,｝是等比数列，再求前2022项的和.

【详解】

解：由题意可知如S向+”"+2),

b“a；+l-«„«„+2«„+,

a,i+2(4*2-)-。“+]_4+2。"—。“+]__।

■1-44+2心一的,,+2

又4=-1,因此4=(-1)”,

故$2022=(-l+l)+(-l+l)+L+(-1+1)=0,

故选：B.

12.C

【解析】

【分析】

构造/(x)=(，xe(l,e),利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础

上得到④的正误，根据g(x)=，的单调性及④得到③的正误..

【详解】

设f(x)=(，xe(l,e),则

广(x)=号上>0在x«l,e)上恒成立，

答案第5页，共18页

所以/("=?在％«l，e)上单调递增，

因为1

所以见,BPb\na<a\x\b，

ab

因为y=lnx单调递增，所以①正确；

InZ?Ine1,.ab

——<——=-,Bni|lJa\nb<—,

beee

因为y=lnx单调递增，所以加，《？，②错误：

因为/<匕"，所以1/ve?，④正确；

因为g(x)=a“单调递增，l<a<8<e

所以废</，所以/<谭，③正确•

故选：C

【点睛】

比较大小是常考题目，本题难度稍大，要结合题目特征，构造函数〃x)=笥,

xe(l,e),通过求导得到其单调性，来进行比较大小.

13.2

【解析】

【分析】

利用三角诱导公式和恒等变换化简得到/(x)=2cosx,从而求出最大值.

【详解】

/(x)=VSsin^x+y^-sin^x-^=5/3sin^x+^+cos^x--^+^

=6sin(x+m)+cos(x+T)=2$布(》+三+弓)=2sin(x+])=2cosx

故函数/(x)的最大值为2

故答案为：2

【解析】

【分析】

答案第6页，共18页

IS,,M=1

利用4=1c来求解通项公式.

【详解】

S"=£+2①，

当〃=1时，q=；4+2,解得：q=3,

当“22时，S“T=(4T+2②，①-②得：4=ga“-ga“_i，

所以｛6,｝是首项为3,公比是q=的等比数列,

,经检验，符合要求

故答案为：%=3・

15.叵

5

【解析】

【分析】

补全图形，将直三棱柱ABC-AB©补成直四棱柱"8-A蜴CQ,则根据直线的平行关系

可知NB|AR为异面直线AB/与所成的角.在△8IG"中由余弦定理先求得再在

AABQ中应用余弦定理求得cosN与AR即可.

【详解】

如图所示，将直三棱柱A8C-A4G补成直四棱柱ABC3-A4CQ,

连接AD｛,BXD｝，则ADt||8G，所以/4入口或其补角为异面直线AB,与B。所成的角.

答案第7页，共18页

因为NA8C=12O。,48=2,BC=CG=1,

所以4q=新，AD[=也.

在AB]4G中,NB1c14=60°在1G=1，PG=2

所以8Q=JBjC：+RC：-2xB£xD£xcos60"

=5/l2+22-2xlx2xcos60,，=6

阴2+何-8&5+2-3V15

所以cosZ.BAD=

x[2x4与xAR-2x小x叵一5

故答案为：叵

5

【点睛】

本题考查了异面直角夹角的求法，将三棱柱补成四棱柱是常用方法，属于基础题.

16.6.6

【解析】

【分析】

写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.

【详解】

设xh后血液中的药物量为ymg,

则有y=20000-10%)',

令”1000得：

l-黑21g3,1-2*x*0.747171

故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.

故答案为：6.6

71

17.(1)-；

⑵①，3或②，迈谑，3

4444

【解析】

【分析】

(1)根据正弦定理把sin。8=sin'A+sin?C-V^sinAsinC化为人=a?+C?-&ac,结合余

弦定理可得角B；

答案第8页，共18页

(2)若选①，由sinC=sin(4+B)即可得sinC的值，再由正弦定理求得”的

sinAsinB

值，进而可得的面积；

若选②，由”=3&sinB可得。的值，再由正弦定理三=二二求得sinA,再利用

sinAsinB

sinC=sin(4+B)即可得sinC的值，进而可得“IBC的面积.

