极限习题及答案：函数的连续性

/分段函数的极限和连续性例设SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的左、右极限，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处是否有极限？（2）函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处是否连续？（3）确定函数SKIPIF1<0的连续区间．分析：对于函数SKIPIF1<0在给定点SKIPIF1<0处的连续性，关键是判断函数当SKIPIF1<0时的极限是否等于SKIPIF1<0；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处有极限．（2）SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处不连续．（3）函数SKIPIF1<0的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处就连续．求分段函数在分界点SKIPIF1<0的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有SKIPIF1<0才存在．函数的图象及连续性例已知函数SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的定义域，并作出函数的图象；（2）求SKIPIF1<0的不连续点SKIPIF1<0；（3）对SKIPIF1<0补充定义，使其是R上的连续函数．分析：函数SKIPIF1<0是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数SKIPIF1<0补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求SKIPIF1<0，再让SKIPIF1<0即可．解：（1）当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．因此，函数的定义域是SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0其图象如下图．（2）由定义域知，函数SKIPIF1<0的不连续点是SKIPIF1<0．（3）因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此，将SKIPIF1<0的表达式改写为SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0在R上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程SKIPIF1<0是否存在实数根．分析：要判定方程SKIPIF1<0是否有实根，即判定对应的连续函数SKIPIF1<0的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是R上的连续函数．又SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0内必存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一个实根．所以方程SKIPIF1<0有实数根．说明：作出函数SKIPIF1<0的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程SKIPIF1<0是否有实数根的常用方法，由于函数SKIPIF1<0是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例函数SKIPIF1<0在区间（0，2）内是否连续，在区间SKIPIF1<0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在（0，2）内连续．但SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处无定义，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处不连续．从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得SKIPIF1<0的表达式，使解答搁浅．讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点处的连续性，若作出SKIPIF1<0的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于SKIPIF1<0的表达式并非显式，所以须先求出SKIPIF1<0的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含SKIPIF1<0，故须分类讨论．解：（1）求SKIPIF1<0的表达式：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处的连续性：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0不存在，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处不连续（3）讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处的连续性：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续，试确定a的值解：SKIPIF1<0SKIPI