浙江省绍兴市2024届高三上学期11月选考科目诊断性考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省绍兴市2024届高三上学期11月选考科目诊断性考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意由可得，所以.故选：A.3.已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，则，，则.，故.故选：B.4.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，故，表面积为.故选：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，，故，即，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圆心，，如图所示：连接，，，则，故当最小时的最小，设，，当时，最小为，此时.故选：C.7.已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等差数列C.若，则是等比数列D.若，则是等比数列【答案】B【解析】对选项A：，，，故，正确；对选项B：，，故，，不满足等差数列，错误；对选项C：，，则，故，数列为等比数列，正确；对选项D：，，，故，即，正确；故选：B.8.已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对选项A：取，满足函数为奇函数，且，，错误；对选项B：取，满足函数为奇函数，且，，错误；对选项C：若，为奇函数，且，取得到；取得到；故，正确.对选项D：取，满足函数为奇函数，且，，错误；故选：C.二、选择题9.已知圆：和圆：，则（）A.圆的半径为4B.轴为圆与的公切线C.圆与公共弦所在的直线方程为D.圆与上共有6个点到直线的距离为1【答案】BD【解析】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径；对选项A：圆半径为，错误；对选项B：轴到圆心的距离为，即轴与圆相切；轴到圆心的距离为，即轴与圆相切，正确；对选项C：圆心距，，故两圆相交，圆与公共弦所在的直线方程为，整理得到，错误；对选项D：过直线，故到直线距离为的点有个；过直线，故到直线距离为的点有个，故共有个点满足条件，正确；故选：BD.10.由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点，的直线方程为，记，，则（）A.变量，正相关B.若，则C.经验回归直线至少经过中的一个点D.【答案】ABD【解析】对选项A：回归方程为，故变量，正相关，正确；对选项B：若，则，正确；对选项C：经验回归直线不一定会经过中的点，错误；对选项D：根据最小二乘法，回归直线是所有直线中使残差平方和最小的直线，正确；故选：ABD.11.已知函数，则（）A. B.恰有5个零点C.必有极值点 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】对选项A：，错误；对选项B：，故，画出函数和图象，如图所示：根据图象知，函数有五个交点，故恰有5个零点，正确；对选项C：，，，故存在，使且是变号零点，必有极值点，正确；对选项D：，设，，则，因为，故，，在上单调递增，，，故存在，使，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，即恒成立，即恒成立，故在上单调递减，正确；故选：BCD12.已知椭圆的左项点为，上、下顶点分别为，，动点，在椭圆上（点在第一象限，点在第四象限），是坐标原点，若的面积为1，则（）A.为定值 B.C.与的面积相等 D.与的面积和为定值【答案】ABC【解析】依题意，，则的面积，即有，由，得，即，因此，令，即，则，由，得，而，从而，即，A正确；，由，得，而点不在直线上，因此，B正确；显然，，，因此与的面积相等，C正确；由选项C知，，而，，由于，函数的值不是定值，D错误.故选：ABC.三、填空题13.的展开式中的系数为___________（用数字作答）.【答案】【解析】根据题意可知，展开式中含有项的为，所以展开式中的系数为；故答案为：14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从（）级别跃升到（），（）乃至（）级别.国际数据公司（）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到.若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的___________倍.【答案】【解析】当时，；当时，，解得；2023年全球产生的数据量是2022年的倍.故答案为：.15.过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为___________.【答案】【解析】依题意过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，则为的中点，为的中点，为的中点，设的边长为，，则，，，所以，，所以三棱锥的表面积，三棱台的表面积，依题意，所以，取的中点，则，因为为正三棱锥的高，所以平面且，则直线与底面所成角为，所以，所以，故直线与底面所成角的正切值为.故答案为：16.已知等比数列满足且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】，，设，则，，，故，当时，恒成立，函数单调递增，，当趋近时，趋近，故有解，满足条件；当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；故只需，即，整理得到，解得，故.综上所述：.故答案为：四、解答题17.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的大小；（2）若，，求.解：（1），故意，即，所以，，故，所以，所以，又，所以.（2），，所以.故，故.18.已知等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记为数列前项的乘积，若，求的最大值.解：（1）设的公差为，由得；由，，成等比数列，得，即，整理得.由，解得或，的通项公式为或.（2），所以，当时，；当时，.从而，，，，，又因为，，故的最大值为.19.如图，为正三角形，平面，平面，，，点F，P分别为，的中点，点在线段上，且.（1）证明：直线与直线相交；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，，，，则，，由平面，平面，得，又，则，，四边形为平行四边形，因此，，由点在线段上，且，得是的中点，又点是的中点，于是，，则，，即，共面，且，长度不等，所以直线与直线相交.（2）解：由（1）知，平面即为平面，由平面，且平面，得，而为正三角形，点是的中点，则，又，平面，于是平面，又，则平面，显然平面，则有，从而为平面与平面所成二面角的平面角，不妨设，则，，，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，都有，求的取值范围.解：（1）当时，，求导得，于是，而，所以曲线在处的切线方程是，即.（2）不等式，令函数，求导得，令，设，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，于是，即有，函数在上单调递减，而，则函数在上单调递增，在上单调递减，从而，由，成立，得，成立，因此，所以的取值范围是.21.机器人甲、乙分别在，两个不透明的箱子中取球，甲先从箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合.已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为，乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为.现，两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球.（1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率；（2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率；（3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求分布列及数学期望.解：（1）在第一个回合中，记事件表示“甲从箱子中取出2个球”，事件表示“甲从箱子中取出3个球”，事件C表示“甲从箱子取出的球中有2个红球”，则（2）第一个回合后，A箱子和B箱子中小球个数相同，即甲从A箱子中取出小球的个数与乙从B箱子中取出小球的个数一样，所以，.（3）每个回合后A，B两个箱子小球个数不变的概率，A箱子比B箱子小球个数少2个的概率，A箱子比B箱子小球个数多2个的概率.两个回合后，的所有可能值为，，0，2，4.，，，，.所以随机变量的分布列为024所以，.22.已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支