⑴

根据正弦定理可由sin28=sin?4+sin2csin4sinC得

A?=々2+/—后2+2一%8,即cos8=，^,又笈为锐角，所以3=1；

24

(2)

若选①，由sinC=sin(A+B)=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sin—=+,再由正弦定

3434344

a_b_a_\[6__Q

理；嬴万=彳=彳=。=3,所以

sin—sin—

34

<1,.1./7V6+V29+36

S.=—6z^sinC=—x3xV6x-------=-------；

3pr2244

若选②，由〃=30sinB=3而呜=3,再由正弦定理

a_b3_>/6.>/3

sinAsin8=sinA不二加2，因为A为锐角，所以4=]，可得

.八.//n、.,71冗、.7171TC、TCV6+

sinC=sin(A+3)=sin(y+—)=sin—cos—+cosysin—=-------

9+3A/3

S4ABe-4~

18.(l)a=9,Z?=6,c=6

Q20

(2)分布列见解析，E(X)=-,D(X)=—

749

【解析】

【分析】

(1)结合统计图，列出方程组，解得答案.

(2)根据题意确定X的可能取值，一次计算每个取值的概率，可得分布列，进而求得期望

和方差.

⑴

答案第9页，共18页

30+a+c+4=494=9

由题意可得27+0+2+4=46解得,〃=6,

18+8+c+4=34c=6

故。=9,匕=6,c=6；

(2)

由题意可得，同时观看了《狙击手》和《长津湖之水门桥》的人数为9,

同时观看了《狙击手》和《奇迹•笨小孩》的人数为6,

同时观看了《奇迹•笨小孩》和《长津湖之水门桥》的人数为6,

所以按分层抽样的抽样比计算，

同时观看了《狙击手》和《奇迹■笨小孩》的抽取人数为入x7=2,

故用X表示这4人中将要观看《长津湖之水门桥》的人数，X取值为：0,1,2,

则P(X=0)=*,尸(X=l)=等=g,P(X=2)=等

故X的分布列为:

X012

\_42

P

777

故X的数学期望为E(X)=OX:+1X2+2X£=《，

7777

X的方差为£>(X)=(O--^)2x-^+(l--^)2x^+(2--^)2x^=梁.

77777749

19.(1)证明过程见解析；

⑵拽

15

⑶逅

9

【解析】

【分析】

(1)作出辅助线，证明进而证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，用空间

向量求解线面角的正弦值；(3)求出两平面的法向量，利用法向量求解二面角.

⑴

答案第10页，共18页

因为AEJ_平面ABC。，CF//AE,

所以CF_L平面ABC。，

因为£>8u平面ABC。，

所以A-ZJB,

因为AZ)_LAB,AB=AD=\,

所以BD=6，

取BC中点G,连接。G,

因为8C=2,

所以8G=GC=1,

因为AB=AD=1,AD^AB,

所以四边形ABGO是正方形，

所以NBDG=45°,DG=BG=GC^\

所以。GJ.BC,

故三角形CDG为等腰直角三角形，

所以NCDG=45°,ZBDC=45°+45°=90°,

即BDLCD,

因为C£>nCF=C,

所以B£>JL平面CDF,

因为。尸u平面CDF,

所以BDVDF

(2)

因为AE_L平面ABCZ),A8,A£)u平面ABCZ)

答案第II页，共18页

所以AE_LAB,AE1AD,

以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),E(0,0,2),C0,2,0),。(0,1,0),—1,2,1),

设平面CDE的法向量为蔡=(x,y,z),

CD-ni=-x-y=0

则

EC-m=x+2y-2z=0

令x=1,贝！|y=_I,z=,

所以沅=,

设直线BE与平面CDE所成角大小为6,

|丽•同4石

忸瓦|同15

直线BE与平面CDE所成角的正弦值为等

(3)

设平面EBD的法向量为仆=&,y,zj,

竺令【I,则X|=2,y=2,所以1=(2,2,1),

则〈3=F+2ZLO,

BD-/?,=-Xj+=0

设平面尸的法向量为丐=(x2,y2,z2),

BF-n=2y2+z2=0

则2令％=1,则Z2=-2,%=1所以H=(l,L-2),

BD-n,=—x2+y2=0

答案第12页，共18页

-----%,g2+2-2>J6

则8sM=丽=飞"=7，

设二面角£一8。-尸的余弦值为。.显然。为锐角

所以cosa=cos晨后二9

20.⑴三+上=1

42

Q

(2)|AB|e(-,4)

【解析】

【分析】

(1)由已知，可得4=2,再根据直线P4与OM的斜率的积恒为,可得层=2,从而

可得椭圆的方程；

(2)设直线/：y=Mx+夜)，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长

公式可得出答案.

