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文档简介

二、二重积分的概念一、问题的提出三、二重积分的性质第一节、二重积分的概念与性质一、问题的提出１．曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于的柱面，此立体称为曲顶柱体。这里且在上连续。它的顶是曲面柱体体积=特点：平顶.曲顶柱体体积=曲顶柱体特点：曲顶.分析：底面积×高？回忆：曲边梯形面积如何求？思想是以直代曲、以不变代变。如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？播放求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：2)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，1)先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，3)

曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似所有小块质量之和在点处的面密度为假定在上连续，设有一平面薄片，面上的闭区域占有平面薄片的质量为多少？看作均匀薄片，近似等于薄片总质量二、二重积分的概念1、二重积分定义定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，2)作乘积

3)求和上任取一点在每个1)积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素零时，这和式的极限存在；即如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于记为4)二重积分，在闭区域上的则称此极限为函数对二重积分定义的说明：(1)

在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的；在小区域内的点的取法是任意的。(2)二重积分中面积元素象征着积分和中的因此在直角坐标系下用平行于D则面积元素为(3)坐标轴的直线网来划分区域故在直角坐标系下二重积分可写为中是()(A)最大小区间长(B)小区域最大面积(C)小区域直径(D)最大小区域直径D选择题3、二重积分的几何意义若在有界闭区域上连续，则上的二重积分在D上的二重积分存在。1)当时，二重积分表示以为底的曲顶柱体体积。为顶，以此时，二重积分表示曲顶柱体体积的负值。2)当被积函数时，柱体在面下方，2、二重积分的存在定理3)当在的若干部分区域上是正的，而在其它部分区域上是负的，体积取为正，面下方的柱体体积取为负，在上的二重积分就等于这些区域上的柱体体积的代数和。例设为圆域二重积分则面上方的柱体可以把性质1（二重积分与定积分有类似的性质）设为常数，则三、二重积分的性质性质2对区域具有可加性性质3性质4则有若为的面积，则若在上，为负例的值（）。(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定B性质5（二重积分估值不等式）不作计算，估计的值，其中是：例解最大值和最小值，为D的面积，设分别是在闭区域D上的则二重积分中值定理几何意义若为在闭区域上的非负连续函数，则以为曲顶的曲顶柱体的体积为底，为底，内某点的函数值等于以D为底，以为高的平顶柱体的体积。解例1

估计的值，其中

故思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限思考题解答同的是定积分的积分区域为区间，

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