(1)

由已知，2t?=4=a=2,I己尸(玉),丁()),

因为MM=kpA、,所以kOM•卜「人,=kp%-kpA,=-——=—普■

•xQ+axQ-a-ci

又点p(%,%)在椭圆上，故父+其=1,

crbz

所以*.%=,

所以即＜二=〃=2,

a2242

22

所以椭圆方程为三十2=1.

42

(2)

y=Z(x+&)

设直线/：y=-x+夜)，联立直线与椭圆方程”V,2

----1----=1

42

222

得(2k+Y)x+4^2kx+4廿-4=0,设，%),B(x2,y2).

答案第13页，共18页

4&火2

…=一定7T

由韦达定理可得<

4%2-4

卬"诉

可得其+%=2(%+*2+2近)=/乌丁

所以AB的中点为(一需,1)，

所以线段AB的垂直平分线方程为)，-三竺=4(x+2竺)="x-生生，

2k2+1k2公+1k2公+1

所以N($i,0),由已知条件得：_也<0^<0,解得0<犬<1=1<2&?+1<3,

2公+132公+1

所以由后宿驾…宴二卷H+高

所以Q+/k，

Q

所以|那归(丁4).

21.⑴在(F,ln2)上单调递减，在(In2,—)上单调递增;

(2)(-<»,0)ug，+°°)

【解析】

【分析】

(1)求导，根据导函数的正负求解单调性：(2)参变分离，构造函数，求导研究函数图象

的单调性及极值，最值情况，求出〃的取值范围.

⑴

当a=2时，/(x)=e'-2(x+2),定义域为R,

/'(x)=e'-2,

当x>ln2时，r(x)>(),单调递增，当x<ln2时，/'(x)<(),〃x)单调递减,

所以〃x)=e、-2(x+2)在(y,ln2)上单调递减，在(ln2,4w)上单调递增；

(2)

"力=。'-4@+2)定义域为凡

/(x)=e'-a(x+2)有零点，即-=a(x+2)有解

当％=-2时，"2=0不成立，故x=-2不是零点，

答案第14页，共18页

e

当户-2时，a=

x+2

设Zz(x)=已2,A*-2

eA(x+l)

则"3=

("2)2

当xv-2或—2vxvT时，〃(x)<0,当X>—1时，”(x)>。

所以力(x)=号在x<-2,-2<%<-l上单调递减，在冗>T上单调递增，

且当x<-2时，〃(司=三<0恒成立，x=-l是〃(司=总的极小值点,

【点睛】

已知函数有零点或零点个数，求解参数取值范围问题，通常思路，一是参变分离，构造函

数，研究其单调性及极值，最值情况，求出参数的取值范围；二是整体求导，再对参数进

行分类讨论，结合零点存在性定理进行求解参数的取值范围.

22.(1)(X-1)2+(J-+A/3)2=4;2x-伤+11=()

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⑵叫+14

【解析】

【分析】

(1)根据曲线的参数方程，消去参数，即可求得普通方程；将[二℃”:代入直线的极

[y=psmtf

坐标方程，即可求得其直角坐标方程；

(2)利用点到直线的距离公式，结合题意，即可求得答案.

(1)

x=2cos^+1

曲线C的参数方程为八r-(。为参数)，

y=2sin0-V3

则曲线C的普通方程为(x-»+(y+G)2=4,

fx=OCQS0,L

将1.c代入直线/的极坐标方程为20cose-Gx?sine+ll=O,

[y=psing

可得直线/的直角坐标方程为2x-Ky+ll=0；

(2)

曲线€'的普通方程为